1．（4分）已知A（1，1，1），B（﹣3，1，5），則的值為（ ）
A．4B．C．5D．
2．（4分）下列命題正確的是（ ）
A．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），則∥
B．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），則⊥
C．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），則∥
D．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），則⊥
3．（4分）已知點A（1，3）和點B（5，2）到直線l的距離相等，且l過點（3，﹣1），則直線l的方程為（ ）
A．x+4y+1＝0或x＝3B．x+4y﹣1＝0或x＝3
C．x+4y+1＝0D．x+4y﹣1＝0
4．（4分）已知向量，，則平面ABC的一個法向量可以是（ ）
A．（3，﹣1，﹣2）B．（﹣4，2，2）C．（5，1，﹣2）D．（5，﹣2，1）
5．（4分）已知直線l1：ax+4y﹣2＝0與直線l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足為（1，c），則a+b+c的值為（ ）
A．﹣4B．20C．0D．24
6．（4分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長等于a，則?的值為（ ）
A．a(chǎn)2B．2a2C．3a2D．a(chǎn)2
7．（4分）設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax+2y﹣4＝0與直線l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
8．（4分）《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．”文中“陽馬”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，則點A到平面PBD的距離為（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4＝0與圓C相切，則圓C的方程為（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
10．（4分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是棱AB，BB1的中點，點P在對角線CA1上運動．當(dāng)△PMN的面積取得最小值時，點P的位置是（ ）
A．線段CA1的三等分點，且靠近點A1
B．線段CA1的中點
C．線段CA1的三等分點，且靠近點C
D．線段CA1的四等分點，且靠近點C
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.
11．（5分）直線l：y＝kx﹣k+1過定點為 ．
12．（5分）已知空間向量＝（2，3，1），＝（﹣4，2，x），且⊥，則||＝ ．
13．（5分）若?＝2＝4，且||＝1，則||＝ ，?的最大值為 ．
14．（5分）若直線ax﹣y+2＝0與以點A（1，﹣2），B（4，1）為端點的線段相交，則a的取值范圍是 ．
15．（5分）關(guān)于曲線C：x4+y2＝1，給出下列四個命題：
①曲線C關(guān)于原點對稱；
②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；
③曲線C圍成的面積大于π；
④曲線C圍成的面積小于π．
上述命題中，正確的序號為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16．（13分）已知向量＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，4），＝（2，x，﹣4）．
（1）若∥，求；
（2）若，求在方向上的投影的數(shù)量．
17．（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣3，2），B（4，3），C（﹣1，﹣2）．
（1）在△ABC中，求BC邊上的高線所在的直線方程；
（2）求△ABC的面積．
18．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝4，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．
19．（14分）已知圓C的圓心在直線x﹣2y＝0上，且與y軸相切于點（0，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線l：x﹣y+m＝0交于A，B兩點，_____，求m的值．
從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：
條件①：∠ACB＝120°；
條件②：|AB|＝2．
20．（14分）如圖四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點．
（1）求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；
（2）求點D到平面PBG的距離；
（3）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值．
21．（15分）已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于點M、N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若?＝12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|．
2022-2023學(xué)年北京市昌平一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題要求的一項.
1．（4分）已知A（1，1，1），B（﹣3，1，5），則的值為（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】利用兩點間距離公式直接求解．
【解答】解：A（1，1，1），B（﹣3，1，5），
∴＝＝4．
故選：B．
【點評】本題考查兩點間距離的求法，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．（4分）下列命題正確的是（ ）
A．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），則∥
B．若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），則⊥
C．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），則∥
D．若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），則⊥
【分析】由題意利用兩個向量平行垂直、垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．
【解答】解：若＝（1，﹣2，﹣1），＝（﹣2，4，2），由＝﹣2，可得∥，故A正確、而B不正確；
若＝（1，﹣2，2），＝（2，﹣4，1），由＝≠，可得與 不平行，故C錯誤；
由?＝2+8+2＝12≠0，可得與 不垂直，故D錯誤，
故選：A．
