數(shù)學(xué)試題
考試時(shí)間：120分鐘 總分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，，.則（ ）
A．B．C．D．
2．函數(shù)的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
3．“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．若 ， 則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
6．定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
7．若函數(shù)與在處有相同的切線，則（ ）
A．B．0C．1D．2
8．已知函數(shù)，對(duì)任意，存在，使，則的最小值為（ ）．
A．1B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的最大值為
C．的最小值為4D．的最小值為
11．已知，，下列說法正確的是（ ）
A．若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則
B．
C．若僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)
D．當(dāng)時(shí)，恒成立
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知，則 .
13．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是 .
14．已知函數(shù)，若函數(shù)，當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15．在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊的銳角和鈍角的終邊分別交單位圓于，兩點(diǎn).已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
(1)求；
(2)求的值.
16．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
17．（1）求的值.
（2）已知函數(shù).若，，求的值.
18．已知y=fx是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
(1)求函數(shù)在上的解析式；
(2)若對(duì)任意的，都有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19．已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．
1．B
【分析】由集合中元素的特征，求出集合，再由交集的定義求.
【詳解】集合，則，
又，所以.
故選：B
2．B
【分析】求出函數(shù)的定義域，分、、時(shí)、討論的值域，再結(jié)合，的函數(shù)值的大小肯定答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
且，，
因?yàn)椋?br>所以，所以只有B符合.
故選：B.
3．A
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，列出不等式求解的范圍，再根據(jù)充分必要條件的知識(shí)判斷即可.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，
所以,
解得或,
因?yàn)榧鲜羌匣虻恼孀蛹?br>所以“”是“函數(shù)在上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.
故選：A.
4．D
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得，再由二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.
【詳解】由 ，得，
所以，即，
所以．
故選：D．
5．A
【分析】先由偶函數(shù)定義待定，再將自變量取值由對(duì)稱性轉(zhuǎn)化至0,+∞，然后由指對(duì)函數(shù)性質(zhì)比較自變量取值的大小，借助函數(shù)單調(diào)性可比較大小.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
則f-x=fx即，
即對(duì)于x∈R恒成立，所以，即．
當(dāng)時(shí)，.
而，
因?yàn)樵赗內(nèi)單調(diào)遞增，則，
又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，
在0,+∞上單調(diào)遞增，又，
，即．
故選：A．
6．C
【分析】由定義在上奇函數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性得出周期，進(jìn)而求得，結(jié)合列出方程求解即可．
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，解得，
所以，
由及得，，
所以，即周期為4，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以，
故選：C．
7．D
【分析】對(duì)，求導(dǎo)，根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.
【詳解】因?yàn)?，，則，，
可得，，，，
因?yàn)?，在處有相同的切線，即切點(diǎn)為，切線斜率，
所以，解得，所以.
故選：D.
8．D
【分析】令，將都用表示，從而可將構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】解：由題意，令，則，，
所以，，，
令，所以，
令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
即的最小值為.
故選：D．
9．BD
【分析】化簡(jiǎn)條件得，對(duì)于A，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)判斷；對(duì)于B，利用誘導(dǎo)公式化成同角，再逆用二倍角公式即得；對(duì)于C,先逆用二倍角公式，再用誘導(dǎo)公式即得；對(duì)于D，將化成后，必須通過同角的三角基本關(guān)系式化成正弦和余弦,代值即得.
【詳解】由，得，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：BD.
10．ABD
【分析】利用二次不等式的解集得方程的兩根為和，結(jié)合韋達(dá)定理得，從而判斷A，再利用基本不等式計(jì)算判斷BCD.
【詳解】由題意，不等式的解集為，
可得，且方程的兩根為和，
所以，所以，，
所以，所以A正確；
因?yàn)?，，所以，可得?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以B正確；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，所以D正確.
故選：ABD
11．BD
【分析】將A中問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)的問題，利用數(shù)形結(jié)合的方式可得A錯(cuò)誤；
分別求得，采用作商法可比較出大小，知B正確；
當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可確定僅有一個(gè)極值點(diǎn)，滿足題意，可知C錯(cuò)誤；
將D中問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得D正確.
【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則圖象如下圖所示：
若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則與有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知：，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由知：，，，
則，故；，故；
，正確；
對(duì)于C．，
若僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
；
當(dāng)沒有變號(hào)根時(shí)，則與至多一個(gè)交點(diǎn)，
，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
當(dāng)是方程的一根時(shí)，則不是的極值點(diǎn)，且，
取，則在0,+∞單調(diào)遞增，
又，，
故，使，即，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
，又，
在上有一變號(hào)零點(diǎn)，即僅有一個(gè)極值點(diǎn)，符合題意；
，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，要證，只需證，即證，
取，則．
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
即，D正確．
故選：BD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到方程根的個(gè)數(shù)的求解、根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、不等式的證明等知識(shí)；求解方程根的個(gè)數(shù)的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解，從而利用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)判斷；證明不等式的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解，從而利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值，進(jìn)而證得結(jié)論.
12．
【分析】利用二倍角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故，解得，而，
故答案為：
13．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，由奇偶性的定義可得為奇函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】記，則，
故當(dāng)，，所以，因此在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，
因此為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
又，因此當(dāng)和時(shí)，，
當(dāng)和時(shí)，，
因此，即可得和，
故成立的的取值范圍是，
故答案為：
14．
【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意，由圖得或，即或，從而轉(zhuǎn)化為與及的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而依次討論即可求解.
【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，
令，即，
由圖可知，或，
則或，
當(dāng)，函數(shù)無(wú)解；
當(dāng)或，函數(shù)只有一個(gè)解；
當(dāng)或，函數(shù)有兩個(gè)解；
當(dāng)，函數(shù)有三個(gè)解；
當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
或或
或或或
或或或或，
解得.
故答案為：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件求得，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及兩角和的正弦公式，即可求解；
（2）首先利用角的變換求，即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，，，，，
所以，，
；
（2），
，
，
由，得，，則，
所以.
16．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，求時(shí)方程的解，分區(qū)間確定函數(shù)的單調(diào)性， 單調(diào)性求最值；
（2）函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，討論，結(jié)合圖象確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】（1）的定義域是0,+∞，
，，
當(dāng)時(shí)，，得.
當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x>0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'x

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