1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛管把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題（共8題，每題5分）
1. 直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.
【詳解】由題的斜率,故傾斜角的正切值為-1,又,故
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線斜率為直線傾斜角的正切值,屬于基礎(chǔ)題型.
2. 已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，
所以，解得.
故選：C.
3. 在四面體中，記，，，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意得：，
故選：B.
4. 若直線與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出過定點(diǎn)，畫出圖形，求出，，數(shù)形結(jié)合得到或，即或.
【詳解】經(jīng)過定點(diǎn)，斜率為，畫出圖形，如下：
其中，，
直線與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)（含端點(diǎn)），
則或，即或.
故選：C
5. 已知直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（ ）
A. B.
C. 與相交但不垂直D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積結(jié)果即可判斷得解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，則，
又是直線的一個(gè)方向向量，是平面的一個(gè)法向量，
所以或.
故選：D.
6. 若直線與圓相切，且點(diǎn)到直線的距離為3，則這樣的直線的條數(shù)為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分類討論直線的斜率不存在與存在兩種情況，利用直線與圓相切的性質(zhì)與點(diǎn)線距離公式得到關(guān)于的方程組，進(jìn)而分析得其解的個(gè)數(shù)即可得解.
【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為1，
因?yàn)橹本€與圓相切，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為或，
當(dāng)直線的方程為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，不滿足題意；
當(dāng)直線的方程為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，不滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
則有，即，
即，解得或，
當(dāng)時(shí)，有，解得或；
當(dāng)時(shí)，有，整理得，
此時(shí)，即方程有兩個(gè)解，且不為或；
綜上，的取值有四種情況，對應(yīng)的也有四種取值，所以滿足條件的直線一共有四條.
故選：A.
7. 已知圓過點(diǎn)，，設(shè)圓心，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意由半徑相等，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得到，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，得，又，，，
所以，化簡得，
故，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以的最小值為2.
故選：B.
8. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別，，是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè)，從而得到所需線段關(guān)于的表示，再利用勾股定理與余弦定理依次求得關(guān)于的表示，進(jìn)而得解.
【詳解】因?yàn)?，不妨設(shè)，則，
由橢圓的定義與對稱性可得，，，
因?yàn)?，所以?br>則，解得，
則，故，
則在中，由，
得，解得，
所以橢圓的離心率為.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（共3題，每題6分）
9. 已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓的焦距為6B. 的周長為10
C. 橢圓的離心率為D. 面積的最大值為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用橢圓方程得到，利用橢圓的定義與性質(zhì)，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】對于A，因?yàn)闄E圓，所以，
所以橢圓的焦距為，故A錯(cuò)誤；
對于B，由橢圓的定義可知，
所以的周長為，故B正確；
對于C，橢圓的離心率為，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最大，
此時(shí)面積取得最大值，為，故D正確.
故選：BD.
10. 在三棱錐中，△為邊長為的正三角形，，，設(shè)二面角的大小為，，為的重心，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則與所成的角為D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】取中點(diǎn)，過作且，連接，則平面.取，，為基底向量，則根據(jù)題意知，.對于項(xiàng)，根據(jù)，得，用基底向量表示，再求模長即可；對于項(xiàng)，根據(jù)模長公式建立等式，可得，再用向量的數(shù)量積公式求夾角即可；對于項(xiàng)，若，則，分別用基底向量表示，，并求模長，再利用向量法求異面直線的夾角即可；對于項(xiàng)，若，則，根據(jù)已知條件可證平面，從而平面，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形重心公式求得的坐標(biāo)，再求模長即可.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)，過作且，連接，則平面.
因?yàn)椤鳛檎切?，所以，?br>因?yàn)?，所以，所以?br>所以二面角的平面角為，則.
以，，為基底向量，則，.
對于項(xiàng)，若，即，所以.
因?yàn)椋?br>所以，故正確；
對于項(xiàng)，由知，
所以，所以，
所以，解得，所以，故正確；
對于項(xiàng)，若，即，所以.
由知，又，
所以,
，，
設(shè)與所成角為，則，
所以與所成的角不是，故錯(cuò)誤；
對于項(xiàng)，若，即，所以，
又，，平面，所以平面，
又，所以平面，則三線兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系.