【點評】本題主要考查兩個向量平行垂直、垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知點A（1，3）和點B（5，2）到直線l的距離相等，且l過點（3，﹣1），則直線l的方程為（ ）
A．x+4y+1＝0或x＝3B．x+4y﹣1＝0或x＝3
C．x+4y+1＝0D．x+4y﹣1＝0
【分析】先求出直線AB的斜率，由點A（1，3）和點B（5，2）到直線l的距離相等，且l過點（3，﹣1），得到直線l與直線AB平行，且直線l過點（3，﹣1），或直線l的方程為x＝3，由此能求出直線l的方程．
【解答】解：∵點A（1，3）和點B（5，2），∴kAB＝＝﹣，
∵點A（1，3）和點B（5，2）到直線l的距離相等，且l過點（3，﹣1），
∴直線l與直線AB平行，且直線l過點（3，﹣1），或直線l的方程為x＝3，
∴直線l的方程為：y+1＝﹣（x﹣3），或x＝3，
整理得：x+4y+1＝0或x＝3．
故選：A．
【點評】本題考查直線方程的求法，考查直線的斜率公式、直線的點斜式方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知向量，，則平面ABC的一個法向量可以是（ ）
A．（3，﹣1，﹣2）B．（﹣4，2，2）C．（5，1，﹣2）D．（5，﹣2，1）
【分析】設(shè)平面ABC的一個法向量＝（x，y，z），由向量，，列出方程組，能求出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)平面ABC的一個法向量＝（x，y，z），
∵向量，，
∴，取y＝1，得＝（5，1，﹣2）．
故選：C．
【點評】本題考查平面的法向量的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審，注意法向量的性質(zhì)的合理運用．
5．（4分）已知直線l1：ax+4y﹣2＝0與直線l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足為（1，c），則a+b+c的值為（ ）
A．﹣4B．20C．0D．24
【分析】首先根據(jù)垂直得出﹣×＝﹣1從而求出a的值，再由（1，c）在直線5x+2y﹣1＝0和2x﹣5y+b＝0上求出c和b的值，即可得出結(jié)果．
【解答】解；∵直線l1：ax+4y﹣2＝0與直線l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直
∴﹣×＝﹣1
解得：a＝10
∴直線l1：5x+2y﹣1＝0
∵（1，c）在直線5x+2y﹣1＝0上
∴5+2c﹣1＝0 解得：c＝﹣2
又∵（1，﹣2）也在直線l2：2x﹣5y+b＝0上
∴2×1+5×2+b＝0
解得：b＝﹣12
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故選：A．
【點評】本題考查兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長等于a，則?的值為（ ）
A．a(chǎn)2B．2a2C．3a2D．a(chǎn)2
【分析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：如圖所示，
建立空間直角坐標(biāo)系：
則A（a，0，0），B（a，a，0），C1（0，a，a），
＝（﹣a，a，a），＝（﹣a，0，a），
∴?＝a2+0+a2＝2a2．
故選：B．
【點評】本題考查了向量的坐標(biāo)運算性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax+2y﹣4＝0與直線l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】a＝﹣1時，兩條直線不平行．a(chǎn)≠﹣1時，由＝≠，解得a即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：對于兩條直線：直線l1：ax+2y﹣4＝0與直線l2：x+（a+1）y+2＝0，對a分類討論：
a＝﹣1時，兩條直線不平行，舍去．
a≠﹣1時，由＝≠，解得a＝1．
∴“a＝1”是“直線l1：ax+2y﹣4＝0與直線l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的充要條件．
故選：C．
【點評】本題考查了直線平行、簡易邏輯的判定方法分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．（4分）《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．”文中“陽馬”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，則點A到平面PBD的距離為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)點A到平面PBD的距離為h，利用，即可求解．
【解答】解：設(shè)點A到平面PBD的距離為h，則四棱錐的體積為：，
∴．
則．
故選：B．
【點評】本題考查了等體積法求距離，屬于基礎(chǔ)題．
9．（4分）已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4＝0與圓C相切，則圓C的方程為（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0
【分析】由圓心在x軸的正半軸上設(shè)出圓心的坐標(biāo)（a，0）a大于0，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線3x+4y+4＝0的距離，由直線與圓相切得到距離與半徑相等列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圓心的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的方程即可．
【解答】解：設(shè)圓心為（a，0）（a＞0），
由題意知圓心到直線3x+4y+4＝0的距離d＝＝＝r＝2，解得a＝2，所以圓心坐標(biāo)為（2，0）
則圓C的方程為：（x﹣2）2+y2＝4，化簡得x2+y2﹣4x＝0
故選：D．
【點評】此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，是一道中檔題．
10．（4分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是棱AB，BB1的中點，點P在對角線CA1上運動．當(dāng)△PMN的面積取得最小值時，點P的位置是（ ）
A．線段CA1的三等分點，且靠近點A1
B．線段CA1的中點
C．線段CA1的三等分點，且靠近點C
D．線段CA1的四等分點，且靠近點C
【分析】以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出△PMN的面積取得最小值時，P為CA1的中點．
【解答】解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1，P為A1C上的動點，
設(shè)P（λ，λ，1﹣λ），其中0≤λ≤1，M（），N（1，0，），
|PM|＝＝，
|PN|＝＝，
∴|PM|＝|PN|，△PMN為等腰三角形，底邊|MN|＝，
設(shè)底邊MN上的高為h，則有h＝＝．
∵3，∴時△PMN的面積取得最小值，
此時P為CA1的中點．
故選：B．
【點評】本題考查點的位置瓣判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.
