A．B．C．D．
2．（4分）已知A（2，﹣3，﹣1），B（﹣6，5，3），則||＝（ ）
A．B．C．12D．14
3．（4分）已知，，，則等于（ ）
A．﹣4B．﹣6C．﹣7D．﹣8
4．（4分）已知圓C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圓C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)含
5．（4分）設(shè)直線l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0．則“a＝1”是“l(fā)1∥l2”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
6．（4分）已知ABCD為矩形，AB＝4，AD＝1，點(diǎn)P在線段CD上，且滿足AP⊥BP，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．4個(gè)
7．（4分）如圖，四面體ABCD中，，，，M為BD的中點(diǎn)，N為CM的中點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝45°，AC與BD相交于點(diǎn)O．則OA1的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
10．（4分）過(guò)直線y＝x﹣1上一點(diǎn)P作圓（x﹣5）2+y2＝2的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線l1，l2關(guān)于y＝x﹣1對(duì)稱時(shí)，線段PA的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．C．D．2
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11．（5分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)B（1，2），則直線AB的斜率為 ．
12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則直線AA1到平面BB1C1C的距離為
13．（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知，，．則與的夾角的余弦值為 ；在的投影向量＝ ．
14．（5分）若直線y＝x+b與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的一個(gè)可能取值是 ．
15．（5分）在棱長(zhǎng)為1正方體ABCD﹣A1B1C1D中，點(diǎn)P滿足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①所有滿足條件的點(diǎn)P組成的區(qū)域面積為1；
②當(dāng)μ＝1時(shí)，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值：
③當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)P到AB距離的最小值為1；
④當(dāng)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.
16．（12分）已知直線l1：2x+y﹣8＝0，直線l2：x﹣y+2＝0，設(shè)直線l1與l2的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線l1平行的直線方程；
（3）求以AP為直徑的圓的方程．
17．（13分）已知直線x﹣y+1＝0，圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．
（1）若直線與圓相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)．
（i）求線段AB的垂直平分線的方程；
（ii）若，求m的值．
18．（15分）如圖，在五面體ABCDEF中，平面ABCD為正方形，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，AD⊥ED．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
（1）求證：CD∥平面ABFE；
（2）若EF＝ED＝1，CD＝2EF，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面ADE與平面BCF夾角的大?。?br>條件①：CD⊥EA；
條件②：CF＝．
19．（15分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，B1C1，C1D1，D1D的中點(diǎn)．
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）求B1D與平面EFGH所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)B1到平面EFGH的距離．
20．（15分）已知四邊形ABCD為正方形，O為AC，BD的交點(diǎn)，現(xiàn)將三角形BCD沿BD折起到PBD位置，使得PA＝AB，得到三棱錐P﹣ABD．
（1）求證：平面PBD⊥平面ABD；
（2）棱PB上是否存在點(diǎn)G，使平面ADG與平面ABD夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．
21．（15分）長(zhǎng)度為6的線段PQ，設(shè)線段中點(diǎn)為G，線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)P和Q分別在x軸和y軸上滑動(dòng)．
（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)G的軌跡與x軸交點(diǎn)分別為A，B（A點(diǎn)在左），與y軸交點(diǎn)分別為C，D（C點(diǎn)在上），設(shè)H為第一象限內(nèi)點(diǎn)G的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，直線HB與直線AD交于點(diǎn)M，直線CH與直線y＝﹣3交于點(diǎn)N．試判斷直線MN與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1．（4分）直線x﹣y+2＝0的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)解析式可得直線斜率為k＝1，再由傾斜角與斜率之間的關(guān)系可得．
【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為θ，
將直線x﹣y+2＝0化為斜截式可得y＝x+2，即直線斜率為k＝1；
所以k＝tanθ＝1，又θ∈[0，π），所以．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）已知A（2，﹣3，﹣1），B（﹣6，5，3），則||＝（ ）
A．B．C．12D．14
【分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．
【解答】解：A（2，﹣3，﹣1），B（﹣6，5，3），
