一、單選題（本大題共8小題）
1．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ）
A．0B．1C．eD．
2．已知函數(shù)，則（ ）
A．有極小值，無極大值B．既有極小值又有極大值
C．有極大值，無極小值D．無極小值也無極大值
3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．的單調(diào)遞減區(qū)間是
B．的單調(diào)遞增區(qū)間是，
C．當(dāng)時(shí)，有極值
D．當(dāng)時(shí)，
4．若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且在時(shí)滿足以下條件：①導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示；②唯一的零點(diǎn)是1．則的解集為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的，均有，則（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函數(shù)則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，
B．函數(shù)的值域?yàn)?br>C．若關(guān)于的方程有三個(gè)根，則
D．若對(duì)于恒成立，則
11．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．若函數(shù)，則 .
13．已知曲線經(jīng)過點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線C的切線方程是
14．已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù)在與處都取得極值．
（1）求，的值；
（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．已知函數(shù)，若在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)在上的極值．
17．如圖（1），一邊長為48cm的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個(gè)無蓋長方體容器，如圖（2），所得容器的容積V（單位：）是關(guān)于截去的小正方形的邊長x（單位：cm）的函數(shù).
(1)隨著x的變化，容積V是如何變化的？
(2)截去的小正方形的邊長為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？
18．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19．對(duì)數(shù)均值不等式在各個(gè)領(lǐng)域都有著重要應(yīng)用．
(1)討論，的單調(diào)性
(2)試證明對(duì)數(shù)均值不等式：
(3)設(shè)，試證明：
參考答案
1．【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所以?br>根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1.
故選B.
2．【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所以?br>令，，令，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即極小值為，極大值為，
得到既有極小值又有極大值，故B正確.
故選B.
3．【答案】A
【詳解】根據(jù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，可得；
當(dāng)時(shí)，，可得；
當(dāng)時(shí)，，可得，且；
對(duì)于AB，易知時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
因此的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，即A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在處左右函數(shù)的單調(diào)性不改變，因此C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)闀r(shí)，，可得，因此，即D錯(cuò)誤.
故選A.
4．【答案】B
【詳解】的定義域?yàn)?，?br>因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，所以.
故選B.
5．【答案】A
【詳解】令，可得，
令，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
，令，可得或，列表如下：
如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選A.
6．【答案】B
【詳解】記在上的零點(diǎn)為，
由在上的圖象，知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)樵谖ㄒ坏牧泓c(diǎn)是1，即，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
又為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的解集為．
故選B．
7．【答案】A
【詳解】構(gòu)造函數(shù) ，
則 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
故 ，
即 ，
即 .
同理， ，
即 .
故選A.
8．【答案】B
【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；
對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤．
故選B．
9．【答案】BC
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤．
故選BC
10．【答案】ACD
【詳解】（i）當(dāng)時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有.
（ii）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)在單調(diào)遞增，
當(dāng)在單調(diào)遞減，
故， 且當(dāng)時(shí)， ，，恒有.
綜上可知，，
作出函數(shù)大致圖象，如下圖.
對(duì)于A，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確；
對(duì)于B，函數(shù)的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；
對(duì)于C，方程有三個(gè)根，
則所以與有3個(gè)公共點(diǎn)，
由圖象可知當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，
即的取值范圍是，故C正確;
對(duì)于D，設(shè)函數(shù)為過定點(diǎn)的直線，
且與函數(shù)的切點(diǎn)為，
則有① ，②，且③，
由①②得，
將③代入上式可得，即，
即，解得或（舍去），
，此時(shí)直線與函數(shù)相切，為臨界情況；
當(dāng)，直線斜率增大，此時(shí)函數(shù)滿足在時(shí)，處于直線下方，
即對(duì)于恒成立，
因此，，故D正確；
故選ACD.
11．【答案】ABC
【詳解】由題意有方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根，
即方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根，令，
，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，所以，
因?yàn)?，?br>故選ABC.
12．【答案】
【詳解】對(duì)求導(dǎo)，得，
所以，解得，
所以，將代入，可得.
13．【答案】
【詳解】因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，
則曲線方程為，，
設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，
則切線方程為，又切線經(jīng)過點(diǎn)，
則，解得，
則切線方程為，即.
14．【答案】
【詳解】由求導(dǎo)，，由可得：，
因不滿足此式，故可得：，
則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
由求導(dǎo)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
則函數(shù)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故時(shí)，取得極小值.
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)從0的左邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)從0的右邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
故可作出函數(shù)的圖象如圖.

由圖可知：函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于.
15．【答案】（1），；（2）．
【詳解】（1）由題設(shè)，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，為極大值，又，則為在上的最大值，
要使對(duì)任意恒成立，則只需，解得或，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16．【答案】(1)
(2)極大值，極小值
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>由題意得，所以，；
故的解析式為
（2）由（1）得，，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值
17．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．
(2)當(dāng)截去的小正方形的邊長為8cm時(shí)，得到的容器容積最大，最大容積為8192
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，由實(shí)際情況可知函數(shù)的定義域?yàn)?
根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得
，解方程，得，（舍），
令得，令得，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此，是函數(shù)的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí)，
所以當(dāng)截去的小正方形的邊長為8cm時(shí)，得到的容器容積最大，最大容積為8192.
18．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）若不等式恒成立，又，
則有恒成立.
設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，不合題意;
當(dāng)時(shí)，令，解得,
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
由恒成立，則成立，
即成立,
令，則,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
所以當(dāng)時(shí)，成立.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19．【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性.
（2）先進(jìn)行轉(zhuǎn)化：，；，.在利用（1）的結(jié)論證明.
（3）利用，可得，再累加求和即可.
【詳解】（1）在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.
（2）不妨設(shè)
因?yàn)?br>設(shè)，，則問題轉(zhuǎn)化為：，.
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.
故，成立，所以： .
又因?yàn)?
由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，故，成立，所以.
所以：成立.
（3）根據(jù)，
所以,
所以，成立.增
極大值
減
極小值
增
1
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增

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