11．（5分）直線l：y＝kx﹣k+1過定點為 （1，1） ．
【分析】先把直線化為點斜式，從而可確定定點．
【解答】解：直線l可化為點斜式y(tǒng)﹣1＝k（x﹣1），
所以直線l：y＝kx﹣k+1過定點（1，1）．
故答案為：（1，1）．
【點評】本題主要考查了直線恒過定點的求解，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）已知空間向量＝（2，3，1），＝（﹣4，2，x），且⊥，則||＝ 2 ．
【分析】由垂直的性質(zhì)求出x的值，從而可得的坐標(biāo)，再由模的坐標(biāo)運算即可求出||．
【解答】解：∵＝（2，3，1），＝（﹣4，2，x），且⊥，
∴?＝﹣8+6+x＝0，
解得x＝2，
∴＝（﹣4，2，2），
∴||＝＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查向量的模的求法，考查向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）若?＝2＝4，且||＝1，則||＝ 2 ，?的最大值為 ﹣2 ．
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)計算，再根據(jù)余弦函數(shù)最值性求解．
【解答】解：因為2＝4，所以||＝2，
因為?＝（）＝?﹣＝?﹣?＝?﹣4＝||?||?cs＜，＞﹣4＝1?2?cs＜，＞﹣4＝2cs＜，＞﹣4≤﹣2，當(dāng)＜，＞＝0時，等號成立．
所以?的最大值是﹣2，
故答案為：2；﹣2．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬于中檔題．
14．（5分）若直線ax﹣y+2＝0與以點A（1，﹣2），B（4，1）為端點的線段相交，則a的取值范圍是 [﹣4，﹣] ．
【分析】由題意可得A，B在直線的兩側(cè)或其中一點在直線上，由此列關(guān)于a的不等式求解．
【解答】解：∵直線ax﹣y+2＝0與以點A（1，﹣2），B（4，1）為端點的線段相交，
∴A，B在直線的兩側(cè)或其中一點在直線上，
則[a×1﹣（﹣2）+2]?（a×4﹣1×1+2）≤0，
即（a+4）（4a+1）≤0，解得．
∴a的取值范圍是[﹣4，﹣]．
故答案為：[﹣4，﹣]．
【點評】本題考查平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）關(guān)于曲線C：x4+y2＝1，給出下列四個命題：
①曲線C關(guān)于原點對稱；
②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；
③曲線C圍成的面積大于π；
④曲線C圍成的面積小于π．
上述命題中，正確的序號為 ①③ ．
【分析】將方程中的x換成﹣x，y換成﹣y方程不變，判斷出①對；通過將方程中的x，y互換方程改變，判斷出②錯；由方程上的點的坐標(biāo)有界判斷出③對，④錯．
【解答】解：對于①，將方程中的x換成﹣x，y換成﹣y方程不變，
所以曲線C關(guān)于x軸、y軸、原點對稱，故①對；
對于②，將方程中的x換為y，y換為x方程變?yōu)閥4+x2＝1與原方程不同，故②錯；
對于③④，在曲線C上任取一點M（x0，y0），，
∵|x0|≤1，
∴，
∴，即點M在圓x2+y2＝1外，
而圓x2+y2＝1的面積為π，故③對，④錯．
故答案為：①③．
【點評】本題考查曲線方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．
三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16．（13分）已知向量＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，4），＝（2，x，﹣4）．
（1）若∥，求；
（2）若，求在方向上的投影的數(shù)量．
【分析】（1）利用空間向量共線定理，列式求解，然后利用模的定義求解即可；
（2）利用向量垂直的充要條件，求出，然后由向量投影的定義求解即可．
【解答】解：（1）因為∥，所以存在使得，
即（1，2，﹣2）＝λ（2，x，﹣4），
所以，解得x＝4，，
則，
所以＝6；
（2）因為，所以，即﹣4﹣4x﹣16＝0，解得x＝﹣5，
所以，
則在方向上的投影的數(shù)量為＝．
【點評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運算，主要考查了空間向量共線的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示、向量投影的定義，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
17．（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣3，2），B（4，3），C（﹣1，﹣2）．
（1）在△ABC中，求BC邊上的高線所在的直線方程；
（2）求△ABC的面積．
【分析】（1）求出直線BC的斜率，從而得到BC邊上的高線斜率，由此能求出BC邊上的高線所在的直線方程．
（2）求出|BC|和直線BC的方程，再求出A到直線BC的距離，由此能求出△ABC的面積．
【解答】解：（1）直線BC的斜率kBC＝＝1．
∴BC邊上的高線斜率k＝﹣1，
∴BC邊上的高線方程為：y﹣2＝﹣（x+3），
∴BC邊上的高線所在的直線方程為x+y+1＝0．
（2）∵B（4，3），C（﹣1，﹣2），
∴|BC|＝＝5，
由B（4，3），C（﹣1，﹣2）得直線BC的方程為：x﹣y﹣1＝0．
∴A到直線BC的距離d＝＝3，
∴△ABC的面積S＝＝15．
【點評】本題考查直線方程、三角形面積的求法，考查直線的斜率、直線垂直、直線方程、兩點間距離公式、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．
18．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝4，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理和平面與平面垂直的判定定理進行分析證明即可；
（Ⅱ）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，將直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為兩個向量的夾角進行求解即可．
【解答】（Ⅰ）證明：因為PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，
因為底面ABCD是正方形，
所以AD⊥CD，
因為PD∩CD＝D，
所以AD⊥平面PCD，
又AD?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：因為PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，
因為底面ABCD是正方形，
所以AD⊥CD，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，
因為PD＝4，底面ABCD是邊長為2的正方形，
