1．下列各式中是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
3．下列各組數(shù)據(jù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．，，B．6，7，8C．2，3，4D．8，15，17
4．下列式子中，與為同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則EC等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．當(dāng)AB＝BC時，它是菱形
B．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形
C．當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形
D．當(dāng)AC＝BD時，它是正方形
8．一旗桿在其的B處折斷，量得AC＝5米，則旗桿原來的高度為（ ）
A．米B．2米C．10米D．米
9．如圖，一只螞蟻從長、寬都是4，高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（ ）
A．9B．10C．D．
10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點B落在點B′處，則重疊部分△AFC的面積為（ ）
A．12B．10C．8D．6
11．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△CDE，對角線AC與BD相交于點O，連接AE交BD于點F，若OF＝1，則AB的長度為（ ）
A．2B．C．2D．3
12．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，連接MC，將菱形ABCD翻折，使點A落在線段CM上的點E處，折痕交AB于N，則線段EC的長為（ ）
A．B．4C．5D．
二、填空題（每題分，共12分）
13．要使代數(shù)式有意義，x的取值范圍是 ．
14．計算：＝ ．
15．已知一個直角三角形的兩邊的長分別是4和5，則第三邊長為 ．
16．如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是 ．
三、解答題（每題6分，共18分）
17．計算：．
18．計算．
19．先化簡，再求值：．
四、解答題（每題7分，共14分）
20．已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，BC＝12m，CD＝13m，若每平方米草皮需要200元，問需要多少投入？
21．如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以15海里/時速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，4小時后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C、B兩島相距100海里，問乙船的航速是多少？
五、解答題（每題8分，共16分）
22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D在AB邊上一點．過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE＝AD；
（2）當(dāng)點D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由．
23．6號臺風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．
（1）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？
（2）若臺風(fēng)中心的移動速度為25千米/時，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？
六、解答題（每題12分，共24分）
24．已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE＝CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的長；
（2）求證：∠CEG＝∠AGE．
25．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)△ABQ的面積是正方形ABCD面積的時，求DQ的長；
（3）若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當(dāng)點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．
參考答案
二、單選題（每題3分，共36分）
1．下列各式中是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的定義（根指數(shù)是2，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)）判斷即可．
解：A．被開方數(shù)小于0，無意義，故A不是二次根式；
B．是三次根式，故B不是二次根式；
C．根指數(shù)是2，且被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，故C是二次根式；
D．被開方數(shù)有可能小于0，故D不是二次根式．
故選：C．
【點評】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義（形如的式子叫二次根式）是解答此題的關(guān)鍵．
2．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
解：根據(jù)題意得x﹣2≥0，
解得x≥2，
即x的取值范圍是x≥2．
故選：B．
【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
3．下列各組數(shù)據(jù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．，，B．6，7，8C．2，3，4D．8，15，17
【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；
B、62+72≠82，不能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；
C、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；
D、82+152＝172，能構(gòu)成直角三角形，故選項正確．
故選：D．
【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
4．下列式子中，與為同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐一判斷即可解答．
解：A、與不是同類二次根式，故A不符合題意；
B、∵＝2，∴與是同類二次根式，故B符合題意；
C、∵＝2，∴與不是同類二次根式，故C不符合題意；
D、＝，∴與不是同類二次根式，故D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
5．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的加減法的法則，二次根式的乘除法的法則對各項進(jìn)行運算即可．
解：A、與不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；
B、與﹣不屬于同類二次根式，不能運算，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
6．如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則EC等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可以推導(dǎo)出等角，進(jìn)而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根據(jù)AD、AB的值，求出EC的值．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠BEA
∴BE＝AB＝3
∵BC＝AD＝5
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2
故選：B．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定；在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．
7．已知如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．當(dāng)AB＝BC時，它是菱形
B．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形