則||＝＝12．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離公式，是基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知，，，則等于（ ）
A．﹣4B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：因?yàn)?，，?br>所以，
則．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知圓C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圓C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)含
【分析】依題意將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出兩圓圓心和半徑，比較圓心距與兩半徑之差、之和的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意將C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得（x+1）2+（y+4）2＝25，
即圓心C1（﹣1，﹣4），半徑r1＝5，
由（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10可知圓心C2（2，2），半徑，
此時(shí)圓心距為，，
顯然r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，即兩圓相交．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
5．（4分）設(shè)直線l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0．則“a＝1”是“l(fā)1∥l2”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】求出l1∥l2時(shí)a的值，即可判定．
【解答】解：因?yàn)橹本€l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0，
故l1∥l2時(shí)，有a（a+1）﹣2＝0，
解得a＝1，或者a＝﹣2，
當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x+2y﹣4＝0，l2：x+2y+2＝0，l1∥l2；
當(dāng)a＝﹣2時(shí)，l1：﹣2x+2y﹣4＝0，即x﹣y+2＝0，
l2：x﹣y+2＝0，則兩直線重合，
故l1∥l2時(shí)，a＝1，則“a＝1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知ABCD為矩形，AB＝4，AD＝1，點(diǎn)P在線段CD上，且滿足AP⊥BP，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．4個(gè)
【分析】設(shè)CP＝a，則DP＝4﹣a，0≤a≤4，由勾股定理和二次方程的解，可得所求結(jié)論．
【解答】解：設(shè)CP＝a，則DP＝4﹣a，0≤a≤4，
在直角三角形ACP中，由勾股定理可得AP2＝AC2+CP2＝1+a2，
在直角三角形BDP中，由勾股定理可得BP2＝BD2+DP2＝1+（4﹣a）2，
在直角三角形ABP中，由勾股定理可得AB2＝AP2+BP2＝1+a2+1+（4﹣a）2＝16，
化簡(jiǎn)可得a2﹣4a+1＝0，解得a＝2±，
可得滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的運(yùn)用，以及二次方程的解的個(gè)數(shù)，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）如圖，四面體ABCD中，，，，M為BD的中點(diǎn)，N為CM的中點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，以為基底表示出向量即可．
【解答】解：由題可知，
由M為BD的中點(diǎn)，N為CM的中點(diǎn)可得，
即，
即，所以，
即．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
8．（4分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】連接DM，取DM的中點(diǎn)E，連接NE，CE，推導(dǎo)出NE∥AM，從而∠CNE是直線AM和CN的夾角，由余弦定理能求出直線AM和CN夾角的余弦值．
【解答】解：連接DM，取DM的中點(diǎn)E，連接NE，CE，
正四面體ABCD中棱長(zhǎng)為1，
因?yàn)镸，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，
所以NE∥AM，則∠CNE是直線AM和CN的夾角．
NE＝AM＝＝，CN＝，
CE＝＝＝，
所以直線AM和CN夾角的余弦值為：
cs∠CNE＝＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
9．（4分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝45°，AC與BD相交于點(diǎn)O．則OA1的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算法則可得＝﹣＝+﹣，進(jìn)而求出||2的值，變形可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，＝﹣＝+﹣，
則||2＝（+﹣）2＝2+2+2﹣?﹣?+?
＝8+8+4﹣2×4×﹣2×4×+×4×4×＝4，
則有||＝2，故OA1的長(zhǎng)為2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的應(yīng)用，涉及空間線段的長(zhǎng)度求法，屬于基礎(chǔ)題．
10．（4分）過(guò)直線y＝x﹣1上一點(diǎn)P作圓（x﹣5）2+y2＝2的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線l1，l2關(guān)于y＝x﹣1對(duì)稱時(shí)，線段PA的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．C．D．2
【分析】判斷圓心與直線的關(guān)系，在直線上求出特殊點(diǎn)，P的方程，利用切線長(zhǎng)、半徑以及該點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成直角三角形，可求線段PA的長(zhǎng)．
【解答】解：顯然圓心（5，0）不在直線y＝x﹣1上．
由對(duì)稱性可知，P為直線y＝x﹣1上的特殊點(diǎn)，
這個(gè)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線y＝x﹣1，從這點(diǎn)作切線才能關(guān)于直線y＝x﹣1對(duì)稱．
所以該點(diǎn)與圓心連線所在的直線方程為：y﹣5＝﹣x，即y＝5﹣x
與y＝x﹣1聯(lián)立可求出該點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），即P（3，2），
所以該點(diǎn)到圓心的距離為＝2，
切線長(zhǎng)、半徑以及該點(diǎn)與圓形連線構(gòu)成直角三角形，又知圓的半徑為．
