1．（4分）設(shè)直線l：x﹣y+b＝0的傾斜角為α，則α＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（4分）圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心為（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）
3．（4分）已知＝（2，1，3），＝（﹣4，﹣2，x），且⊥，則x＝（ ）
A．B．C．﹣6D．6
4．（4分）若向量，，則＝（ ）
A．B．5C．D．
5．（4分）點(diǎn)（2，1）到直線l：x﹣2y+2＝0的距離為（ ）
A．B．C．D．0
6．（4分）已知直線l的方向向量，平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l?αD．以上選項(xiàng)都不對(duì)
7．（4分）直線3x+4y﹣5＝0與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法判斷
8．（4分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，若＝，＝，＝，則下列向量與相等的是（ ）
A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++
9．（4分）過(guò)直線l1：2x+y﹣3＝0與l2：x﹣3y+2＝0的交點(diǎn)，并與l1垂直的直線的方程為（ ）
A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．x+2y+1＝0
10．（4分）設(shè)a∈R，則“直線ax+y﹣1＝0與直線x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
11．（4分）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）
C．（﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
12．（4分）已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4＝0與圓C相切，則圓C的方程為（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
13．（4分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面BC1D1的距離為（ ）
A．B．C．D．
14．（4分）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和兩點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最小值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
15．（4分）設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my+1＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx﹣y﹣2m+3＝0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．B．C．6D．3
二、填空題（每題5分）
16．（5分）①已知，，則＝ ；
②空間向量，，若，則＝ ．
17．（5分）①若A（﹣2，3）、B（3，﹣2）、C（1，m）三點(diǎn)共線，則m的值為 ；
②直線l1：2x+y+1＝0，l2：kx+2y+k﹣1＝0，若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為 ．
18．（5分）①坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為 ；
②過(guò)（5，0），（﹣2，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線x﹣3y﹣10＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
19．（5分）①兩條垂直直線l1：2x+y+1＝0與l2：ax+4y﹣6＝0的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 ；
②過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x﹣2y﹣2＝0平行的直線方程是 ．
20．（5分）①圓心為（1，5）．且與x軸相切的圓的方程為 ；
②已知圓x2+y2＝1與圓（x﹣2）2+y2＝a2（a＞0）外切，則a＝ ．
21．（5分）①直線和圓x2+y2＝r2（r＞0）交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝6，則r的值為 ；
②圓C：x2+y2＝4，直線l：y＝kx+m，當(dāng)k變化時(shí)，l截得圓C弦長(zhǎng)的最小值為2，則m＝ ．
三、解答題
22．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣1，2），且滿足下列條件，求相應(yīng)l的方程．
（1）過(guò)點(diǎn)N（0，1）；
（2）與直線x+y+5＝0垂直．
23．已知向量＝（﹣2，﹣1，2），＝（﹣1，1，2），＝（x，2，2）．
（Ⅰ）當(dāng)||＝2時(shí)，若向量k+與垂直，求實(shí)數(shù)x和k的值；
（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)x的值．
24．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BB1＝2，P為B1C1的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AC與BP所成的角；
（2）求直線AC與平面ABP所成的角；
（3）求二面角C﹣AB﹣P的余弦值；
（4）求點(diǎn)B到平面APC的距離．
25．已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），線段AB是圓M的直徑．
（1）求圓M的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，2）且與x軸不垂直的直線l與圓M相交于D，E兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．
26．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，PO⊥底面ABCD，AO＝1．點(diǎn)E在棱PB上，PE＝2EB．
（1）當(dāng)PO＝2，求直線AE與平面PCD所成角的正弦值；
（2）當(dāng)PO取何值時(shí)，二面B﹣PC﹣D的正弦值為．
27．已知直線l：x＝my﹣1，圓C：x2+y2+4x＝0．
（1）證明：直線l與圓C相交；
（2）設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為l1，在點(diǎn)B處的切線為l2，l1與l2的交點(diǎn)為Q．試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說(shuō)明理由．
2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題4分）