C．當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形
D．當(dāng)AC＝BD時，它是正方形
【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形的判斷方法即可判定；
解：A、當(dāng)AB＝BC時，它是菱形，正確；
B、當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形，正確；
C、當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形，正確；
D、當(dāng)AC＝BD時，它是正方形，錯誤，應(yīng)該是當(dāng)AC＝BD時，它是矩形；
故選：D．
【點評】本題考查菱形、矩形、正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形與菱形、矩形、正方形的判定與之間的關(guān)系，屬于中考?？碱}型．
8．一旗桿在其的B處折斷，量得AC＝5米，則旗桿原來的高度為（ ）
A．米B．2米C．10米D．米
【分析】可設(shè)AB＝x，則BC＝2x，進(jìn)而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．
解：由題意可得，AC2＝BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2＝52，解得x＝，
所以旗桿原來的高度為3x＝5，故選：D．
【點評】能夠利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形．
9．如圖，一只螞蟻從長、寬都是4，高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（ ）
A．9B．10C．D．
【分析】將長方體展開，得到兩種不同的方案，利用勾股定理分別求出AB的長，最短者即為所求．
解：如圖（1），AB＝＝；
如圖（2），AB＝＝＝10．
本題選B．
【點評】此題考查了立體圖形的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求出斜邊的長是解題的關(guān)鍵，而兩點之間線段最短是解題的依據(jù)．
10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點B落在點B′處，則重疊部分△AFC的面積為（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠FCA＝∠FAC，證出AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出AF，△AFC的面積＝CF×AD，即可得出結(jié)果．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝4，∠D＝90°，AB∥DC，
∴∠BAC＝∠FCA，
由折疊的性質(zhì)得：∠FAC＝∠BAC，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴AF＝CF，
設(shè)AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴△AFC的面積＝CF×AD＝×5×4＝10；
故選：B．
【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．
11．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△CDE，對角線AC與BD相交于點O，連接AE交BD于點F，若OF＝1，則AB的長度為（ ）
A．2B．C．2D．3
【分析】先根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)證明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出結(jié)論．
解：∵四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°，∠OAF＝45°﹣15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝，
∴AB＝，
故選：B．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定方法；根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)弄清各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
12．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，連接MC，將菱形ABCD翻折，使點A落在線段CM上的點E處，折痕交AB于N，則線段EC的長為（ ）
A．B．4C．5D．
【分析】過點M作MF⊥DC，交CD延長線于點F，根據(jù)在邊長為4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，得到AM＝DM＝2，從而得到∠FDM＝60°，∠FMD＝30°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出FM的長，利用勾股定理求得CM的長，即可得出EC的長．
解：如圖所示，過點M作MF⊥DC，交CD延長線于點F，
∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，
∴，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴，
∴，
CF＝CD+DF＝4+1＝5，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，AM＝ME＝2，
∴．
故選：A．
【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形，利用勾股定理計算求解．
二、填空題（每題分，共12分）
13．要使代數(shù)式有意義，x的取值范圍是 x≥0且x≠1 ．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x≥0，根據(jù)分式有意義的條件可得x﹣1≠0，再解即可．
解：由題意得：x≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故答案為：x≥0且x≠1．
【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
14．計算：＝ 4 ．
【分析】根據(jù)二次根式的乘法直接計算即可．
解：×
＝
＝
＝4．
故答案為：．
【點評】本題是對二次根式計算的考查，熟練掌握二次根式乘法是解決本題的關(guān)鍵．
15．已知一個直角三角形的兩邊的長分別是4和5，則第三邊長為 3或 ．
【分析】根據(jù)勾股定理解答，要分類討論：當(dāng)一直角邊、斜邊為4和5時；當(dāng)兩直角邊長為4和5時．
解：當(dāng)一直角邊、斜邊為4和5時，第三邊＝＝3；
當(dāng)兩直角邊長為4和5時，第三邊＝；
故答案為：3或．
【點評】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的計算同時要注意分類討論．
16．如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是 ．
【分析】根據(jù)軸對稱最短問題作法首先求出P點的位置，再結(jié)合菱形的性質(zhì)得出△AEE′為等邊三角形，進(jìn)而求出PE+PB的最小值．
解：作E點關(guān)于AC對稱點E′點，連接E′B，E′B與AC的交點即是P點，
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，
∴AE′＝AE＝BE＝1，
∴△AEE′為等邊三角形，
∴∠AEE′＝60°，
∴∠E′EB＝120°，
∵BE＝EE′，
∴∠EE′B＝30°，
∴∠AE′B＝90°，
BE′＝＝，
∵PE+PB＝BE′，
∴PE+PB的最小值是：．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及軸對稱中最短路徑求法，正確地作出P點從而利用菱形性質(zhì)得出是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題（每題6分，共18分）
17．計算：．
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而合并得出答案．
解：原式＝4﹣1﹣2+3
＝3+．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
18．計算．
【分析】先算除法和化簡，然后計算加減法即可．
解：
＝﹣﹣
＝﹣﹣
＝﹣2﹣
＝﹣2．
【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
19．先化簡，再求值：．
【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．
解：原式＝?
＝?
