山西省大同市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

這是一份山西省大同市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷，共16頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（5分）復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（5分）已知向量＝（m，2），＝（﹣3，1），若，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．B．﹣C．6D．﹣6
3．（5分）已知某圓柱的表面積是其下底面面積的4倍，則該圓柱的母線與底面直徑的比為（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
4．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c＝3，b＝，C＝60°，則A＝（ ）
A．45°B．75°C．105°D．135°
5．（5分）已知向量＝（﹣1，0），＝（2，2），若向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則λμ＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
6．（5分）如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝120°，將△ABC以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積V1，以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為V2，若V1＝2V2，則＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知非零向量，滿足?（+3）＝?，|﹣2|＝|3﹣|，則向量，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．﹣D．
8．（5分）已知某圓臺(tái)的體積為，其軸截面為梯形ABCD，AB＝4，CD＝2，則在該圓臺(tái)的側(cè)距上，從點(diǎn)A到C的最短路徑的長度為（ ）
A．3B．3C．6D．3
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。
（多選）9．（6分）下列說法正確的是（ ）
A．一個(gè)多面體至少有4個(gè)面
B．圓柱的母線與它的軸可以不平行
C．用任意一個(gè)平面截取球得到的截面都是一個(gè)圓面
D．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
（多選）10．（6分）如圖，某旅游部門計(jì)劃在湖中心Q處建一游覽亭，打造一條三角形DEQ游覽路線．已知AB，BC是扇岸上的兩條甬路，∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，∠DQE＝60°（觀光亭Q視為一點(diǎn)，游覽路線、甬路的寬度忽略不計(jì)），則（ ）
A．DE＝0.7km
B．當(dāng)∠DEQ＝45°時(shí)，DQ＝km
C．△DEQ面積的最大值為km2
D．游覽路線DQ+QE最長為1.4km
（多選）11．（6分）已知兩個(gè)非零向量，，定義新運(yùn)算⊙＝，則（ ）
A．當(dāng)||＜||時(shí)，⊙≥⊙
B．對(duì)于任意非零向量，都有⊙（+）＝⊙+⊙
C．對(duì)于不垂直的非零向量，，都有⊙[（?）]＝[（?）]⊙
D．若⊙＝，⊙＝2t，m，t∈N，則⊥
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）用斜二測(cè)畫法作一個(gè)水平放置的平行四邊形的直觀圖，若直觀圖是一個(gè)角為45°，邊長為2的菱形，則原來的平行四邊形的面積為 ．
13．（5分）白銀比例是指事物各部分間存在著一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，其比值為1：，具有很好的美感，在設(shè)計(jì)與建筑領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，在矩形ABCD中，AB＝，BC＞AB，從矩形ABCD中截取一個(gè)正方形ABEF，剩下的矩形CDFE的寬EC與長CD之比為白銀比例，則＝ ．
14．（5分）在四面體ABCD中，AB＝，AD＝3，AC＝，CD＝1，BC＝，BD＝，則四面體ABCD的外接球的表面積為 ，四面體ABCD的體積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。
15．（13分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣3i）為純虛數(shù)，﹣z＝﹣2i．
（1）求z以及；
（2）設(shè)z1＝，若|z1|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．
16．（15分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2A+sinBsinC＝sin2B+sin2C．
（1）求角A的大??；
（2）若a＝2bcsC，判斷△ABC的形狀并說明理出．
