1．（3分）計(jì)算x2?x3的結(jié)果是（ ）
A．x2B．x3C．x5D．x6
2．（3分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和7，則它的周長(zhǎng)是（ ）
A．9B．11C．16D．11或16
3．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，要說明△ABD≌△ACD，還需從下列條件中選一個(gè)，錯(cuò)誤的選法是（ ）
A．∠ADB＝∠ADCB．∠B＝∠CC．DB＝DCD．AB＝AC
4．（3分）如果xa＝3，xb＝4，則xa﹣2b的值是（ ）
A．B．C．﹣13D．﹣5
5．（3分）如圖，AB⊥AC于點(diǎn)A，AB＝AC，AD⊥AE于點(diǎn)A，AD＝AE，已知∠D＝35°，∠B＝25°，則∠CAE的度數(shù)為（ ）
A．35°B．25°C．30°D．45°
6．（3分）如果（x+1）（5x+a）的乘積中不含x一次項(xiàng)，則a為（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
7．（3分）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．（3分）給出下列說法正確的是（ ）
A．三角形的角平分線是射線
B．三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外
C．三角形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離是三角形的高
D．任何一個(gè)三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線
9．（3分）已知m2+n2+2m﹣6n+10＝0，則m+n的值為（ ）
A．3B．﹣1C．2D．﹣2
10．（3分）如圖，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在邊AB，AC上分別截取AG，AF，使AG＝AF；分別以G，F(xiàn)為圓心，以大于GF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)相交于點(diǎn)H；作射線AH交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，則△ACD與△ABD的周長(zhǎng)差為（ ）
A．2B．3C．4D．7
11．（3分）定義：形如a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)（其中a和b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位．規(guī)定i2＝﹣1），a稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)的虛部．復(fù)數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是一個(gè)復(fù)數(shù)．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的實(shí)部是﹣8，虛部是6．已知復(fù)數(shù)（3﹣mi）2的虛部是12，則實(shí)部是（ ）
A．﹣6B．6C．5D．﹣5
12．（3分）如圖，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
二、填空題（共4小題，共12分）
13．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ ．
14．（3分）如圖，∠ABC＝45°，CD＝3，AD＝4，AC＝5，H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段BH長(zhǎng)為 ．
15．（3分）如圖，把一張Rt△ABC紙片沿DE折疊，若∠1＝70°，∠C＝90°，則∠2的度數(shù)為 ．
16．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點(diǎn)，E是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，若∠BOC＝130°，則∠E﹣∠D的度數(shù)＝ ．
三、解答題（共9小題，72分）
17．（8分）計(jì)算：
（1）（a2）3×（﹣a）2+（a3）2+（π﹣3.14）0；
（2）x（x﹣1）+2x（x+1）﹣x（2x﹣3）．
18．（9分）因式分解：
（1）m3﹣9m；
（2）3a2﹣6a+3；
（3）x2（x﹣y）﹣（x﹣y）．
19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2+4（x﹣1），其中x＝1．
20．（6分）如圖，已知：AE＝DF，AE∥DF，CE＝BF，求證：△ABE≌△DCF．
21．（6分）如圖，已知AD，AE是△ABC的高和角平分線，∠B＝50°，C＝70°，求∠DAE的度數(shù)．
22．（7分）如圖在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
求證：∠B＝∠C．
23．（8分）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長(zhǎng)線上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度數(shù)；
（2）求證：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面積．
24．（10分）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．
（1）請(qǐng)寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學(xué)公式．
圖1： ；圖2： ；圖3： ．
其中，完全平方公式可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行探究，并通過公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題．
例如：如圖4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：從“數(shù)”的角度
解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1∴a2+b2＝7．
方法二：從“形”的角度
解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，
又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
類比遷移：
（2）若（5﹣x）?（x﹣1）＝3，則（5﹣x）2+（x﹣1）2＝ ；
（3）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝72，求圖中陰影部分面積．
25．（12分）【建立模型】如圖①，等腰直角三角形△ABC的直角頂點(diǎn)B在線段EF上，過點(diǎn)A作AE⊥EF于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥EF于點(diǎn)F，可以得到結(jié)論：△ABE≌△BCF．
【運(yùn)用模型】請(qǐng)利用這一結(jié)論解決下列問題：
（1）如圖①，請(qǐng)證明△ABE≌△BCF；
（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），C（﹣1，4），過點(diǎn)A作AB⊥AC，使AB＝AC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，6），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2），第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2023-2024學(xué)年四川省瀘州十二中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題（共12小題，每題3分，共36分）
1．C；2．C；3．C；4．A；5．C；6．B；7．C；8．D；9．C；10．C；11．C；12．D；
二、填空題（共4小題，共12分）
13．x（y+2）（y﹣2）；14．5；15．50°；16．10°；
三、解答題（共9小題，72分）
17．（1）a8+a6+1； （2）x2+4x．；
18．解：（1）原式＝m（m+3）（m﹣3）；
（2）原式＝3（a﹣1）2；
（3）原式＝（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．
19．8x﹣9，原式＝﹣1．；
20.證明：∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，
∴CF＝BE，
∵AE∥DF，
∴∠AEB＝∠DFC，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
21．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°．
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°．
22．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD（3分）
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∵DE＝DF，
DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）（6分）
∴∠B＝∠C（8分）
23．（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°；
（2）證明：過E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC?EN+CD?EH＝（AC+CD）?EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABE＝AB?EM＝．
24．（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；10；
25．（（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴AB＝BC，∠ABE+∠CBF＝90°，
又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）解：如圖②，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，
同（1）得：△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE＝AF，AE＝CF，
∵A（1，0），C（﹣1，4），
∴OA＝1，OF＝1，CF＝4，
∴AF＝OA+OF＝1+1＝2，OE＝AE+OA＝CF+OA＝4+1＝5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，2）；
（3）解：第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形，理由如下：
分三種情況：
①當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，AP＝AB，
如圖③，分別過點(diǎn)B、點(diǎn)P作y軸的垂線交過點(diǎn)A作y軸的平行線于點(diǎn)E、點(diǎn)F，
同（1）得：△ABE≌△PAF（AAS），
∴BE＝AF，AE＝PF，
∵A（﹣2，6）、B（6，2），
∴BE＝2+6＝8，AE＝6﹣2＝4，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：4﹣2＝2，縱坐標(biāo)為：8+6＝14，
∴P（2，14）；
②當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，AB＝BP，
如圖④，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)P作x軸的垂線交過點(diǎn)B作x軸的平行線于點(diǎn)E、點(diǎn)F，
同（1）得：△ABE≌△BPF（AAS），
∴BE＝PF，AE＝BF，
∵A（﹣2，6）、B（6，2），
∴BE＝2+6＝8，AE＝6﹣2＝4，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：8﹣2+4＝10，縱坐標(biāo)為：8+2＝10，
∴P（10，10）；
③當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，AP＝BP，
如圖⑤，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作x軸的垂線交過點(diǎn)P作x軸的平行線于點(diǎn)E、點(diǎn)F，
同（1）得：△APE≌△PBF（AAS），
∴PE＝BF，AE＝PF，
設(shè)P（x，y），
∵A（﹣2，6）、B（6，2），
∴x+2＝PE，y﹣2＝BF，y﹣6＝AE，6﹣x＝PF，
∴，
解得：，
∴P（4，8），
綜上所述，第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，14）或（10，10）或（4，8）．

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