則，，，，則根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式得，
所以，所以，故正確.
故選：.
11. 已知曲線，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 曲線關(guān)于直線對稱
C. 曲線圍成的封閉圖形的面積不大于
D. 曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用曲線的方程得到關(guān)于的不等式可判斷A；利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)判斷得曲線的對稱性，從而判斷B；分析曲線與曲線上的兩個(gè)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小關(guān)系，從而得到曲線圍成的封閉圖形的面積情況，從而判斷CD.
【詳解】對于A，因?yàn)榍€，
所以，解得，故A正確；
對于B，因?yàn)榍€，可化為，
設(shè)點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，則其關(guān)于對稱的點(diǎn)為，
將代入曲線方程，得，
所以曲線關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于CD，因?yàn)?，所以，則，
設(shè)點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，則，
點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，則，
則，，故，
易知當(dāng)時(shí)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號成立），故，
又在上單調(diào)遞增，所以，
故當(dāng)增大時(shí)，橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值會(huì)大于或等于原來的，
又曲線圍成的圖形為封閉圖形，所以該圖形會(huì)比原來的大，
即曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大，故D正確，
又當(dāng)時(shí)，曲線為，即其圖形是半徑為的圓，
此時(shí)其面積為，則曲線圍成的封閉圖形的面積不小于，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，分析得兩曲線與上的點(diǎn)的情況，從而得到其圍成的封閉圖形的面積情況，由此得解.
三、填空題（共3題，每題5分）
12. 若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的值為________.
【答案】2
【解析】
【分析】由題意可得圓心在直線上，從而列式得解.
【詳解】圓的圓心為圓心，半徑為2，
圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則圓心在直線上，
所以，解得.
故答案為：2.
13. 已知點(diǎn)，，C1,1,0，則點(diǎn)到直線的距離是______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用空間向量中點(diǎn)到線的距離公式，結(jié)合向量數(shù)量積與模的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，C1,1,0，
所以，，
則，，
所以點(diǎn)到直線的距離是
.
故答案為：.
14. 過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長定理、結(jié)合四邊形及三角形面積轉(zhuǎn)化為求最大值問題.
【詳解】圓的圓心，半徑，
由切圓于點(diǎn)知，，則，
因此最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，設(shè)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
故答案為：

四、解答題（共5題，共77分）
15. 已知直線，圓.
（1）求與直線平行且與圓相切直線方程；
（2）設(shè)直線，且與圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
【答案】（1）或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意假設(shè)所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求得，從而得解；
（2）根據(jù)題意假設(shè)直線的方程，利用圓的弦長公式求得圓心到直線的距離，進(jìn)而利用點(diǎn)線距離公式列式即可得解.
【小問1詳解】
依題意，設(shè)所求直線方程為，
因?yàn)樗笾本€與圓相切，且圓心為，半徑為，
，解得或，
所求直線方程為或；
【小問2詳解】
依題意，設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€與圓相交于A，B兩點(diǎn)，，
圓心到直線的距離為，
，解得或，
直線的方程為或.
16. 設(shè)橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.
（1）若直線的傾斜角為，求橢圓的離心率；
（2）若直線在軸上的截距為1，且，求，.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件求出的坐標(biāo)，利用直線的的傾斜角，建立關(guān)于的齊次方程，解之即可得解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合線段的數(shù)量關(guān)系求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程，解之即可得解.
【小問1詳解】
依題意，設(shè)橢圓的半焦距為，
則，則由題意可知，點(diǎn)在第二象限，設(shè)，
將代入，得，解得，則，
因?yàn)橹本€的傾斜角為，
所以，則，則，
所以，即，則，
即，解得或（舍去），
所以橢圓的離心率為.
【小問2詳解】
記直線與軸的交點(diǎn)為，
易知，且，故，
則，，
因?yàn)?，所以，則，
即是與的中點(diǎn)，所以，
將代入橢圓方程，得，
所以，解得，故，即，
所以，.