所以|PA|＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬中檔題．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11．（5分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)B（1，2），則直線AB的斜率為 ﹣2 ．
【分析】把直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式進(jìn)行運(yùn)算，求出結(jié)果．
【解答】解：因?yàn)锳（0，4）和點(diǎn)B（1，2），
所以直線AB的斜率k＝＝﹣2
故答案為：﹣2
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)確定直線的斜率，是一道基礎(chǔ)題．
12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則直線AA1到平面BB1C1C的距離為
【分析】作AD⊥BC，推導(dǎo)出AD⊥平面BB1C1C，AA1∥平面BB1C1C，從而AD即為直線AA1到平面BB1C1C的距離，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
作AD⊥BC，
∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，
∴AD⊥平面BB1C1C，
∵AA1∥CC1，且AA1?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，
∴AA1∥平面BB1C1C，
∴AD即為直線AA1到平面BB1C1C的距離，
∴直線AA1到平面BB1C1C的距離為AD＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
13．（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知，，．則與的夾角的余弦值為 ；在的投影向量＝ （1，﹣1，0） ．
【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與的坐標(biāo)，然后由向量夾角的運(yùn)算公式和投影向量的計(jì)算公式即可求出結(jié)果．
【解答】解：因?yàn)?，，?br>所以，，
所以，
在的投影向量為．
故答案為：；（1，﹣1，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
14．（5分）若直線y＝x+b與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的一個(gè)可能取值是 ﹣1（答案不唯一） ．
【分析】畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象確定一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置，求出相應(yīng)的b的值，數(shù)形結(jié)合可得答案．
【解答】解：曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的上半部分，
如圖所示，
由圖可知，當(dāng)直線y＝x+b在l2和l3之間移動(dòng)或與半圓相切，即處于l1的位置時(shí)，
直線與圓恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)直線y＝x+b在l3時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），所以b＝﹣1，
當(dāng)直線y＝x+b在l2時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），所以b＝1，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，
所以，或者（舍），
故或者﹣1≤b＜1．
故答案為：﹣1（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）在棱長(zhǎng)為1正方體ABCD﹣A1B1C1D中，點(diǎn)P滿足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①所有滿足條件的點(diǎn)P組成的區(qū)域面積為1；
②當(dāng)μ＝1時(shí)，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值：
③當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)P到AB距離的最小值為1；
④當(dāng)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ①②③ ．
【分析】對(duì)于①，可得點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)，即可判斷；對(duì)于②，由題意可得P在線段B1C1上，從而得到P點(diǎn)到平面A1BC的距離為定值，Rt△A1BC的面積為定值，即可判斷；對(duì)于③，由題意可得P在線段CC1上，連接BP，當(dāng)P與C重合時(shí)，BP最小，從而即可判斷；對(duì)于④，由題意可得P在線段EF上，當(dāng)A1B⊥平面AB1P時(shí)，可得AE∥AB1，與AE∩AB1＝A矛盾，從而即可判斷．
【解答】解：如圖所示，
對(duì)于①，∵，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，
∴點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)，而正方形BCC1B1的面積為1，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)μ＝1時(shí)，，∴＝，，
∴P在線段B1C1上，
由題意可知B1C1∥平面A1BC，
∴B1C1上的點(diǎn)到平面A1BC的距離處處相等，
∵Rt△A1BC的面積為定值，
∴三棱錐P﹣A1BC的體積為定值，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)λ＝1時(shí)，，∴，，
∴P在線段CC1上，連接BP，
由題意可知AB⊥平面BCC1B1，BP?平面BCC1B1，∴AB⊥BP，
∴BP的長(zhǎng)為點(diǎn)P到AB的距離，
當(dāng)P與C重合時(shí)，BP取最小值1，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)μ＝時(shí)，，
取BB1中點(diǎn)E，CC1中點(diǎn)F，則P在線段EF上，
由題意知A1B⊥AB1，
若A1B⊥平面AB1P，則AP?平面AB1P，則必有A1B⊥AP，
∵PE⊥平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，
∴PE⊥A1B，AP∩PE＝P，
∴A1B⊥平面APE，則有A1B⊥AE，
∵A1B⊥AB1，∴AE∥AB1，與AE∩AB1＝A矛盾，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，對(duì)于立體幾何的判斷題中，正面判斷較困難的選項(xiàng)，可以采取反證法進(jìn)行判斷，是中檔題．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.
