（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分
1．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)四百人，南鄉(xiāng)兩百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役六十人，而北鄉(xiāng)需遺十，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？“其意思為：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，這三面要征調(diào)60人，而北面共征調(diào)10人（用分層抽樣的方法），則北面共有（ ）人．”
A．200B．100C．120D．140
2．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是
A．平均數(shù)B．中位數(shù)
C．方差D．極差
3．有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥而不對立的兩個事件是
A．至少有1件次品與至多有1件正品
B．至少有1件次品與2件都是正品
C．至少有1件次品與至少有1件正品
D．恰有1件次品與恰有2件正品
4．兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知數(shù)列滿足：，則
A．16B．28C．25D．33
6．疫情期間，一同學通過網(wǎng)絡(luò)平臺聽網(wǎng)課，在家堅持學習.某天上午安排了四節(jié)網(wǎng)課，分別是數(shù)學，語文，政治，地理，下午安排了三節(jié)，分別是英語，歷史，體育.現(xiàn)在，他準備在上午下午的課程中各任選一節(jié)進行打卡，則選中的兩節(jié)課中至少有一節(jié)文綜學科（政治、歷史、地理）課程的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知數(shù)列an滿足，對，，都有，為數(shù)列an的前n項乘積，若，則（ ）
A．B．C．D．
8．在數(shù)學上，斐波納契數(shù)列定義為：，，，斐波納契數(shù)列有種看起來很神奇的巧合，如根據(jù)可得，所以，類比這一方法，可得 )
A．714B．1870C．4895D．4896
二、多選題（每題6分，共18分，選錯不得分，部分選對的，得部分分，有兩個選項的漏選一個扣3分，有三個選項漏選一個扣2分）
9．近年來，鄉(xiāng)村游成為中國國民旅游的熱點，下面圖1，2，3，4分別為2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者年齡、性別、月收入及一次鄉(xiāng)村旅游花費金額的有關(guān)數(shù)據(jù)分析，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中年齡在歲之間的男性占比不超過
B．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中月收入不高于1萬元的占比超過
C．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中一次鄉(xiāng)村旅游花費4個范圍占比的中位數(shù)為
D．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者一次鄉(xiāng)村旅游花費的平均數(shù)估計值高于650元（同一花費區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)用其中間值作代表）
10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項積為，且滿足條件，則下列選項正確的是（ ）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．使成立的最大自然數(shù)等于4044
11．拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，得到正反兩面的概率相同．事件次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列說法正確的是（ ）
A．當時，A，B相互獨立B．當時，A，B相互獨立
C．時，D． 時，
第II卷（非選擇題）
三、填空題（每題5分，共15分）
12．已知某7個數(shù)的平均數(shù)為2，方差為4，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)2，此時這8個數(shù)的方差為 .
13．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為 .
14．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則的取值范圍為 .
四、解答題（共77分）
15（13分）．甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：每次比賽兩人上場比賽，第三人為裁判，一局結(jié)束后，敗者下場作為裁判，原裁判上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去，共進行4局比賽.三人決定由乙、丙先上場比賽，甲作為裁判.
(1)第一局比賽開始前，丙提出由擲骰子決定誰先發(fā)球，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的六面體骰子兩次，記下骰子朝上的點數(shù)，若兩次點數(shù)之和為6則由乙發(fā)球，兩次點數(shù)之和能被4整除則由丙發(fā)球，用所學知識判斷這個方法公平嗎？并說明理由；
(2)三人實力相當，在每局比賽中戰(zhàn)勝對手的概率均為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局，求在四局比賽中甲當2局裁判的概率.
16．（15分）某地區(qū)有小學生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學生，對其成績進行統(tǒng)計分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；
(2)成績位列前10%的學生平臺會生成“防溺水達人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的成績至少為多少分；
(3)已知落在60,70內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績和方差.
（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量?樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：.記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）
17（15分）．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．
(1)求證：平面BDEF；
(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．
18（17分）．已知為數(shù)列的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
19（17分）．在高中數(shù)學教材蘇教版選擇性必修2的101頁11題闡述了這樣一個問題：假設(shè)某種細胞分裂（每次分裂都是一個細胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個細胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設(shè)一個種群由一個細胞開始，最終滅絕的概率為p，則從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中，每個細胞滅絕的概率都是p，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得；我們也可以設(shè)一個種群由一個細胞開始，最終繁衍下去的概率為p，那么從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，每個細胞繁衍下去的概率都是p，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得．根據(jù)以上材料，思考下述問題：一個人站在平面直角坐標系的，他每步走動都會有的概率向左移動1個單位，有的概率向右移動一個單位，原點處有一個陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以代表當這個人由開始，最終掉入陷阱的概率．

)若這個人開始時位于點處，且，
（1）求他在5步內(nèi)（包括5步）掉入陷阱的概率；
（2）求他最終掉入陷阱的概率；
（3）已知，若，求．

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