1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)空間向量與立體幾何。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若點(diǎn)關(guān)于平面和軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為，則（ ）
A．B．C．1D．9
2．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若、、、四點(diǎn)共面，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
4．設(shè)，向量，，，且，，則（ ）．
A．B．C．5D．6
5．在四棱錐中，平面，，則與之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
6．已知為平行四邊形外的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與是共線向量B．與同向的單位向量為
C．與夾角的余弦值為D．平面的一個(gè)法向量為
7．是被長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，平面，則球O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A．若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則
B．若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面
C．若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角
D．若空間向量，，則在上的投影向量為
10．如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．直線與所成角的余弦值為
C． 平面D．直線與平面所成角為
11．已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，平面，，，點(diǎn)P滿足，其中，，，則（ ）
A．當(dāng)P為底面的中心時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為
C．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為6
D．當(dāng)時(shí)，為定值
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知，，，點(diǎn)，若平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
13．已知向量，，，則 .
14．正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是為與的交點(diǎn).若，
(1)用表示；
(2)求；
16．（15分）已知平面，，為中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作平行于平面的直線交于點(diǎn)．
(1)求直線與平面所成的角的正切值；
(2)證明：平面平面，并求直線到平面的距離．
17．（15分）如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點(diǎn)是中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．
(1)當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；
(2)在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．
18．（17分）如圖，在平行六面體中，平面ABCD，，，
(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積；
(3)線段上是否存在點(diǎn)E，使得平面EBD與平面的夾角為?若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19．（17分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.
(1)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；
(3)若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積.
參考答案與解析
1．C【詳解】由題意得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，所以，故選：C.
2．D【詳解】在四面體中，不共面，
而則所以故選：D
3．C【詳解】向量在向量上的投影向量
故選：C
4．D【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，所以，
因?yàn)椋?，，所以，所以?br>所以，所以.故選：D.
5．A【詳解】解：因?yàn)槠矫?，，?br>故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
因?yàn)?，，?br>則，，，，
所以，
設(shè)，，
，
距離，
因?yàn)椋?br>故。所以異面直線與之間的距離，故選：A．
6．C【詳解】，，，
所以與不共線，故A錯(cuò)誤；
，的單位向量為，故B錯(cuò)誤；
，故，故C正確；
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則即
令，則，，則，故D錯(cuò)誤．故選：C
7．B【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A1,0,0，，設(shè)，，，，
，，
，
當(dāng)時(shí)， 取得最小值，當(dāng)或1，或1時(shí)，取得最大值0，所以的取值范圍是.故選：B.
8．C【詳解】在三棱錐中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，
則球心到平面的距離為，在中，由余弦定理得：
，
因此外接圓半徑，球的半徑，
所以球O的表面積.故選：C
9．ABD【詳解】對(duì)于A：若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，易得，即，則有，A正確；
對(duì)于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；
對(duì)于C：當(dāng)， 反向共線時(shí)， 也成立，但與夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：ABD．
10．ABD【詳解】不妨設(shè)則.
對(duì)于A，因,
故
，故，故A正確；
對(duì)于B，因，,則，
，
設(shè)直線與所成角為，則故B正確；
對(duì)于C，因
，
即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因，,
因，，
則有因平面，故平面，
即平面的法向量可取為，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
因，，，
則，因，故，故D正確.故選：ABD.
11．BCD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為底面的中心時(shí)，由，則 故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，取最小值為，故B正確;
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在及內(nèi)部，
而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內(nèi)的部分，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得最大值為，故C正確；
對(duì)于D，， ，
而，所以
，則為定值，故D正確.
故答案選：BCD.
12．【詳解】由題可得，，
平面ABC，
，，，.
故答案為：.
13．【詳解】向量，由，解得，
則有，又，則.故答案為：.
14．【詳解】由題意等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，
則，
當(dāng)點(diǎn)與某個(gè)側(cè)面的中心重合時(shí)，最小，且，
當(dāng)點(diǎn)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，且，
由于點(diǎn)是在正方體表面連續(xù)運(yùn)動(dòng)，所以的取值范圍是，
的取值范圍是．故答案為：
15．【詳解】（1）
；
（2）因?yàn)?，所?br>，
因?yàn)?，所?br>，
所以
，
所以.
16．【詳解】（1）連接，
由于平面，所以是直線與平面所成的角，
由于平面，所以，
因?yàn)?，所以?br>又為的中點(diǎn)，所以，
所以。
（2）依題意可知，平面，平面，
由于，平面，所以平面平面.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>由于平面，
所以平面，而是的中點(diǎn)，所以平面，
直線到平面的距離，等于到平面的距離，
所以直線到平面的距離為.
17．【詳解】（1）∵，，∴．
點(diǎn)是中點(diǎn)，，∴，
結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，
∵二面角為直二面角，則側(cè)面底面，
側(cè)面底面，
∴平面，
易知，，兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，
則P0,0,1，，，，D0,1,0，
∴，，PD=0,1,-1．
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，，
則為平面的一個(gè)法向量，
則點(diǎn)到平面的距離．
（2）設(shè)點(diǎn)滿足（）．
∵PD=0,1,-1，∴，
∴，∴．
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，
又∵，，
∴，
取，則，，
取為平面的一個(gè)法向量．
易知平面的一個(gè)法向量為，
二面角的余弦值為
，
由，所以，則，
所以二面角的余弦值的取值范圍為.
18．【詳解】（1）解法一：因?yàn)椤推矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，，所以，，
因?yàn)椋裕?
又因?yàn)椋?
所以，化簡(jiǎn)得.
所以，
所以.
解法二：在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
設(shè)，則，
所以，，
由得，所以，
又因?yàn)椋?，解得?br>所以，，，，
所以，
所以.
解法三：在平面ABCD中，過B作DC的垂線，垂足為G，連結(jié)交于F.
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>則，所以，所以，，
在中，，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，，所以，所以，
所以.
（2）因?yàn)?，由?）知，所以，
過作于H，則.
因?yàn)橹崩庵衅矫嫫矫鍭BCD，平面平面，
平面ABCD，所以平面，
所以.
（3）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，
因?yàn)椤推矫鍭BCD，，
所以以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，，，，，，
，
設(shè)，則，
設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為，
由，得，
令，得，所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由，得，
令，得，所以.
所以，
因?yàn)槠矫鍱BD與平面D1BD的夾角為，
即，解得，
又因?yàn)椋陨崛ィ?br>所以線段上不存在點(diǎn)E使得平面EBD與平面的夾角為.
解法二：由（1）解法二得平面的一個(gè)法向量為，
假設(shè)存在E點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則
設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為，
由，得，
令，則，所以.
所以，
因?yàn)槠矫鍱BD與平面D1BD的夾角為，
即，解得.
又因?yàn)?，所以舍去?br>所以線段上不存在點(diǎn)E使得平面EBD與平面的夾角為.
19．【詳解】（1）由題可知，直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，則有，
所以，直線與平面所成角的余弦值為.
（2）由題可知平面的法向量為，且過點(diǎn)，
因?yàn)?所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，分別畫平面，
然后得到幾何體為
幾何體是底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為的長(zhǎng)方體，故幾何體的體積為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
D
A
C
B
C
ABD
ABD
題號(hào)
11









答案
BCD









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