17．（15分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，點(diǎn)D，E滿足＝2，，AC邊上的中線BM與DE交于點(diǎn)O．設(shè)＝，＝．
（1）用向量，表示，；
（2）求∠MOE的大小．
18．（17分）如圖，一個(gè)圓錐挖掉一個(gè)內(nèi)接正三棱柱ABC﹣A1B1C1（棱柱各頂點(diǎn)均在圓錐側(cè)面或底面上），若棱柱側(cè)面BCC1B1落在圓錐底面上．已知正三棱柱底面邊長為，高為2．
（1）求挖掉的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積；
（2）求該幾何體的表面積．
19．（17分）如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另外一個(gè)內(nèi)角的兩倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，如在△ABC中，若A＝2B，則△ABC為倍角三角形，其中角A叫做2倍角，角B叫做1倍角．
（1）利用正，余弦定理證明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所對(duì)邊的平方等于1倍角所對(duì)邊乘以該邊與第三邊之和；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝2C，2sinB＝3sinC且△ABC的面積為，求△ABC的周長．
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。
1．（5分）復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解答】解：復(fù)數(shù)z＝＝＝﹣1﹣3i，
∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（﹣1，﹣3），位于第三象限．
故選：C．
2．（5分）已知向量＝（m，2），＝（﹣3，1），若，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．B．﹣C．6D．﹣6
【解答】解：＝（m，2），＝（﹣3，1），，
則m×1＝2×（﹣3），解得m＝﹣6．
故選：D．
3．（5分）已知某圓柱的表面積是其下底面面積的4倍，則該圓柱的母線與底面直徑的比為（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為h，
若該圓柱的表面積是其下底面面積的4倍，即2πr2+2πrh＝4πr2，
變形可得：h＝r，則有h：2r＝1：2；
即該圓柱的母線與底面直徑的比為1：2．
故選：B．
4．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c＝3，b＝，C＝60°，則A＝（ ）
A．45°B．75°C．105°D．135°
【解答】解：因?yàn)閏＝3，b＝，C＝60°，由正弦定理可得：＝，
所以sinB＝?sinC＝?＝，在三角形中0°＜B＜120°，
所以B＝45°，
所以A＝180°﹣B﹣C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故選：B．
5．（5分）已知向量＝（﹣1，0），＝（2，2），若向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則λμ＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【解答】解：向量＝（﹣1，0），＝（2，2），
則，，，
向量在向量上的投影向量為，
則＝，即，
向量在向量上的投影向量為，
則＝，即μ＝﹣2，
故λμ＝．
故選：D．
6．（5分）如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝120°，將△ABC以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積V1，以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為V2，若V1＝2V2，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：分別過頂點(diǎn)A，B向?qū)呑鞔咕€，垂足分別為點(diǎn)D，E，如圖所示，
設(shè)AC＝b，BC＝a，
因?yàn)樵凇鰽BC中，已知∠ACB＝120°，
則，，，，
則 ，
，
所以，
即．
故選：A．
7．（5分）已知非零向量，滿足?（+3）＝?，|﹣2|＝|3﹣|，則向量，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．﹣D．
【解答】解：∵＝，
即＝0①，
即＝﹣||2，
∵||＝|3﹣|，
可得＝9﹣6+，
即8﹣2﹣3＝0，
代入①可得9＝3，即||＝||，
∴cs＜，＞＝＝＝﹣．
故選：C．
8．（5分）已知某圓臺(tái)的體積為，其軸截面為梯形ABCD，AB＝4，CD＝2，則在該圓臺(tái)的側(cè)距上，從點(diǎn)A到C的最短路徑的長度為（ ）
A．3B．3C．6D．3
【解答】解：由AB＝4，CD＝2，得圓臺(tái)的下底面的半徑為2，上底面的半徑為1，
設(shè)圓臺(tái)的高為h，由圓臺(tái)的體積為，得，所以，
在梯形ABCD中，則，如圖，延長AD，BC，OO1交于點(diǎn)P，
由△PDC∽△PAB，得，所以PC＝3，
設(shè)該圓臺(tái)的側(cè)面展開圖的圓心角為α，則3α＝2π，所以，