16．（12分）已知直線l1：2x+y﹣8＝0，直線l2：x﹣y+2＝0，設(shè)直線l1與l2的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線l1平行的直線方程；
（3）求以AP為直徑的圓的方程．
【分析】（1）解兩直線方程構(gòu)成的方程組即可得解；
（2）求出直線l1的斜率，然后利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程；
（3）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式求出半徑，進(jìn)而可得圓的方程．
【解答】解：（1）由解得，
所以直線l1與l2的交點(diǎn)為A（2，4）；
（2）由l1：2x+y﹣8＝0得直線l1的斜率為﹣2，
又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），
所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線l1平行的直線方程為y＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣4＝0．
（3）因?yàn)锳（2，4），P（2，0），所以AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），，
所以以AP為直徑的圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
17．（13分）已知直線x﹣y+1＝0，圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．
（1）若直線與圓相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)．
（i）求線段AB的垂直平分線的方程；
（ii）若，求m的值．
【分析】（1）由題意，根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑列式求解即可；
（2）（i）由題意線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，從而可直接求得直線方程；
（ii）由弦長(zhǎng)列式求解即可．
【解答】解：（1）由x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，
所以當(dāng)m＜5時(shí)，x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0表示以（2，1）為圓心，以為半徑的圓，
由于直線x﹣y+1＝0與圓相交，所以圓心到直線的距離，
所以m＜3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，3）．
（2）（i）由題意，線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心（2，1），斜率為﹣1，
所以線段AB的垂直平分線的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0．
（ii）由于圓心到直線的距離，，
所以由得，
解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
18．（15分）如圖，在五面體ABCDEF中，平面ABCD為正方形，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，AD⊥ED．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
（1）求證：CD∥平面ABFE；
（2）若EF＝ED＝1，CD＝2EF，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面ADE與平面BCF夾角的大?。?br>條件①：CD⊥EA；
條件②：CF＝．
【分析】（1）根據(jù)條件知AB∥CD，利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值即可求出夾角的大?。?br>【解答】解：（1）證明：因?yàn)樵谖迕骟wABCDEF中，平面ABCD為正方形，所以AB∥CD，
又CD?平面ABFE，AB?平面ABFE，故CD∥平面ABFE；
（2）若選條件①：根據(jù)已知條件可得：CD⊥AD，
因?yàn)镃D⊥EA，EA∩AD＝A，EA?平面 ADE，AD?平面ADE，所以CD⊥平面ADE，
因?yàn)镈E?平面ADE，所以CD⊥DE，
則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，
因?yàn)镋F＝ED＝1，CD＝2EF＝2，
所以D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，1），
則，由（1）知，CD∥平面ABFE，CD?平面CDEF，
又平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF，
所以，所以F（0，1，1），即，因?yàn)镃D⊥平面ADE，
所以平面ADE的法向量為，
設(shè)平面BCF的法向量為，
則，令y＝1，則，
設(shè)平面ADE與平面BCF夾角為θ，
則csθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
又，則，
所以平面ADE與平面BCF夾角的大小為．
若選條件②：由（1）知，CD∥平面ABFE，CD?平面CDEF，又平面ABFE∩平面CDEF＝EF，
所以CD∥EF，過(guò)點(diǎn)F作FG∥ED，交CD于點(diǎn)G，
則四邊形EFGD為平行四邊形，又EF＝ED＝1，CD＝2EF，則FG＝ED＝1，CG＝CD﹣DG＝1，
又因?yàn)?，則CF2＝FG2+CG2，故，即CG⊥FG，則CD⊥DE，
則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，
所以D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，1），
則，又，所以F（0，1，1），即，
因?yàn)镃D⊥平面ADE，所以平面ADE的法向量為，
設(shè)平面BCF的法向量為，
則，令y＝1，則，
設(shè)平面ADE與平面BCF夾角為θ，
則csθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
又，則，
所以平面ADE與平面BCF夾角的大小為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查面面角的余弦值的求法，屬中檔題．
19．（15分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，B1C1，C1D1，D1D的中點(diǎn)．
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）求B1D與平面EFGH所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)B1到平面EFGH的距離．
