1．（4分）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，則z1﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（4分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡＝（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知l是直線，α、β是兩個不同平面，下列命題中的真命題是（ ）
A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，則α⊥βD．若l∥α，α∥β，則l∥β
4．（4分）設(shè)A（3，2，1），B（1，0，5），則AB的中點M的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣2，4）B．（﹣1，﹣1，2）C．（2，1，3）D．（4，2，6）
5．（4分）直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．（4分）已知直線l經(jīng)過點P（﹣1，3），且與直線x﹣2y+3＝0平行，則直線l的方程為（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0B．2x+y﹣1＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y﹣5＝0
7．（4分）直線y＝x與直線y＝x+1間的距離等于（ ）
A．B．C．1D．
8．（4分）圓O1：x2+y2＝1與圓O2：（x﹣2）2+y2＝9的位置關(guān)系為（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
9．（4分）設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．y＝±2xC．D．
10．（4分）已知橢圓C：的離心率，短軸的右端點為B，M（1，0）為線段OB的中點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（每題5分）
11．（5分）已知直線l1：ax+y+1＝0，l2：x﹣2y+1＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a＝ ．
12．（5分）點P（1，﹣2）到直線l2：4x+3y﹣8＝0的距離是
13．（5分）圓（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的點到原點距離的最小值等于 ．
14．（5分）已知雙曲線C：的漸近線方程為y＝±2x，則C的離心率為 ．
15．（5分）設(shè)F1、F2分別為橢圓E：的左、右焦點，點A為橢圓E的左頂點，點B為橢圓E的上頂點，且|AB|＝2，，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
三、解答題（16-17每題13分，18題14分，19-21每題15分）
16．（13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acsB．
（1）求角B的大??；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
17．（13分）已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（﹣3，0）、B（2，1）、C（﹣2，3）
（1）求AC邊所在直線的方程；
（2）求BC邊的垂直平分線所在直線的方程
18．（14分）已知圓M：x2+y2﹣2x＝0．
（1）求過點P（2，2）與圓相切的直線方程；
（2）若直線x﹣y﹣2＝0與圓M交于A，B兩點，求弦AB的長．
19．（15分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝2，點E在AB上，且AE＝1．
（1）求直線A1E與BC1所成角的余弦值；
（2）求點B到平面A1EC的距離．
20．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，AD＝2，M為BC的中點．
（1）求證：AD⊥PC．
（2）求直線PB與平面PAM所成角的正弦值．
（3）求平面PAM與平面PCD的夾角的余弦值．
21．（15分）已知橢圓C：的一個頂點為P（0，1），且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點Q坐標(biāo)為（﹣2，0），直線y＝2x+1與橢圓C交于A、B兩點，求△ABQ的面積；
（3）若直線l：y＝x+m與橢圓C交于M、N兩點，且|PM|＝|PN|，求m的值．
2022-2023學(xué)年北京市昌平實驗學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題4分）
1．（4分）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，則z1﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算，可得z1﹣z2＝﹣2﹣i，再由復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得解．
【解答】解：因為z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，
所以z1﹣z2＝﹣2﹣i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（﹣2，﹣1），位于第三象限．
故選：C．
【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由空間向量的線性運算即可求解．
【解答】解：＝+＝．
故選：A．
【點評】本題主要考查空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知l是直線，α、β是兩個不同平面，下列命題中的真命題是（ ）
A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，則α⊥βD．若l∥α，α∥β，則l∥β
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合面面位置關(guān)系即可判斷A；由線面平行的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，即可判斷B；由線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可判斷C；由線面平行的性質(zhì)和面面平行的性質(zhì)，即可判斷D．
【解答】解：A．若l∥α，l∥β，則α∥β或α∩β＝a，故A錯；
B．若α⊥β，l∥α，則l?β，或l∥β，或l⊥β，故B錯；
C．若l⊥α，l∥β，則過l作平面γ，設(shè)γ∩β＝c，則l∥c，故c⊥α，c?β，故α⊥β，即C正確；
D．若l∥α，α∥β，則l?β，或l∥β，故D錯．
故選：C．
【點評】本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行與垂直的判定和性質(zhì)、面面平行與垂直的判斷和性質(zhì)，熟記這些是迅速解題的關(guān)鍵．
4．（4分）設(shè)A（3，2，1），B（1，0，5），則AB的中點M的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣2，4）B．（﹣1，﹣1，2）C．（2，1，3）D．（4，2，6）
【分析】利用中點坐標(biāo)公式直接求解．
【解答】解：∵A（3，2，1），B（1，0，5），
∴AB的中點坐標(biāo)為M（2，1，3）．
故選：C．