＝，
當(dāng)x＝﹣1時，原式＝＝．
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
四、解答題（每題7分，共14分）
20．已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，BC＝12m，CD＝13m，若每平方米草皮需要200元，問需要多少投入？
【分析】仔細(xì)分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長，由BD、CD、BC的長度關(guān)系可得三角形DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解．
解：連接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
，
＝．
所以需費用36×200＝7200（元）．
【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，通過勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡單．
21．如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以15海里/時速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，4小時后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C、B兩島相距100海里，問乙船的航速是多少？
【分析】首先理解方位角的概念，根據(jù)所給的方位角得到∠CAB＝90°．根據(jù)勾股定理求得乙船所走的路程，再根據(jù)速度＝路程÷時間，計算即可．
解：根據(jù)題意，得∠CAB＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵AC＝15×4＝60（海里），BC＝100海里，
∴在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝80（海里）．
則乙船的速度是80÷4＝20（海里/時）．
【點評】此題一定要理解方位角的概念，熟練運用勾股定理，計算的時候，注意運用平方差公式可以簡便計算．
五、解答題（每題8分，共16分）
22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D在AB邊上一點．過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE＝AD；
（2）當(dāng)點D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由．
【分析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；
（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD＝BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；
【解答】（1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE＝AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB＝90°，D為AB中點，
∴CD＝BD，
∴四邊形BECD是菱形；
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力．
23．6號臺風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．
（1）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？
（2）若臺風(fēng)中心的移動速度為25千米/時，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)；利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．
解：（1）海港C受臺風(fēng)影響，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
過點C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC?BC＝CD?AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240km，
∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域，
∴海港C受臺風(fēng)影響；
（2）當(dāng)EC＝260km，F(xiàn)C＝260km時，正好影響C港口，
∵ED＝＝＝100（km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵臺風(fēng)的速度為25千米/小時，
∴200÷25＝8（小時）．
答：臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為8小時．
【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
六、解答題（每題12分，共24分）
24．已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE＝CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的長；
（2）求證：∠CEG＝∠AGE．
【分析】（1）求出DC＝CE＝2CF＝4，求出AB，根據(jù)勾股定理求出BE即可；
（2）過G作GM⊥AE于M，證△DCF≌△ECG，推出CG＝CF，求出M為AE中點，得出等腰三角形AGE，根據(jù)性質(zhì)得出GM是∠AGE的角平分線，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵CE＝CD，點F為CE的中點，CF＝2，
∴DC＝CE＝2CF＝4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝；
（2）證明：解法一、過G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，
，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG＝CF，CE＝CD，
∵CE＝2CF，
∴CD＝2CG，
即G為CD中點，
∵AD∥GM∥BC，
∴M為AE中點，
∴AM＝EM（一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等），
∵GM⊥AE，
∴AG＝EG，
∴∠AGM＝∠EGM，
∴∠AGE＝2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM＝∠CEG，
∴∠CEG＝∠AGE；
解法二、延長AG，交BC延長線于M，
在△ECG和△DCF中，
，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CF＝CG，
∵CE＝CD，F(xiàn)為CE的中點，
∴DG＝CG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADG＝∠MCG，
在△ADG和△MCG中，
，
∴△ADG≌△MCG（ASA），
∴AG＝MG，
∵∠AEC＝90°，
∴EG＝AM＝GM，
∴∠GEC＝∠M，
∵∠AGE＝∠GEC+∠M，
∴∠CEG＝∠AGE．
【點評】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進(jìn)行推理的能力．
25．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)△ABQ的面積是正方形ABCD面積的時，求DQ的長；
（3）若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當(dāng)點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．
【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB＝AD，∠BAD＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，利用“邊角邊”證明△ADQ≌△ABQ即可；
（2）過點Q作QE⊥AD于E，利用△ABQ的面積是正方形ABCD面積的求出QE，進(jìn)而求出DE最后用勾股定理即可；
（3）點P運動時，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD．
①當(dāng)點P運動到與點B重合時，QD＝QA，此時△ADQ是等腰三角形；
②當(dāng)點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③當(dāng)AD＝AQ＝4時，有CP＝CQ，CP＝AC﹣AD而由正方形的對角線的性質(zhì)得到CP的值．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ＝45°
又 AQ＝AQ，
∴△ADQ≌△ABQ
即 無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ
（2）如圖1，
作 QE⊥AD于E，由（1）得△ADQ≌△ABQ，
∴S△ADQ＝S△ABQ
∵△ABQ的面積是正方形ABCD面積的
∴AD×QE＝S正方形ABCD＝，
∴QE＝
又∵QE⊥AD，∠DAQ＝45°
∴∠AQE＝∠DAQ＝45°
∴AE＝QE＝
∴DE＝4﹣＝
∴在Rt△DEQ中，QE＝，DE＝，
根據(jù)勾股定理得，DQ＝
（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD，
①當(dāng)點P運動到與點B重合時，由正方形知QD＝QA此時△ADQ是等腰三角形；
②當(dāng)點P與點C重合時，點Q與點C重合，此時DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如圖4，設(shè)點P在BC邊上運動到CP＝x時，有AD＝AQ，
∵AD∥BC
∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x．
∵AC＝4，AQ＝AD＝4．
∴x＝CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4．
即當(dāng)CP＝4﹣4時，△ADQ是等腰三角形．
【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，（3）需要分類討論．

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