連接AC，PC，則從點(diǎn)A到C的最短路徑為線段AC，
又PC＝3，PA＝6，，所以．
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。
（多選）9．（6分）下列說法正確的是（ ）
A．一個(gè)多面體至少有4個(gè)面
B．圓柱的母線與它的軸可以不平行
C．用任意一個(gè)平面截取球得到的截面都是一個(gè)圓面
D．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
【解答】解：一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，故A正確；
圓柱的母線與它的軸平行，故B錯(cuò)誤；
用任意一個(gè)平面截取球得到的截面都是一個(gè)圓面，故C正確；
有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體也可能是組合體，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）10．（6分）如圖，某旅游部門計(jì)劃在湖中心Q處建一游覽亭，打造一條三角形DEQ游覽路線．已知AB，BC是扇岸上的兩條甬路，∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，∠DQE＝60°（觀光亭Q視為一點(diǎn)，游覽路線、甬路的寬度忽略不計(jì)），則（ ）
A．DE＝0.7km
B．當(dāng)∠DEQ＝45°時(shí)，DQ＝km
C．△DEQ面積的最大值為km2
D．游覽路線DQ+QE最長為1.4km
【解答】解：A中，在△DBE中，∠DBE＝∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，
由余弦定理可得DE＝＝＝0.7km，所以A正確；
B中，因?yàn)椤螪QE＝60°，DE＝0.7，若∠DEQ＝45°時(shí)，
由正弦定理可得＝，即DQ＝×0.7＝×＝km，所以B不正確；
C中，在△DQE中，由余弦定理可得DE2＝QD2+QE2﹣2QD?QEcs∠DQE≥QD?QE，當(dāng)且僅當(dāng)QD＝QE時(shí)取等號(hào)，
所以QD?QE≤DE2＝0.49＝，
所以S△DQE＝QD?QEsin∠DQE≤××＝km2，所以C正確；
D中，在△DQE中，由余弦定理可得DE2＝QD2+QE2﹣2QD?QEcs∠DQE＝（QD+QE）2﹣3QD?QE，
所以（QD+QE）2＝DE2+3QD?QE≤DE2+3?（）2，當(dāng)且僅當(dāng)QE＝QD時(shí)取等號(hào)，
所以（QD+QE）2≤4DE2，即QD+QE≤2DE＝2×0.7＝1.4km，所以D正確．
故選：ACD．
（多選）11．（6分）已知兩個(gè)非零向量，，定義新運(yùn)算⊙＝，則（ ）
A．當(dāng)||＜||時(shí)，⊙≥⊙
B．對(duì)于任意非零向量，都有⊙（+）＝⊙+⊙
C．對(duì)于不垂直的非零向量，，都有⊙[（?）]＝[（?）]⊙
D．若⊙＝，⊙＝2t，m，t∈N，則⊥
【解答】解：對(duì)于A，⊙＝＝，⊙＝，
若||＜||，則當(dāng)?≥0時(shí)，⊙≥⊙，當(dāng)?＜0時(shí)，⊙＜⊙，可知A項(xiàng)的結(jié)論不正確；
對(duì)于B，若非零向量、、，則⊙（+）＝＝，⊙+⊙＝＝，
所以有⊙（+）＝⊙+⊙成立，故B項(xiàng)的結(jié)論正確；
對(duì)于C，設(shè)?＝m，則m≠0，⊙[（?）]＝⊙（m）＝＝，
[（?）]⊙＝m⊙＝＝，當(dāng)m≠±1時(shí)，⊙[（?）]≠[（?）]⊙，故C項(xiàng)的結(jié)論不正確；
對(duì)于D，設(shè)向量的夾角為θ，0≤θ≤π，
若⊙＝，⊙＝2t，則＝且＝2t，可得cs2θ＝＝∈[﹣1，1]，
結(jié)合m、t∈N，可知m＝t＝0，csθ＝0，所以θ＝，即⊥，故D項(xiàng)的結(jié)論正確．
故選：BD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）用斜二測(cè)畫法作一個(gè)水平放置的平行四邊形的直觀圖，若直觀圖是一個(gè)角為45°，邊長為2的菱形，則原來的平行四邊形的面積為 8 ．
【解答】解：根據(jù)題意，直觀圖是一個(gè)角為45°，邊長為2的菱形，則直觀圖的面積S′＝2（×2×2×sin45°）＝2，
故原來的平行四邊形的面積S＝2S′＝8．
故答案為：8．
13．（5分）白銀比例是指事物各部分間存在著一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，其比值為1：，具有很好的美感，在設(shè)計(jì)與建筑領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，在矩形ABCD中，AB＝，BC＞AB，從矩形ABCD中截取一個(gè)正方形ABEF，剩下的矩形CDFE的寬EC與長CD之比為白銀比例，則＝ ．
【解答】解：根據(jù)題意，由白銀比例可知，
所以EC＝CD＝AB＝1，可得AD＝．
所以＝＝，
因?yàn)椋剑?，?br>所以＝（）?（）＝（）?[﹣]
＝（）﹣+（）＝﹣2+（）×（）2＝．
故答案為：．
14．（5分）在四面體ABCD中，AB＝，AD＝3，AC＝，CD＝1，BC＝，BD＝，則四面體ABCD的外接球的表面積為 14π ，四面體ABCD的體積為 1 ．
【解答】解：在四面體ABCD中，因?yàn)锽D2＝AB2+AD2，
所以△ABD為直角三角形，
因?yàn)锽D2＝BC2+CD2，
所以△BCD為直角三角形，