【點評】本題考查中點坐標(biāo)的求法，考查中點坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5．（4分）直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系及傾斜角的范圍，求出傾斜角的大?。?br>【解答】解：直線x﹣y+2＝0的斜率等于，
又因為直線的斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角大于或等于0度小于180度，
故直線的傾斜角為60°，
故選：B．
【點評】本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，以及傾斜角的范圍．
6．（4分）已知直線l經(jīng)過點P（﹣1，3），且與直線x﹣2y+3＝0平行，則直線l的方程為（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0B．2x+y﹣1＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y﹣5＝0
【分析】設(shè)與直線x﹣2y+3＝0平行的直線l的方程為x﹣2y+m＝0，把點P（﹣1，3）代入方程解得m，即可得出．
【解答】解：設(shè)與直線x﹣2y+3＝0平行的直線l的方程為x﹣2y+m＝0，
把點P（﹣1，3）代入可得：﹣1﹣2×3+m＝0，解得m＝7，
∴直線l的方程為x﹣2y+7＝0，
故選：C．
【點評】本題考查了直線方程、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）直線y＝x與直線y＝x+1間的距離等于（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩條平行直線間的距離公式，即可求解．
【解答】解：∵直線y＝x與直線y＝x+1平行，
∴直線y＝x與直線y＝x+1間的距離為．
故選：B．
【點評】本題主要考查兩條平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
8．（4分）圓O1：x2+y2＝1與圓O2：（x﹣2）2+y2＝9的位置關(guān)系為（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【分析】求出兩個圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心距，即可判斷兩個圓的位置關(guān)系．
【解答】解：∵圓O1：x2+y2＝1的圓心（0，0），半徑為1；
圓O2：（x﹣2）2+y2＝9圓心坐標(biāo)（2，0），半徑為：3，
∴兩個圓的圓心距為：2，
又兩個圓的半徑差為：3﹣1＝2，
∴兩個圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．
故選：D．
【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，兩個圓的位置關(guān)系的判斷，基本知識的考查，基礎(chǔ)題．
9．（4分）設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．y＝±2xC．D．
【分析】由題意知，因為雙曲線的焦點在x軸上，由此可知漸近線方程為．
【解答】解：由已知得到，
因為雙曲線的焦點在x軸上，
故漸近線方程為；
故選：C．
【點評】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運用．考查了同學(xué)們的運算能力和推理能力．
10．（4分）已知橢圓C：的離心率，短軸的右端點為B，M（1，0）為線段OB的中點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由點的坐標(biāo)求得b，通過離心率求得a，即可求解橢圓方程．
【解答】解：如圖：
因為M（1，0）為線段OB的中點，且B（b，0），所以b＝2，
又橢圓C的離心率，所以，所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：B．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．
二、填空題（每題5分）
11．（5分）已知直線l1：ax+y+1＝0，l2：x﹣2y+1＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a＝ 2 ．
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合直線垂直的性質(zhì)列式求解即可．
【解答】解：因為直線l1：ax+y+1＝0，l2：x﹣2y+1＝0，且l1⊥l2，
所以a×1+1×（﹣2）＝0，解得a＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查直線垂直條件的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
12．（5分）點P（1，﹣2）到直線l2：4x+3y﹣8＝0的距離是 2
【分析】直接代入點到直線的距離公式求解即可．
【解答】解：點P（1，﹣2）到直線l2：4x+3y﹣8＝0的距離是．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）圓（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的點到原點距離的最小值等于 ．
【分析】先求出圓心到原點的距離再減去圓的半徑即為所求．
【解答】解：圓（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的點到原點距離的最小值為圓心到原點的距離減去圓的半徑，
由圓（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1知圓心C（1，1），半徑為1，
＝＝，所以圓（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的點到原點距離的最小值等于﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知雙曲線C：的漸近線方程為y＝±2x，則C的離心率為 ．
【分析】由題意可得，然后由可求得結(jié)果．
【解答】解：因為雙曲線C：的漸近線方程為y＝±2x，
所以，
所以離心率，
故答案為：
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．
15．（5分）設(shè)F1、F2分別為橢圓E：的左、右焦點，點A為橢圓E的左頂點，點B為橢圓E的上頂點，且|AB|＝2，，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【分析】根據(jù)題意列出基本量滿足的等式化簡即可．
【解答】解：因為|AB|＝2，故，
又，故a2+b2＝4，
，解得a2＝3，b2＝1，
故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．
三、解答題（16-17每題13分，18題14分，19-21每題15分）
16．（13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acsB．
（1）求角B的大?。?br>（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
【分析】（1）直接利用已知條件和正弦定理求出B的值．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和余弦定理求出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵bsinA＝acsB，
