一、選擇題
1．已知直線l經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),則l的傾斜角為( )
A.B.C.D.
2．若，，三點(diǎn)共線，則( )
A.B.C.D.
3．在長(zhǎng)方體中,M為棱的中點(diǎn).若,,則等于( )
A.B.
C.D.
4．兩平行直線，之間的距離為( )
A.B.3C.D.
5．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
6．已知平面的一個(gè)法向量,是平面內(nèi)一點(diǎn),是平面外一點(diǎn),則點(diǎn)P到平面的距離是( )
A.B.C.D.3
7．如圖，在四棱錐中，PD底面，底面為正方形，，Q為上一點(diǎn)，且，則異面直線與所成的角為( )
A.B.C.D.
8．在正三棱柱中,,,,M為棱上的動(dòng)點(diǎn),N為線段AM上的動(dòng)點(diǎn),且,則線段MN長(zhǎng)度的最小值為( )
A.2B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列關(guān)于空間向量的命題中，是真命題的是( )
A.若三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們一定不共面
B.若，則，的夾角是銳角
C.不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟?br>D.若，是兩個(gè)不共線的向量，且(且)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底
10．已知直線,直線,則( )
A.當(dāng)時(shí),與的交點(diǎn)為
B.直線恒過(guò)點(diǎn)
C.若,則
D.存在,使
11．在平行六面體中，，，若，其中，則下列結(jié)論正確的為( )
A.若點(diǎn)Q在平面內(nèi)，則
B.若，則
C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為
D.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為
三、填空題
12．若直線l與直線垂直,且它在y軸上的截距為4,則直線l的方程為_(kāi)__________.
13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，則三棱錐的體積為_(kāi)________.
14．在中,頂點(diǎn),點(diǎn)B在直線上,點(diǎn)C在x軸上,則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______.
四、解答題
15．在梯形中，，，已知，，.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)求梯形的面積.
16．如圖所示的幾何體是圓錐的一部分,其中是圓錐的高,是圓錐底面的一條直徑,,,C是的中點(diǎn).
(1)求直線與所成角的余弦值;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn).
(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；
(2)若點(diǎn)P在棱，且平面，求的長(zhǎng)度.
18．如圖，四邊形是直角梯形，,,,E為的中點(diǎn)，P是平面外一點(diǎn)，,,,M是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．球面幾何在研究球體定位等問(wèn)題有重要的基礎(chǔ)作用.球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線，它們長(zhǎng)短不一，其中這兩點(diǎn)在球面上的最短路徑的長(zhǎng)度稱為兩點(diǎn)間的球面距離.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角，，分別為，，，則球面三角形的面積為.
（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；
（2）將圖1中四面體截出得到圖2，若平面三角形為直角三角形，，設(shè)，，.
①證明：；
②延長(zhǎng)與球O交于點(diǎn)D，連接，，若直線，與平面所成的角分別為，，且，，S為的中點(diǎn)，T為的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值.
參考答案
1．答案：C
解析：設(shè)直線l的傾斜角為,則,又,所以.
故選：C.
2．答案：A
解析：A，B，C三點(diǎn)共線，且，
得，解得,
故選：A.
3．答案：A
解析：因?yàn)殚L(zhǎng)方體中,M為棱的中點(diǎn),
所以,
故選：A.
4．答案：A
解析：由題意得：
直線，，
，，兩直線為平行直線，
直線，
兩平行直線之間的距離為.
故選：A
5．答案：D
解析：因?yàn)椋?br>所以，，
則向量在向量上的投影向量為：.
故選：D.
6．答案：C
解析：因?yàn)?,則,
點(diǎn)在平面內(nèi),點(diǎn)平面外,
平面的一個(gè)法向量,
所以點(diǎn)到平面的距離.
故選：C.
7．答案：A
解析：因?yàn)榈酌?，底面為正方形?br>所以，，兩兩互相垂直，
以D為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由，得，，，，，
所以，，
設(shè)異面直線與所成的角為，
則，
又，
所以異面直線與所成的角為.
故選：A.
8．答案：D
解析：因?yàn)檎庵?有,所以O(shè)為的中點(diǎn),取中點(diǎn)Q,連接,如圖,以O(shè)為原點(diǎn),,,為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
因?yàn)镸是棱上一動(dòng)點(diǎn),設(shè),且,
因?yàn)?且,
所以,
于是令,,
所以,,
又函數(shù)在上為增函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),,即線段長(zhǎng)度的最小值為.