取BD的中點(diǎn)O，則OA＝OB＝OD＝OC，
所以O(shè)為四面體ABCD的外接球的球心，
則BD為四面體ABCD的外接球的直徑，
所以四面體ABCD的外接球的表面積為S＝4πR2＝（2R）2π＝14π．
將四面體ABCD補(bǔ)成直三棱柱A1BC﹣AB1D，
由條件可知，且AA1＝CD＝1，
所以A1B＝2，又A1C＝AD＝3，
故四面體ABCD的體積為．
故答案為：14π；1．
四、解答題：本題共5小題，共77分。
15．（13分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣3i）為純虛數(shù)，﹣z＝﹣2i．
（1）求z以及；
（2）設(shè)z1＝，若|z1|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．
【解答】解：（1）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），
則，
﹣z＝﹣2i，
則a﹣bi﹣（a+bi）＝﹣2bi＝﹣2i，解得b＝1，
z（1﹣3i）＝（a+i）（1﹣3i）＝a+3+（1﹣3a）i為純虛數(shù)，
則，解得a＝﹣3，
故z＝﹣3+i，；
（2）z1＝＝＝，
|z1|＝2，
則，解得m＝1或5．
16．（15分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2A+sinBsinC＝sin2B+sin2C．
（1）求角A的大??；
（2）若a＝2bcsC，判斷△ABC的形狀并說明理出．
【解答】解：（1）在△ABC中，因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，
余弦定理得，
而0＜A＜π，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>故b2﹣c2＝0，即b＝c，
所以△ABC為等腰三角形．
17．（15分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，點(diǎn)D，E滿足＝2，，AC邊上的中線BM與DE交于點(diǎn)O．設(shè)＝，＝．
（1）用向量，表示，；
（2）求∠MOE的大?。?br>【解答】解：（1）由，可知，，，
則，，所以＝；
又BM為AC邊上的中線，
所以＝．
（2）由AB＝3，AC＝4得|a|＝1，|b|＝2，又，
所以與的夾角為120°，則＝﹣1．
由圖形可知，∠MOE的大小等于向量與的夾角．
又|DE|＝
＝，
|BM|＝
＝，
＝＝7，
，
又∠MOE∈（0，π），
∴．
18．（17分）如圖，一個(gè)圓錐挖掉一個(gè)內(nèi)接正三棱柱ABC﹣A1B1C1（棱柱各頂點(diǎn)均在圓錐側(cè)面或底面上），若棱柱側(cè)面BCC1B1落在圓錐底面上．已知正三棱柱底面邊長為，高為2．
（1）求挖掉的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積；
（2）求該幾何體的表面積．
【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為，高為2，
∴，
∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積；
（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由（1）知，，
，
設(shè)圓錐的底面圓圓心為O，則O是矩形BCC1B1的中心，設(shè)圓O半徑為r，
則，得r＝2，
取BC的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥BC，且AE∥DO，
，OE＝1，
于是，解得DO＝6，
則圓錐的母線長，
圓錐的底面圓的面積，側(cè)面積，
三棱柱的表面積為，
∴該幾何體的表面積為：
＝．
19．（17分）如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另外一個(gè)內(nèi)角的兩倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，如在△ABC中，若A＝2B，則△ABC為倍角三角形，其中角A叫做2倍角，角B叫做1倍角．
（1）利用正，余弦定理證明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所對(duì)邊的平方等于1倍角所對(duì)邊乘以該邊與第三邊之和；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝2C，2sinB＝3sinC且△ABC的面積為，求△ABC的周長．
【解答】（1）證明：設(shè)A＝2B，可得sinA＝sin2B＝2sinBcsB，
由正弦定理可得a＝2bcsB，再由余弦定理可得，
則a2c＝b（a2+c2﹣b2），即a2（c﹣b）＝b（c2﹣b2），
當(dāng)b＝c時(shí)，則B＝C，由A+B+C＝π，得4B＝π，所以，則，
由勾股定理可得：a2＝b2+c2＝b2+b2＝b（b+c），
當(dāng)b≠c時(shí)，a2（c﹣b）＝b（c2﹣b2），兩邊同時(shí)除以c﹣b可得：a2＝b（c+b），
由上可知，當(dāng)A＝2B時(shí)，a2＝b（b+c）；
（2）解：由正弦定理得2b＝3c，由倍角定理得b2＝c（c+a），
即b2﹣c2＝ac，
即c2﹣c2＝ac，所以5c＝4a，
由余弦定理可得csC＝＝＝，
則，
由△ABC的面積為S△ABC＝，
解得c＝4，則b＝6，a＝5，
故△ABC的周長為15．