【分析】（1）取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，HM，先證H，M，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，再證H，M，G，E四點(diǎn)共面，又這兩個(gè)平面重合，即可證明；
（2）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFGH的法向量，與法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為所求；
（3）利用點(diǎn)到平面距離的向量表示公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，HM，
因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，B1C1，C1D1，D1D的中點(diǎn)，
易得HM∥B1D1，GF∥B1D1，所以HM∥GF，
所以H，M，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，
又EM∥AB1，HG∥DC1，AB1∥DC1，
所以EM∥HG，
則H，M，G，E四點(diǎn)共面，
而過(guò)不共線的的三點(diǎn)H，M，G的平面具有唯一性，
則平面HMFG與平面EMGH重合，
故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的的邊長(zhǎng)為a
則，
則，
設(shè)是平面EFGH的法向量，
則，
取x＝1，則，
故 ＝＝＝；
（3），由（2）知平面EFGH的法向量，
所以點(diǎn)B1到平面EFGH的距離為
，
即B1到平面EFGH的距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)、線、面的距離計(jì)算，屬于中檔題．
20．（15分）已知四邊形ABCD為正方形，O為AC，BD的交點(diǎn)，現(xiàn)將三角形BCD沿BD折起到PBD位置，使得PA＝AB，得到三棱錐P﹣ABD．
（1）求證：平面PBD⊥平面ABD；
（2）棱PB上是否存在點(diǎn)G，使平面ADG與平面ABD夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）由平面與平面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADG與平面ABD的法向量，然后根據(jù)求面面角的方法即可列式求解．
【解答】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，
所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD，OC⊥OB，OA⊥OB，
所以折起后，OA＝OB＝OP＝OD，OP⊥OB，
由于折起前有OA2+OB2＝AB2，且折起后PA＝AB，
所以折起后有OA2+OP2＝PA2，即OP⊥OA，
又OP⊥OB，OA∩OB＝O，OA，OB?平面ABD，
所以O(shè)P⊥平面ABD，又OP?平面PBD，
所以平面PBD⊥平面ABD；
（2）解：由（1）知OP⊥OB，OP⊥OA，OA⊥OB，
故以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)OA＝1，則A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1），
則，，，
假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)G，設(shè)，λ，﹣λ），（0≤λ＜1），
則，
設(shè)平面ADG的法向量為，
則，令x＝1，得y＝﹣1，，
，
易知平面ABD的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槠矫鍭DG與平面ABD夾角的余弦值為，
所以，解得，
所以在棱PB上存在點(diǎn)G，使平面ADG與平面ABD夾角的余弦值為，
且G為棱PB的中點(diǎn)，故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查二面角夾角的余弦值求法，屬難題．
21．（15分）長(zhǎng)度為6的線段PQ，設(shè)線段中點(diǎn)為G，線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)P和Q分別在x軸和y軸上滑動(dòng)．
（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)G的軌跡與x軸交點(diǎn)分別為A，B（A點(diǎn)在左），與y軸交點(diǎn)分別為C，D（C點(diǎn)在上），設(shè)H為第一象限內(nèi)點(diǎn)G的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，直線HB與直線AD交于點(diǎn)M，直線CH與直線y＝﹣3交于點(diǎn)N．試判斷直線MN與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）由題意，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到OG的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)G的軌跡，再進(jìn)行求解即可；
（2）得到A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線HB與直線AD的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將直線CH與直線y＝﹣3的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)求出直線MN的斜率，將其與直線BD的斜率進(jìn)行比較，進(jìn)而即可求解．
【解答】解：（1）已知在Rt△POQ 中，
因?yàn)镚是線段PQ中點(diǎn)，
所以，
則點(diǎn)G的軌跡為以O(shè)為圓心，3為半徑的圓，
故G的軌跡方程為x2+y2＝9；
（2）證明如下：若點(diǎn)G的軌跡與x軸交點(diǎn)分別為A，B（A點(diǎn)在左），與y軸交點(diǎn)分別為C，D（C點(diǎn)在上），
不妨設(shè)A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），D（0，﹣3），
此時(shí)直線AD的方程為y＝﹣x﹣3，
因?yàn)镠為第一象限內(nèi)點(diǎn)G的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，
不妨設(shè)H（x0，y0）（0＜x0＜3，0＜y0＜3），
此時(shí)，
不妨設(shè)直線HB的方程為，
聯(lián)立，
解得，，
即，
不妨設(shè)直線CH的方程為，
聯(lián)立，
解得x＝，y＝﹣3，
即，
此時(shí)＝
＝＝，
又，
故MN∥BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/17 10:06:16；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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