17. 如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．
（1）證明：，，，四點(diǎn)共面．
（2）設(shè)平面與棱的交點(diǎn)為，求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用共面向量定理，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算推理得證.
（2）結(jié)合（1）的信息，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及平面法向量，利用線面角的向量求法求解.
【小問1詳解】
在正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，則，
則，
于是，即向量共面，
又向量有公共點(diǎn)，所以，，，四點(diǎn)共面.
【小問2詳解】
設(shè)，則，由點(diǎn)平面，
得，即，則，
解得，即，，
而，則，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
令與平面所成的角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為.
18. 球面距離在地理學(xué)、導(dǎo)航系統(tǒng)、信息技術(shù)等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用．球面距離的定義：球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，即經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓（經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓）在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度．這個(gè)弧長就被稱作兩點(diǎn)的球面距離．

（1）在正四棱柱（底面為正方形的直棱柱）中，，，求頂點(diǎn)，在該正四棱柱外接球上的球面距離．
（2）如圖1，在直角梯形中，，，，．現(xiàn)將沿邊折起到，如圖2，使得點(diǎn)在底面的射影在上．
①求點(diǎn)到底面的距離；
②設(shè)棱錐的外接球?yàn)榍颍?，兩點(diǎn)在球上的球面距離．
參考數(shù)據(jù)：，．
【答案】（1）；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）求出線段所對的正四棱柱外接球截面大圓的圓心角，再求出弧長.
（2）①根據(jù)給定條件可得平面，再在直角三角形中求出；②利用球的截面性質(zhì)確定球心，求出球半徑，進(jìn)而求出球面距離.
【小問1詳解】
正四棱柱的外接球直徑，球半徑，
因此球心與點(diǎn)構(gòu)成正三角形，弦所對球過的大圓圓心角為，弧長為，
所以頂點(diǎn)，在該正四棱柱外接球上的球面距離為.
【小問2詳解】
①在直角梯形中，，，，，
，，則為正三角形，
棱錐中，平面，而平面，則，
又，平面，則平面，
而平面，因此，，
在中，，，，
所以點(diǎn)到底面的距離為.
②取中點(diǎn)，則為外接圓圓心，令正的外接圓圓心為，
連接，則，平面，平面，
于是，，
在中，，因此棱錐的外接球半徑，
有，球的弦所對大圓的圓心角為，
，即是鈍角，而，
則，在大圓中所對劣弧長為，
所以，兩點(diǎn)在球上的球面距離為.

19. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)直線與交于點(diǎn)．
（1）證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)始終在某個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)，并求出橢圓的方程．
（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于，不同的兩點(diǎn)，再過點(diǎn)F1,0作直線的平行線與橢圓交于，不同的兩點(diǎn)．
①證明：為定值．
②求面積的取值范圍．
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）求出直線與的方程，消去參數(shù)即可得到橢圓的方程；
（2）①分別聯(lián)立方程與，借助韋達(dá)定理，表示出與，進(jìn)一步求解即可；
②將轉(zhuǎn)化為，再借助韋達(dá)定理，可轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，根據(jù)的范圍求函數(shù)值域即可.
小問1詳解】
解：設(shè)點(diǎn)，依題意可知，即，
所以，即；
同理可得.
于是直線的斜率為，
所以的直線方程為，
直線的方程為，即，
設(shè)直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
由可得，
整理可得，
所以當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)始終在橢圓：上運(yùn)動(dòng).
【小問2詳解】
①證明：設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，，
因直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，
所以，即或，
由韋達(dá)定理可知，，
又，所以，
設(shè)直線的方程為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，,
聯(lián)立，消去得，，
同理可得：，
,
所以（定值）.
又當(dāng)直線的方程為時(shí)，直線與直線重合不符合題意.
故（定值）.
②因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以，
整理可得，
令，因?yàn)?，所以?br>所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
所以，
即面積的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）在得到直線與的方程后整體消參是比較簡捷的方法；
（2）將直線的方程設(shè)為，直線的方程設(shè)為，在后續(xù)運(yùn)算中
能比較簡捷運(yùn)算量稍小，給轉(zhuǎn)化為提供了便利條件.

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