故選:D.
9．答案：AC
解析：選項(xiàng)A，由空間向量基本定理可知正確；
選項(xiàng)B，當(dāng)且，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，由空間向量定義可知正確；
選項(xiàng)D，由空間向量基本定理可知，與，共面，則不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．答案：ABC
解析：對(duì)于A,當(dāng)時(shí),直線,直線,
聯(lián)立,解得,
所以兩直線的交點(diǎn)為,故A正確;
對(duì)于B,直線,即,
令,即,所以直線恒過(guò)點(diǎn),故B正確;
對(duì)于C：若,則,解得,故C正確;
對(duì)于D,假設(shè)存在,使,則,
解得或,
當(dāng),,,兩直線重合,舍去,
當(dāng)時(shí),,即,
,即,兩直線重合,舍去,
所以不存在,使,故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．答案：ABD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A，若點(diǎn)Q在平面內(nèi)，
易知有，
所以，
又，則，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由題意易得，
，且，
又，即，
故，解得，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由題易知四面體為正四面體，
設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)H，
則H為的中心，易得，.
當(dāng)時(shí)，Q到平面的距離為，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由B知，
，
又，
由基本不等式可知，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以長(zhǎng)度的最小值為，故D正確.
故選：ABD.
12．答案：
解析：因?yàn)橹本€l與直線垂直,所以直線l的斜率,
又直線l在y軸上的截距為4,即直線l過(guò)點(diǎn),
由點(diǎn)斜式可得直線,化簡(jiǎn)得.
故答案為：.
13．答案：2
解析：由題意得，，所以，，的面積為，點(diǎn)O，A，C都在平面上，點(diǎn)到平面的距離3，所以三棱錐的體積為.
14．答案：
解析：設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P,關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,PQ與l的交點(diǎn)即為B,與x軸的交點(diǎn)即為C.
如圖,P,Q兩點(diǎn)之間線段最短可知,PQ的長(zhǎng)即為周長(zhǎng)的最小值.
設(shè),則
解得即,
A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為,
故周長(zhǎng)的最小值為.
故答案為:.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）設(shè)，由，得，即，
由，得，即，
所以，，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
（2）方法一：，，
設(shè)，又，
所以梯形的面積
；
方法二：，，
由，，得直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離.
所以梯形的面積.
16．答案：(1)；
(2).
解析：(1)以O(shè)為原點(diǎn),,,的方向分別作為x,y,z軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
所以,.
設(shè)直線與所成的角為,
則,
即直線與所成角的余弦值是.
(2)由(1)知,,,
設(shè)平面的法向量為,則
取,得,所以平面的一個(gè)法向量.
設(shè)直線與平面所成的角為,
則,
即直線與平面所成角的正弦值為.
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析；
(2)3
解析：（1）證明：連接，，，
因?yàn)椋?，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又，
所以，所以，，，四點(diǎn)共面.
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以,,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，
可得，，，，
則，，
設(shè)，即，則，
由平面，故，
即，解得，
所以.
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
解析：（1）如圖，連接交于點(diǎn)F，
因?yàn)?,，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又因?yàn)?,平面，
所以平面，又平面，所以.
又因?yàn)?，所以?br>又,平面，
所以平面；
（2）以B為原點(diǎn)，、所在直線分別為x、y軸，平行于的直線為z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
設(shè)，則，即點(diǎn)，
則三棱錐的體積，解得，
所以，則，，
設(shè)平面的法向量，
由，令，則，，
即可得平面的一個(gè)法向量，
由z軸平面，故為平面的一個(gè)法向量，
所以，
由圖可知二面角是銳二面角，
故二面角的余弦值是.
19．答案：(1)；
(2)①證明見(jiàn)解析；②
解析：（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，有，
所以球球面三角的面積為；
（2）①由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由是球的直徑，則，，
且，，平面，
所以平面，且平面，則，
且，平面，可得平面，
由直線直線，與平面所成的角分別為，，
所以，，
不妨先令，則，，，，
由，，，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以,所在直線為x,y軸，過(guò)點(diǎn)C作的平行線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè),，
則，，，，
可得，，，，
則，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，，
可得平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面法向量為，
則，取，則，，
可得平面法向量為，
要使取最小值，則取最大值，
因?yàn)椋?br>，
令，，則，，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào).
則取最大值，為最小值.

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