1．（4分）設(shè)直線l：x﹣y+b＝0的傾斜角為α，則α＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】根據(jù)題意，減直線的方程變形為斜截式，即可得直線l的斜率，由此分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線l：x﹣y+b＝0，即y＝x+b，其斜率k＝，
則有tanα＝，
而0≤α＜π，則α＝30°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角，涉及直線的一般式方程，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心為（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）
【分析】直接利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓的圓心坐標(biāo)即可．
【解答】解：圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心為（1，0）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知＝（2，1，3），＝（﹣4，﹣2，x），且⊥，則x＝（ ）
A．B．C．﹣6D．6
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解．
【解答】解：已知＝（2，1，3），＝（﹣4，﹣2，x），
因?yàn)?，所以，?×（﹣4）+1×（﹣2）+3x＝0，解得，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
4．（4分）若向量，，則＝（ ）
A．B．5C．D．
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．
【解答】解：∵，，
∴+2＝（﹣3，4，1），
∴|+2|＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）點(diǎn)（2，1）到直線l：x﹣2y+2＝0的距離為（ ）
A．B．C．D．0
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解．
【解答】解：點(diǎn)（2，1）到直線l：x﹣2y+2＝0的距離
d＝＝．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知直線l的方向向量，平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（ ）
A．l∥αB．l⊥α
C．l?αD．以上選項(xiàng)都不對(duì)
【分析】計(jì)算得到，得到，即直線l與平面α的位置關(guān)系是l∥α或l?α，得到答案．
【解答】解：已知直線l的方向向量，平面α的法向量，
則，故，
故直線l與平面α的位置關(guān)系是l∥α或l?α．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）直線3x+4y﹣5＝0與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法判斷
【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線的距離d，可判斷直線與圓相切．
【解答】解：圓x2+y2＝1的圓心為（0，0），半徑r＝1，
所以圓心（0，0）到直線3x+4y﹣5＝0的距離d＝＝1＝r，
所以直線與圓相切，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．
8．（4分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，若＝，＝，＝，則下列向量與相等的是（ ）
A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++
【分析】利用空間向量加法法則直接求解．
【解答】解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，若＝，＝，＝，
∴＝
＝++
＝（）
＝+（）
＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的表示法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
9．（4分）過(guò)直線l1：2x+y﹣3＝0與l2：x﹣3y+2＝0的交點(diǎn)，并與l1垂直的直線的方程為（ ）
A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．x+2y+1＝0
【分析】先求出求兩條直線的交點(diǎn)，和要求直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程．
【解答】解：由，求得，可得直線l1：2x+y﹣3＝0與l2：x﹣3y+2＝0的交點(diǎn)為（1，1），
要求直線的斜率為，
故要求直線的方程為 y﹣1＝（x﹣1），即 x﹣2y+1＝0，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要求兩條直線的交點(diǎn)，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．
10．（4分）設(shè)a∈R，則“直線ax+y﹣1＝0與直線x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩直線的位置關(guān)系分析判斷．
【解答】解：當(dāng)直線ax+y﹣1＝0與直線x+ay+5＝0平行時(shí)，
a2＝1，得a＝1或a＝﹣1，
∴“直線ax+y﹣1＝0與直線x+ay+5＝0平行”是“a＝﹣1”的必要不充分條件．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件和必要條件的定義、兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
11．（4分）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）
C．（﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
【分析】由x2+y2+mx﹣2y+2＝0表示圓可得，由點(diǎn)A在圓C外得，求交集即可求出m的取值范圍．
【解答】解：圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0，方程可化為（x+）2+（y﹣1）2＝，
∴，∴m＜﹣2或m＞2，
∵點(diǎn)A（1，2）在圓C外，
∴，解得m＞﹣3，
∴﹣3＜m＜﹣2或m＞2，
∴m的取值范圍為（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
12．（4分）已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4＝0與圓C相切，則圓C的方程為（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
【分析】由圓心在x軸的正半軸上設(shè)出圓心的坐標(biāo)（a，0）a大于0，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線3x+4y+4＝0的距離，由直線與圓相切得到距離與半徑相等列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圓心的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的方程即可．
