一、選擇題
1．直線的傾斜角為( )
A.B.C.D.
2．設(shè)，，與垂直，則k等于( )
A.6B.14C.D.
3．已知直線，互相平行，且,之間的距離為，則( )
A.或3B.或4C.或5D.或2
4．已知，則“”是“直線和直線垂直”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
5．兩條直線和在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是( )
A.B.C.D.
6．在三棱柱中，，，，則該三棱柱的高為( )
A.B.C.2D.4
7．已知是空間的一個單位正交基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則它在基底下的坐標(biāo)為( ).
A.B.C.D.
8．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為( )
A.B.5C.D.
二、多項選擇題
9．下列結(jié)論正確的是( )
A.若是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則
B.坐標(biāo)平面內(nèi)過點的直線方程可以寫成
C.直線l過點，且原點到l的距離是2，則l的方程是
D.若,,是空間的一組基底，且，則A,B,C,D四點共面
10．下列說法正確的是( )
A.直線的傾斜角的取值范圍是
B.若,,三點在一條直線上，則
C.過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程為
D.直線l的方向向量為，則該直線的斜率為
11．在三棱錐中，,,兩兩垂直，平面于點P，設(shè),,,的面積分別為,,,S，下列命題中正確的是( )
A.可能為直角三角形B.點P為的垂心
C.D.
三、填空題
12．已知向量，，則在上的投影向量坐標(biāo)為________.
13．已知點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為，點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為，點關(guān)于z軸的對稱點為，則________.
14．設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值________.
四、解答題
15．已知直線與直線交于點P.
（Ⅰ）直線過點P且平行于直線，求直線的方程；
（Ⅱ）直線經(jīng)過點P，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，直線的方程.
（注：結(jié)果都寫成直線方程的一般式）
16．已知空間中三點,,.
(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；
(2)求的面積.
17．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為4，且.設(shè),,，求：
(1)用基底表示向量，并求向量的長度；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
18．已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
(2)求點到直線l距離的最大值并求此時直線l的方程；
(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B,的面積為S(O為坐標(biāo)原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程.
19．如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)在線段上是否存在點P，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：由直線可知其斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，
則由得，又，所以.
故選：B.
2．答案：C
解析：由題設(shè)，，
，
.
故選：C
3．答案：A
解析：由可得，解得，則直線的方程為，由，即，解得或，故或，即.
故選：A.
4．答案：A
解析：直線和直線垂直，
則，解得或，
所以“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件，
故選：A
5．答案：A
解析：由截距式方程可得直線的橫、縱截距分別為a，，直線的橫、縱截距分別為b，，
選項A，由的圖象可得，，可得直線的截距均為正數(shù)，故正確；
選項B，由的圖象可得，，可得直線的截距均為正數(shù)，由圖象不對應(yīng)，故錯誤；
選項C，由的圖象可得，，可得直線的橫截距均為負(fù)數(shù)，縱截距為正數(shù)，由圖象不對應(yīng)，故錯誤；
選項D，由的圖象可得，，可得直線的橫截距為正數(shù)，縱截距為負(fù)數(shù)，由圖象不對應(yīng)，故錯誤.
故選：A.
6．答案：B
解析：設(shè)平面ABC的法向量為，則所以
令，則，，所以是平面ABC的一個法向量.所以點到平面ABC的距離，故該三棱柱的高為.故選B.
7．答案：D
解析：由于是空間的一個單位正交基底，
可設(shè)向量，，，
則向量，，
又向量在基底下的坐標(biāo)為，
不妨設(shè)，
則，
即，解得：，
所以向量在基底下的坐標(biāo)為.
故選：D.
8．答案：A
解析：先找出B關(guān)于直線的對稱點C再連接即為“將軍飲馬”的最短路程.
如圖所示，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
在直線上取點P，連接，則.
由題意可得，解得，即點，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點共線時等號成立，
所以“將軍飲馬”的最短總路程為.
故選：A.
9．答案：BD
解析：對于A，當(dāng)時，，或，故A錯誤；
對于B，設(shè)過點的直線方程一般式為，
可得，即，代入直線方程得，
提取公因式得，故B正確；
對于C，當(dāng)直線l斜率不存在時，即，檢驗原點到l的距離是2，所以符合；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)為k，則l方程為：，即，
利用原點到直線的距離，解得，所以，
故直線l的方程是或，故C錯誤；
對于D，對于空間中任意一點O，由，
因為，所以A,B,C,D四點共面，所以D正確.
故選：BD.
10．答案：AD
解析：直線的斜率，所以其傾斜角為，A正確；
若,,三點在一條直線上，則斜率等于斜率，得，B錯誤；
過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l存在一條過原點，顯然不過原點，C錯誤；
直線l的方向向量為，則斜率，D正確.
故選：AD
11．答案：BCD
解析：假設(shè)，，，
所以，，，
因為任何兩邊的平方和大于第三邊的平方，
所以是銳角三角形，故A選項錯誤；
由,,兩兩垂直易證平面，
所以，因為，
所以易證平面，所以，
同理可得，，
所以點P為的垂心，故B選項正確；
設(shè)的面積為S，因為四面體體積為，
所以，等式兩邊平方可得，
由海倫公式可得，其中，
所以
，
所以代回可得，故C選項正確；
，，，，
因為，所以，
所以，
因為，，，
所以，故D選項正確.
故選：BCD.
12．答案：
解析：因為,，
所以，，
則在上的投影向量坐標(biāo)為.
故答案為：
13．答案：
解析：由題意得，，，
故.
故答案為：
14．答案：
解析：由題意可知：動直線過定點，
動直線，即過定點，
則，且，則，
可知點P的軌跡是以為直徑的圓，則，
且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最大值.
故答案為：.
15．答案：（I）；
（II）或.
解析：（I）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，
，解可得，則P的坐標(biāo)為，
P在直線上，則有，解可得，
則直線的方程為；
（II）直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，則直線不通過原點，且其斜率為1或，又直線經(jīng)過點P，
若直線的斜率為1，則直線的方程為，即；
若直線的斜率為，則直線的方程為，即.
綜合可得：直線的方程為或.
16．答案：(1)或；
(2)
解析：（1）空間中三點，，，
，
，且，
設(shè)，，
，
，或.
（2），，，
，，，
，
，
.
17．答案：(1)；；
(2)
解析：（1）由題意可知：
，，，，
因為，
則
，
即，所以的長度為.
（2）因為，
可得，
且，，
設(shè)直線與所成角為
可得，
所以直線與所成角的余弦值為.
18．答案：(1)；
(2)，l的方程為；
(3)4，此時直線l的方程為
解析：（1）直線l的方程為：，它過定點，在第二象限，
因此直線不過第四象限，則，
k的取值范圍是.
（2）由直線點斜式方程可知直線恒過定點且斜率為k，
結(jié)合圖象：
可知當(dāng)與直線垂直時，點到直線距離最大，且，
此時,l的方程為.
（3）由題意可知，再由l的方程，得,.
依題意得解得.
，
“＝”成立的條件是且，即，
，此時直線l的方程為.
19．答案：(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在；2
解析：（1）因為四邊形為矩形，平面平面，
平面平面，
所以，則平面，
根據(jù)題意可以以D為原點，所在直線為x軸，
所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，易知,，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
，
不妨令，，則，
又，，，
又平面，平面.
（2）由上可知，，
設(shè)平面的法向量，
，
令，，則，
，
平面與平面夾角的余弦值為.
（3）設(shè)，
，，
又平面的法向量，
由直線與平面所成角的余弦值為，
，
，或.
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，.
綜上，.

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