所以P（0，0，4），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（1，1，2），F(xiàn)（0，1，2），
則，
設(shè)平面ADE的法向量為，
則有，可得，
所以，
設(shè)直線BF與平面ADE所成的角為θ，
則sinθ＝，
所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．
【點評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，用向量法求解空間角時，關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出所需點的坐標(biāo)．
19．（14分）已知圓C的圓心在直線x﹣2y＝0上，且與y軸相切于點（0，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線l：x﹣y+m＝0交于A，B兩點，_____，求m的值．
從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：
條件①：∠ACB＝120°；
條件②：|AB|＝2．
【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b），半徑為r．由題意可得a＝2b，b＝1，r＝|a﹣0|，進一步求得a與r的值，則圓的方程可求；
（Ⅱ）如果選擇條件①，由已知求得圓心C到直線l的距離d＝1，再由點到直線的距離公式列式求解m值；
如果選擇條件②，同樣由已知求得圓心C到直線l的距離d＝1，再由點到直線的距離公式列式求解m值．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b），半徑為r．
∵圓C的圓心在直線x﹣2y＝0上，∴a＝2b．
又圓C與y軸相切于點（0，1），∴b＝1，r＝|a﹣0|．
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（2，1），r＝2．
則圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（Ⅱ）如果選擇條件①，
∵∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝2，
∴圓心C到直線l的距離d＝1．
則，解得或．
如果選擇條件②，
∵，|CA|＝|CB|＝2，
∴圓心C到直線l的距離d＝1．
則，解得或．
【點評】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點到直線距離公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題．
20．（14分）如圖四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點．
（1）求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；
（2）求點D到平面PBG的距離；
（3）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值．
【分析】（1）以G點為原點，GB，GC，GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，寫出兩條異面直線對應(yīng)的向量，根據(jù)兩個向量的所成的角確定異面直線所成的角．
（2）計算點到面的距離，需要先做出面的法向量，在法向量與點到面的一個點所成的向量之間的運算，得到結(jié)果．
（3）設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)兩條線段垂直，得到兩個向量的數(shù)量積等于0，解出點到坐標(biāo)，根據(jù)向量的模長之比等于線段之比，得到結(jié)果．
【解答】解：（1）以G點為原點，GB，GC，GP為x軸、y軸、
z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，4），故E（1，1，0）＝（1，1，0），＝（0，2，4）．
cs＝，
∴GE與PC所成的余弦值為
（2）平面PBG的單位法向量＝（0，±1，0）
∵，
∴點D到平面PBG的距離為||＝|?|＝
（3）設(shè)F（0，y，z），則
∵，
∴，
∴y＝，又，即（0，，z﹣4）＝λ（0，2，﹣4），∴z＝1，
故F（0，，1），，，
∴＝3．
【點評】本題考查空間幾何量的計算，準(zhǔn)確把握立體幾何的最新發(fā)展趨勢：這樣可以減低題目的難度，堅持向量法與公理化法的“雙軌”處理模式，在復(fù)習(xí)備考時應(yīng)引起高度注意．
21．（15分）已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于點M、N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若?＝12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|．
【分析】（1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（2）由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y＝kx+1，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進行求解．
【解答】（1）由題意可得，直線l的斜率存在，
設(shè)過點A（0，1）的直線方程：y＝kx+1，即：kx﹣y+1＝0．
由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R＝1．
故由＜1，
故當(dāng)＜k＜，過點A（0，1）的直線與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N兩點．
（2）設(shè)M（x1，y1）；N（x2，y2），
由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y＝kx+1，代入圓C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∴y1?y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1
＝?k2+k?+1＝，
由?＝x1?x2+y1?y2＝＝12，解得 k＝1，
故直線l的方程為 y＝x+1，即 x﹣y+1＝0．
圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．
所以|MN|＝2．
【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線和圓相交的弦長公式的計算，考查學(xué)生的計算能力．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/23 9:46:52；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號：56380052

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