1．（5分）已知角α的終邊經(jīng)過點P（4，﹣3），則2sinα+csα＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）向量＝（1，1），＝（2，t），若，則實數(shù)t的值為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（5分）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A．f（x）＝x+csxB．f（x）＝x2+csx
C．f（x）＝x+sinxD．f（x）＝x2+sinx
5．（5分）已知向量、滿足，，且＜，＞＝，那么＝（ ）
A．1B．C．3D．
6．（5分）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期為π的是（ ）
A．y＝cs2xB．y＝sin2xC．D．y＝tan2x
7．（5分）為了得到函數(shù)y＝sin（2x﹣）的圖象，可以將函數(shù)y＝sin2x的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
8．（5分）若角α是三角形的內(nèi)角，且，則角α等于（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
9．（5分）sin70°?cs25°﹣sin20°?sin25°＝（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a＝10，∠A＝30°，∠C＝105°，那么b等于（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）函數(shù)的圖象的一個對稱軸方程是（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（ ）
A．y＝2sin（2x﹣）B．y＝2sin（2x+）
C．y＝2sin（x+）D．y＝2sin（）
二、填空題（每題5分）
13．（5分）已知tanα＝3，tanβ＝2，則tan（α+β）＝ ．
14．（5分）sinα+csα＝，則sin2α＝
15．（5分）已知，，向量與的夾角為120°，則＝ ．
16．（5分）已知向量，，在上的投影的數(shù)量是 ．
17．（5分）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為 ，的最大值為 ．
18．（5分）關(guān)于平面向量、、，有下列三個命題：
①若，則；
②若，，，則k＝﹣3；
③非零向量和滿足，則與的夾角為90°．
其中真命題的序號為 ．
三、解答題
19．（10分）已知角α的終邊過點（1，﹣3）．求：
①tanα；
②；
③sinα?csα．
20．（12分）已知，，且α、β都是第二象限角，求sin（α+β），cs（α﹣β）．
21．（10分）已知△ABC的頂點為A、B、C，三個點坐標為A（﹣1，2），B（3，5），C（4，1），求、、、、及∠BAC的余弦值．
22．（12分）在△ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知，，∠A＝60°．
（1）求∠B、∠C的值；
（2）求△ABC的面積．
23．（16分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值和最大值．
2020-2021學年北京市昌平實驗學校高一（下）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題5分）
1．（5分）已知角α的終邊經(jīng)過點P（4，﹣3），則2sinα+csα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得結(jié)果．
【解答】解：由題意角α的終邊經(jīng)過點P（4，﹣3），可得：，
所以，，
故選：D．
【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）向量＝（1，1），＝（2，t），若，則實數(shù)t的值為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由題意可得＝1×2+1×t＝0，解之即可．
【解答】解：∵＝（1，1），＝（2，t），且，
∴＝1×2+1×t＝0，解得t＝﹣2
故選：A．
【點評】本題考查平面向量的垂直的判定，屬基礎(chǔ)題．
3．（5分）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】原式中的角度變形后，利用誘導公式化簡，計算即可得到結(jié)果．
【解答】解：sinπ＝sin（4π+）＝sin＝．
故選：A．
【點評】此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關(guān)鍵．
4．（5分）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A．f（x）＝x+csxB．f（x）＝x2+csx
C．f（x）＝x+sinxD．f（x）＝x2+sinx
【分析】利用奇函數(shù)的定義判斷即可．
【解答】解：四個選項的定義域都為R，關(guān)于原點對稱，
A選項：f（﹣x）＝﹣x+cs（﹣x）＝﹣x+csx≠﹣f（x），不是奇函數(shù)．
B選項：f（﹣x）＝（﹣x）2+cs（﹣x）＝x2+csx＝f（x），為偶函數(shù)．
C選項：f（﹣x）＝﹣x+sin（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣（x+sinx）＝﹣f（x），為奇函數(shù)．
D選項，f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣x）＝x2﹣sinx≠﹣f（x），不是奇函數(shù)．
故選：C．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）已知向量、滿足，，且＜，＞＝，那么＝（ ）
A．1B．C．3D．
【分析】直接利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：向量、滿足，，且＜，＞＝，
那么＝2××＝3．
故選：C．