【解答】解：設(shè)圓心為（a，0）（a＞0），
由題意知圓心到直線3x+4y+4＝0的距離d＝＝＝r＝2，解得a＝2，所以圓心坐標(biāo)為（2，0）
則圓C的方程為：（x﹣2）2+y2＝4，化簡(jiǎn)得x2+y2﹣4x＝0
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，是一道中檔題．
13．（4分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面BC1D1的距離為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由，利用等體積法求解．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)E到平面BC1D1的距離為h，
因?yàn)椋?br>即，
所以，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
14．（4分）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和兩點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最小值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】由∠APB＝90°，得點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓O，故點(diǎn)P是兩圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可求解m的最小值．
【解答】解：∵∠APB＝90°，∴點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓O，
故點(diǎn)P是圓O與圓C的交點(diǎn)，
因此兩圓相切或相交，即|m﹣1|≤≤m+1，
解得4≤m≤6．
∴m的最小值為4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
15．（4分）設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my+1＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx﹣y﹣2m+3＝0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．B．C．6D．3
【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)可得A，B的坐標(biāo)，斜率可知兩直線垂直，可得|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10，由基本不等式可得
【解答】解：由題意可得動(dòng)直線x+my+1＝0過(guò)定點(diǎn)A（﹣1，0），
直線mx﹣y﹣2m+3＝0可化為（x﹣2）m+3﹣y＝0，斜率k＝m．
令可解B（2，3），
又1×m+m×（﹣1）＝0，故兩直線垂直，
即交點(diǎn)為P，
∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝18，
由基本不等式可得18＝|PA|2+|PB|2
＝（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|
≥（|PA|+|PB|）2﹣2＝（|PA|+|PB|）2，
∴（|PA|+|PB|）2≤36，
解得：|PA|+|PB|≤6，
當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝3時(shí)取等號(hào)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及直線過(guò)定點(diǎn)和整體利用基本不等式求最值，屬中檔題
二、填空題（每題5分）
16．（5分）①已知，，則＝ ；
②空間向量，，若，則＝ ．
【分析】①根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解；
②根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：①已知，，
則，
故；
②空間向量，，，
則，即，解得，λ＝﹣4，
故，
所以．
故答案為：①；②．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題．
17．（5分）①若A（﹣2，3）、B（3，﹣2）、C（1，m）三點(diǎn)共線，則m的值為 0 ；
②直線l1：2x+y+1＝0，l2：kx+2y+k﹣1＝0，若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為 ．
【分析】①利用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式及三點(diǎn)共線的斜率相等即可求解；
②利用兩條直線平行的條件及兩條平行直線間的距離公式即可求解．
【解答】解：①，因?yàn)锳（﹣2，3）、B（3，﹣2）、C（1，m），
所以，
因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以kAB＝kAC，即，解得m＝0，
所以m的值為0．
②由于直線l1：2x+y+1＝0，l2：kx+2y+k﹣1＝0，且l1∥l2，
所以1×k﹣2×2＝0，且1×2﹣1×（k﹣1）≠0，解得k＝4，且k≠3，
所以l2：4x+2y+3＝0，轉(zhuǎn)化為，
所以l1與l2之間的距離為．
故答案為：0；．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三點(diǎn)共線求參數(shù)問(wèn)題，考查直線的平行關(guān)系，兩條平行直線間的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
18．（5分）①坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為 x2+y2﹣2x＝0 ；
②過(guò)（5，0），（﹣2，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線x﹣3y﹣10＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x﹣1）2+（y+3）2＝25 ．
【分析】①設(shè)出所求圓的一般方程，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的一般方程，即可得出圓的方程，進(jìn)而可求得圓心坐標(biāo)和半徑．
②首先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方，根據(jù)題意構(gòu)造方程即求解可．
【解答】解：①設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由題意可得，解得，
所以，所求圓的方程為x2+y2﹣2x＝0．
②設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由題知：
?，