由正弦定理可得，
即得，
由于：0＜B＜π，
∴．
（2）∵sinC＝2sinA，
由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
，
解得，
∴．
故a＝，c＝2．
【點評】本題考查的知識要點：正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運算問題
17．（13分）已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（﹣3，0）、B（2，1）、C（﹣2，3）
（1）求AC邊所在直線的方程；
（2）求BC邊的垂直平分線所在直線的方程
【分析】（1）利用斜率公式求出直線AC的斜率，代入點斜式即可求解；
（2）利用中點坐標(biāo)公式求出BC的中點坐標(biāo)，然后利用相互垂直的直線斜率關(guān)系求出斜率，代入點斜式即可求解．
【解答】解：（1）直線AC的斜率為，且A（﹣3，0），
所以AC邊所在直線的方程為y﹣0＝3（x+3），即3x﹣y+9＝0．
（2）因為B（2，1）、C（﹣2，3），所以BC的中點為（0，2），
又直線BC的斜率為，所以BC邊的垂直平分線所在直線的斜率為，
所以BC邊的垂直平分線所在直線的方程為y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0．
【點評】本題考查了斜率計算公式、點斜式、中點坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．（14分）已知圓M：x2+y2﹣2x＝0．
（1）求過點P（2，2）與圓相切的直線方程；
（2）若直線x﹣y﹣2＝0與圓M交于A，B兩點，求弦AB的長．
【分析】（1）討論切線斜率是否存在設(shè)方程，利用相切時圓心到直線的距離等于半徑列關(guān)系計算即得結(jié)果；
（2）計算M到直線AB的距離d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦長|AB|．
【解答】解：（1）圓M方程可化為（x﹣1）2+y2＝1，則圓心M（1，0），半徑為1，
由（2﹣1）2+22＞1，可得點P在圓外，
當(dāng)過點P的直線斜率存在時，設(shè)切線的方程為y＝k（x﹣2）+2，即kx﹣y+2﹣2k＝0，
則圓心M到切線的距離為，解得，
所以切線方程為，即3x﹣4y+2＝0，
當(dāng)過點P的直線斜率不存在時，切線方程為x＝2，此時直線與圓M相切，
所以切線方程為3x﹣4y+2＝0或x＝2；
（2）直線AB方程為x﹣y﹣2＝0，
則圓心M到直線AB的距離，直線AB與圓相交，
所以．
【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
19．（15分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝2，點E在AB上，且AE＝1．
（1）求直線A1E與BC1所成角的余弦值；
（2）求點B到平面A1EC的距離．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線A1E與直線BC1所成角的余弦值．
（2）先求出平面A1EC的法向量，然后利用向量法求得點B到平面A1EC的距離．
【解答】解：（1）由題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)直線A1E與直線BC1所成角為α，
則．
（2）由題意，
設(shè)平面A1EC的法向量為，
則，取，又，
所以B到平面A1EC的距離為．
【點評】本題考查異面直線所成角的求解，點面距的求解，屬中檔題．
20．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，AD＝2，M為BC的中點．
（1）求證：AD⊥PC．
（2）求直線PB與平面PAM所成角的正弦值．
（3）求平面PAM與平面PCD的夾角的余弦值．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的坐標(biāo)公式計算得向量垂直，從而證明線線垂直；
（2）利用空間向量線面角公式進行求解即可；
（3）利用面面角的向量求法進行求解即可．
【解答】（1）證明：因為PD⊥底面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，所以DA，DC，DP兩兩垂直，
以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0）、P（0，0，1）、B（2，1，0）、M（1，1，0）、A（2，0，0）、C（0，1，0），
所以，，
所以，
所以AD⊥PC，得證；
（2）解：設(shè)平面PAM的法向量為，，，
由，取y＝1，可得，又，
所以，
所以直線PB與平面PAM所成角的正弦值為．
（3）解：易知平面PCD的一個法向量為，
設(shè)平面PAM與平面PCD的夾角為，
則，
所以平面PAM與平面PCD的夾角的余弦值為．
【點評】本題主要考查線線垂直的判定，直線與平面所成角、平面與平面所成角的求法，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔題．
21．（15分）已知橢圓C：的一個頂點為P（0，1），且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點Q坐標(biāo)為（﹣2，0），直線y＝2x+1與橢圓C交于A、B兩點，求△ABQ的面積；
（3）若直線l：y＝x+m與橢圓C交于M、N兩點，且|PM|＝|PN|，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點求得b＝1，再根據(jù)離心率及c2＝a2﹣b2求解a＝2，由此求出橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出高即可求解；
（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線垂直的條件求解即可．
【解答】解：（1）因為橢圓C：的一個頂點為P（0，1），所以b＝1，
因為橢圓C的離心率為，所以a＝2，
所以橢圓C的方程為；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立消去y得，17x2+16x＝0，Δ＞0，
則，x1x2＝0，
所以＝，
點（﹣2，0）到直線y＝2x+1的距離，
所以△ABQ的面積；
（3）設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），
聯(lián)立消去y得，5x2+8mx+4m2﹣4＝0，
由Δ＝64m2﹣80（m2﹣1）＞0得，則，
設(shè)線段MN的中點為D，
則，所以，
因為|PM|＝|PN|，所以PD⊥MN，
所以，解得，滿足，所以．
【點評】此題考查了直線與橢圓的綜合問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/23 9:46:11；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號：56380052

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2020-2021學(xué)年北京市昌平實驗學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2020-2021學(xué)年北京市昌平實驗學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷，共13頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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