【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期為π的是（ ）
A．y＝cs2xB．y＝sin2xC．D．y＝tan2x
【分析】由題意利用三角函數(shù)的奇偶性和周期性，得出結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)y＝cs2x為偶函數(shù)，故排除A；
∵函數(shù)y＝sin2x為奇函數(shù)，且最小正周期為＝π，故B滿足條件；
∵函數(shù)y＝sin的最小正周期為＝4π，故C不滿足條件；
∵函數(shù)y＝tan2x的最小正周期為，故D不滿足條件，
故選：B．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）為了得到函數(shù)y＝sin（2x﹣）的圖象，可以將函數(shù)y＝sin2x的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
【分析】由題意利用y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【解答】解：將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，
故選：D．
【點評】本題主要考查y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）若角α是三角形的內(nèi)角，且，則角α等于（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【分析】由已知利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【解答】解：由于角α是三角形的內(nèi)角，且，
所以角α＝60°或A＝120°．
故選：D．
【點評】本題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．
9．（5分）sin70°?cs25°﹣sin20°?sin25°＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用誘導公式，兩角差的正弦函數(shù)公式化簡所求即可計算得解．
【解答】解：sin70°?cs25°﹣sin20°?sin25°
＝sin70°?cs25°﹣cs70°?sin25°
＝sin（70°﹣25°）
＝sin45°
＝．
故選：A．
【點評】本題主要考查了誘導公式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a＝10，∠A＝30°，∠C＝105°，那么b等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)內(nèi)角和180°求得∠B，再由正弦定理即可求得b．
【解答】解：由題可得∠B＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
由正弦定理可得，則b＝＝＝10，
故選：C．
【點評】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
11．（5分）函數(shù)的圖象的一個對稱軸方程是（ ）
A．B．C．D．
【分析】令2x+＝kπ+，k∈z，解得 x＝，k∈z，此直線即為函數(shù)的圖象的一個對稱軸．
【解答】解：令2x+＝kπ+，k∈z，可得 x＝，k∈z，
故選：C．
【點評】本題考查正弦函數(shù)的對稱性，是一道基礎(chǔ)題．
12．（5分）函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（ ）
A．y＝2sin（2x﹣）B．y＝2sin（2x+）
C．y＝2sin（x+）D．y＝2sin（）
【分析】由圖知A＝2，＝，可求得ω＝2，再由ω+φ＝2kπ+（k∈Z）即可求得φ，從而可得此函數(shù)的解析式．
【解答】解：由圖知A＝2，＝﹣＝，
∴T＝π，
∴ω＝＝2．又ω+φ＝2kπ+（k∈Z），
∴φ＝2kπ+﹣×2＝2kπ+（k∈Z），
∴此函數(shù)的解析式是y＝2sin（2x+2kπ+）＝2sin（2x+）．
故選：B．
【點評】本題考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，確定φ的值是關(guān)鍵，也是難點，屬于中檔題．
二、填空題（每題5分）
13．（5分）已知tanα＝3，tanβ＝2，則tan（α+β）＝ ﹣1 ．
【分析】由已知利用兩角和的正切公式即可計算得解．
【解答】解：因為tanα＝3，tanβ＝2，
所以tan（α+β）＝＝＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】本題主要考查了兩角和的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）sinα+csα＝，則sin2α＝
【分析】根據(jù)（sinα+csα）2＝1+sin2α求解即可得答案．
【解答】解：由sinα+csα＝，
得（sinα+csα）2＝sin2α+cs2α，
∴sin2α＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知，，向量與的夾角為120°，則＝．
【分析】利用向量的模的運算法則以及向量的數(shù)量積求解即可．
【解答】解：，，向量與的夾角為120°，
則＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，向量的模的運算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
16．（5分）已知向量，，在上的投影的數(shù)量是 1 ．
【分析】根據(jù)已知先求出，||，然后根據(jù)在上的投影是可求．
【解答】解：∵，，
∴＝1×（﹣3）+2×4＝5，||＝5，
則在上的投影是＝1．
故答案為：1．
【點評】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．
17．（5分）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為 1 ，的最大值為 0 ．