所以標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y+3）2＝25．
故答案為：x2+y2﹣2x＝0；（x﹣1）2+（y+3）2＝25．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題．
19．（5分）①兩條垂直直線l1：2x+y+1＝0與l2：ax+4y﹣6＝0的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 ；
②過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x﹣2y﹣2＝0平行的直線方程是 x﹣2y﹣1＝0 ．
【分析】①由兩直線垂直列方程求出a，然后兩直線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果；
②根據(jù)題意設(shè)所求直線為x﹣2y+m＝0，然后將點(diǎn)（1，0）代入求出m的值，從而可求出直線方程．
【解答】解：①因?yàn)橹本€l1：2x+y+1＝0與l2：ax+4y﹣6＝0垂直，
所以，解得a＝﹣2，
所以直線l2為﹣2x+4y﹣6＝0，即x﹣2y+3＝0，
由，得，
所以兩直線交于點(diǎn)（﹣1，1），
所以交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為；
②根據(jù)題意設(shè)所求直線為x﹣2y+m＝0，
因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（1，0），所以1+m＝0，得m＝﹣1，
所以所求直線方程為x﹣2y﹣1＝0，
故答案為：；x﹣2y﹣1＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與直線垂直、直線方程、直線與直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
20．（5分）①圓心為（1，5）．且與x軸相切的圓的方程為 （x﹣1）2+（y﹣5）2＝25 ；
②已知圓x2+y2＝1與圓（x﹣2）2+y2＝a2（a＞0）外切，則a＝ 1 ．
【分析】①根據(jù)題意可知：圓的半徑為5，進(jìn)而寫出圓的方程即可；
②根據(jù)兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和即可求出結(jié)果．
【解答】解：①因?yàn)閳A心為（1，5），且與x軸相切，
所以圓的半徑為5，
故所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣5）2＝25．
②因?yàn)閳Ax2+y2＝1與圓（x﹣2）2+y2＝a2（a＞0）外切，
所以2＝a+1，解得：a＝1．
故答案為：①（x﹣1）2+（y﹣5）2＝25；②1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相切的性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
21．（5分）①直線和圓x2+y2＝r2（r＞0）交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝6，則r的值為 5 ；
②圓C：x2+y2＝4，直線l：y＝kx+m，當(dāng)k變化時(shí)，l截得圓C弦長(zhǎng)的最小值為2，則m＝ ．
【分析】①求出圓心到直線的距離d，由計(jì)算即可，
②先出圓心到直線的距離d，即可表示出弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最小值求出m的值．
【解答】解：①由圓x2+y2＝r2（r＞0）的圓心（0，0）到直線得距離：，
又|AB|＝6，所以＝25，所以r＝5．
②由圓C：x2+y2＝4的圓心（0，0）到直線l：y＝kx+m的距離為，
則弦長(zhǎng)為：，
若要弦長(zhǎng)最小，則k＝0，
所以．
故答案為：5；．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
三、解答題
22．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣1，2），且滿足下列條件，求相應(yīng)l的方程．
（1）過(guò)點(diǎn)N（0，1）；
（2）與直線x+y+5＝0垂直．
【分析】（1）先求斜率，在利用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程；
（2）先設(shè)與已知直線垂直的直線方程，把點(diǎn)代入求出參數(shù)即可得．
【解答】解：（1）因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)M（﹣1，2），N（0，1）兩點(diǎn)，
所以，
所以所求方程為y﹣1＝（﹣1）×（x﹣0），
即x+y﹣1＝0．
（2）設(shè)與直線x+y﹣1＝0；垂直得直線方程為：x﹣y+c＝0，
又經(jīng)過(guò)M（﹣1，2），所以﹣1﹣2+c＝0?c＝3，
所以所求方程為x﹣y+3＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．
23．已知向量＝（﹣2，﹣1，2），＝（﹣1，1，2），＝（x，2，2）．
（Ⅰ）當(dāng)||＝2時(shí)，若向量k+與垂直，求實(shí)數(shù)x和k的值；
（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)x的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用向量的垂直的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果．
（Ⅱ）直接利用共面向量基本定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閨|＝2時(shí)，所以x＝0．
且向量k+＝（﹣2k﹣1，1﹣k，2k+2）．
因?yàn)橄蛄縦+與垂直，
所以（）．
即2k+6＝0．
所以實(shí)數(shù)x和k的值分別為0和﹣3．
（Ⅱ）因?yàn)橄蛄颗c向量，共面，所以設(shè)（λ，μ∈R）．
因?yàn)椋▁，2，2）＝λ（﹣2，﹣1，2）+μ（﹣1，1，2），
則：解得
所以實(shí)數(shù)x的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的垂直和共線的充要條件的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．
24．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BB1＝2，P為B1C1的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AC與BP所成的角；
（2）求直線AC與平面ABP所成的角；
（3）求二面角C﹣AB﹣P的余弦值；
（4）求點(diǎn)B到平面APC的距離．
【分析】建系設(shè)點(diǎn)，利用空間直角坐標(biāo)，結(jié)合求空間角和距離公式求解．
（1）異面直線AC與BP所成的角θ，利用公式求得θ；
（2）平面ABP的法向量，則AC與平面ABP所成的角為θ，由公式求得θ；
（3）分別得到平面ABC與平面PAB的法向量，由公式即可求得結(jié)果．
（4）平面APC的法向量，則B到平面APC的距離求得．
【解答】解：（1）（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（1，2，1）．
，，，，
∴＝＝＝，
∴異面直線AC與BP所成的角為60°．
（2）設(shè)平面ABP的法向量，
則，即，
令x＝1，解得y＝0，z＝1．∴．
設(shè)直線AC與平面ABP所成的角為θ，
則＝＝＝，
∴直線與AC與平面ABP所成的角為30°．
（3）由（2）中可知平面ABP的一個(gè)法向量，
且由圖可知平面CAB的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角為α，則，
由圖可知法向量所成角即為二面角，即二面角C﹣AB﹣P的余弦值為；
（4）設(shè)平面APC的法向量，
則，
∴，令x0＝1，解得y0＝1，z0＝﹣1，
∴．
∴點(diǎn)B到平面APC的距離．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量在空間角與空間距離求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
25．已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），線段AB是圓M的直徑．
（1）求圓M的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，2）且與x軸不垂直的直線l與圓M相交于D，E兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．
【分析】（1）利用A（﹣3，0），B（1，0），線段AB是圓M的直徑，則圓心M的坐標(biāo)為（﹣1，0），又因?yàn)閨AM|＝2，即可求圓M的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線l與圓M相交于D，E兩點(diǎn)，且|DE|＝2，分類討論，即可求直線l的方程．
【解答】解：（1）已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），線段AB是圓M的直徑，
則圓心M的坐標(biāo)為（﹣1，0），
又因?yàn)閨AM|＝2，
所以圓M的方程為（x+1）2+y2＝4．
（2）由（Ⅰ）可知圓M的圓心M（﹣1，0），半徑為2．
設(shè)N為DE中點(diǎn)，則MN⊥l，|DN|＝|EN|＝×2＝，
則|MN|＝＝1．
由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，由題意得＝1，
解得k＝，
故直線l的方程為y＝x+2，即3x﹣4y+8＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．
26．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，PO⊥底面ABCD，AO＝1．點(diǎn)E在棱PB上，PE＝2EB．
（1）當(dāng)PO＝2，求直線AE與平面PCD所成角的正弦值；
（2）當(dāng)PO取何值時(shí)，二面B﹣PC﹣D的正弦值為．
【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O平行于AB的直線為x軸，直線AD為y軸，直線OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面PCD的法向量，利用夾角公式求解；
（2）設(shè)PO＝t，求出平面PCD和平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式建立t 的關(guān)系式，求出t，即可求出OP．
【解答】解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O平行于AB的直線為x軸，直線AD為y軸，直線OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，﹣1，0），B（3，﹣1，0），C（3，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
由PE＝2EB，得＝，則E（2，﹣，），＝（2，，），＝（3，0，0），＝（0，﹣2，2），
設(shè)平面PCD的法向量為＝（x，y，z），
由，取z＝1，得＝（0，1，1），
∴cs＜＞＝＝＝，
∴直線AE與平面PCD所成角的正弦值為；
（2）設(shè)PO＝t，則P（0，0，t），＝（3，0，0），＝（0，﹣2，t），，＝（﹣3，1，t），
設(shè)平面PCD的法向量為，
由，取z1＝2，得＝（0，t，2），
設(shè)平面PCB的法向量為＝（x2，y2，z2），
由，取z2＝3，得＝（t，0，3），
∴cs＜＞＝＝＝，
得t4+13t2﹣14＝0，t2＝1，∴t＝1，即PO＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量法求二面角和直線與平面所成角，注意平面法向量的求法和向量夾角公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
27．已知直線l：x＝my﹣1，圓C：x2+y2+4x＝0．
（1）證明：直線l與圓C相交；
（2）設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為l1，在點(diǎn)B處的切線為l2，l1與l2的交點(diǎn)為Q．試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說(shuō)明理由．
【分析】（1），化簡(jiǎn)整理可得，（m2+1）y2+2my+3＝0，再結(jié)合判別式法，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式，即可求解．
（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合四點(diǎn)共圓，即可求解．
【解答】解：（1），化簡(jiǎn)整理可得，（m2+1）y2+2my+3＝0，
Δ＝4m2+12（m2+1）＝16m2+12＞0，
所以直線l與圓C恒相交．
（2）設(shè)M（x，y），
則有，
∵圓心C（﹣2，0），P（﹣1，0），
∴（x+2，y）?（x+1，y）＝0，整理可得，x2+y2+3x+2＝0，即，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是（x≠﹣2），表示的是以（﹣，0）為圓心，半徑長(zhǎng)為的圓．
（3）當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q恒在直線x＝2上，
理由如下：設(shè)Q（x0，y0），
由題意可得，Q，A，B，C四點(diǎn)共圓，且圓的方程為（x﹣x0）（x+2）+（y﹣y0）y＝0，
即x2+y2+（2﹣x0）x﹣y0y﹣2x0＝0，與圓C的方程x2+y2+4x＝0，
消去二次項(xiàng)得（x0+2）x+y0y+2x0＝0，即為直線l的方程，與l：x＝my﹣1比較可得，
x0+2＝2x0，解得x0＝2，
所以當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q恒在定直線x＝2上．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/23 9:48:48；用戶：菁優(yōu)校本題庫(kù)；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號(hào)：56380052

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