【分析】把＝+代入，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算法則，即可得解；設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，可得＝λ﹣1，結(jié)合單調(diào)性，得解．
【解答】解：＝（+）?＝?+?＝+0＝1，
∵點E是AB邊上的動點，∴設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，
∴＝（﹣）?（+）＝（λ﹣）?（+）＝λ+（λ﹣1）?﹣＝λ+0﹣1，在λ∈[0，1]上單調(diào)遞增，
∴當λ＝1時，取得最大值，為0．
故答案為：1；0．
【點評】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的線性，數(shù)量積的運算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
18．（5分）關(guān)于平面向量、、，有下列三個命題：
①若，則；
②若，，，則k＝﹣3；
③非零向量和滿足，則與的夾角為90°．
其中真命題的序號為 ②③ ．
【分析】①若，則為假命題；
②若，則﹣2k＝6，則k＝﹣3，為真命題；
③非零向量和滿足，則平方化簡可得，則與的夾角為90°，為真命題．
【解答】解：①若，若，則不成立，為假命題；
②若，，，則﹣2k＝6，則k＝﹣3，為真命題；
③非零向量和滿足，則平方化簡可得，則與的夾角為90°，為真命題．
故答案為：②③
【點評】本題考查簡易邏輯，向量，屬于難題．
三、解答題
19．（10分）已知角α的終邊過點（1，﹣3）．求：
①tanα；
②；
③sinα?csα．
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tanα的值，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
【解答】解：∵角α的終邊過點P（1，﹣3），
∴x＝1，y＝﹣3，r＝|OP|＝，
①tanα＝＝﹣3，
②＝＝＝．
③sinα?csα＝＝＝＝﹣．
【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
20．（12分）已知，，且α、β都是第二象限角，求sin（α+β），cs（α﹣β）．
【分析】】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出利用兩角和與差的三角函數(shù)求解即可．
【解答】解：因為，，且α、β都是第二象限角，
所以csα＝﹣＝﹣，
sinβ＝＝，
∴sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＝＝﹣，
cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ＝﹣+＝．
【點評】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)以及余弦函數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
21．（10分）已知△ABC的頂點為A、B、C，三個點坐標為A（﹣1，2），B（3，5），C（4，1），求、、、、及∠BAC的余弦值．
【分析】求得＝（4，3），＝（5，﹣1），即可運算．
【解答】解：因為A（﹣1，2），B（3，5），C（4，1），
所以＝（4，3），＝（5，﹣1），
＝＝5，＝，
＝4×5+3×（﹣1）＝17，
∠BAC＝＝＝．
【點評】本題考查了平面向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．
22．（12分）在△ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知，，∠A＝60°．
（1）求∠B、∠C的值；
（2）求△ABC的面積．
【分析】（1）由正弦定理先求得sinC，根據(jù)a＞c，即可得到∠C，進而求得∠B；
（2）利用三角形面積公式及兩角和的三角函數(shù)變換即可求得答案．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，則sinC＝＝＝，
因為a＞c，所以∠C＝，則∠B＝π﹣∠A﹣∠C＝π﹣﹣＝；
（2）S△ABC＝acsinB＝acsin（A+C）＝×2×2×（sinAcsC+csAsinC）＝×2×2×（×+×）＝2×＝＝3+．
【點評】本題考查正弦定理，三角形面積公式以及兩角和的三角函數(shù)公式，屬于中檔題．
23．（16分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值和最大值．
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡可得f（x）＝2sin（2x+）+1，由正弦函數(shù)的周期性，得解；
（2）令2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解之即可；
（3）求得2x+∈[﹣，π]，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解．
【解答】解：（1）＝sin2x+cs2x+1＝2sin（2x+）+1，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期T＝＝π．
（2）令2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，則x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（3）因為x∈，所以2x+∈[﹣，π]，
當2x+＝，即x＝時，f（x）max＝f（）＝3；
當2x+＝﹣，即x＝﹣時，f（x）min＝f（﹣）＝0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值為0，最大值為3．
【點評】本題考查三角函數(shù)的綜合，熟練掌握二倍角公式，輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/4/4 20:19:16；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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