一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合A?，且A中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
2．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．24B．36C．42D．108
3．函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為 （ ）
A．B．
C．D．
4．已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
6．函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)分別在的左支和右支上，且滿足，，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列命題正確的有（ ）
A．若，則B．若，則
C．D．
10．現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．4個(gè)男學(xué)生排在一起，有1440種不同的排法
B．老師站在最中間，有1440種不同的排法
C．4名男學(xué)生互不相鄰，男學(xué)生甲不能在兩端，有1728種不同的排法
D．2名老師之間要有男女學(xué)生各1人，有3840種不同的排法
11．曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和小于2
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么數(shù)列最大項(xiàng)為第 項(xiàng)．
13．運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三個(gè)場(chǎng)地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
14．已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),滿足，則實(shí)數(shù) .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，．試問(wèn)：
(1)從集合和中各取一個(gè)元素作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，共可得到多少個(gè)不同的點(diǎn)？
(2)從中取出三個(gè)不同的元素組成三位數(shù)，從左到右的數(shù)字要逐漸增大，這樣的三位數(shù)有多少個(gè)？
16．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）如果曲線的某一切線與直線垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．
17．若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，點(diǎn)在曲線上，數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
19．已知橢圓 的離心率為，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且的面積是.
(1)求橢圓 的方程；
(2)設(shè)直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為與不重合)，則直線與軸交于點(diǎn)，求面積的取值范圍.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】當(dāng)集合A中含一個(gè)元素時(shí)，或；
當(dāng)集合A中含兩個(gè)元素時(shí)，或或，
所以這樣的集合共有個(gè).
故選D．
2．【答案】C
【詳解】根據(jù)，，可知數(shù)列的公比不為1，
且成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，故，
故，
故選C.
3．【答案】D
【詳解】由題意，，
又因?yàn)?，由圖可當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以①當(dāng)時(shí)，且，
②當(dāng)時(shí)，且；
綜上，;
故選D.
4．【答案】C
【詳解】由題意可知：，
因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
則在上有解，可得，
所以．
令，則，
顯然，可知函數(shù)單調(diào)遞增，則，
即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選C．
5．【答案】C
【詳解】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：
若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有種方法，
最后涂湖南有3種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種，
若安徽與陜西不同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有3種方法，
涂江西、湖南也各有種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得不同的涂色方案 種方法，
所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有種.
故選C.
6．【答案】A
【詳解】，
設(shè)，因?yàn)椋虼擞袃蓚€(gè)不同實(shí)根，
又，因此兩根一正一負(fù)，
由題意正根在內(nèi)，
所以，解得，
故選A．
7．【答案】A
【詳解】如圖，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，，（關(guān)鍵：雙曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用）．
根據(jù)，不妨設(shè)，則，
所以，，（雙曲線定義的應(yīng)用）
又，所以，解得，因此，，，．在中，，
在中，，
故，可得．
故選A．
8．【答案】C
【詳解】令，則，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又、、，
由，故.
故選C.
9．【答案】CD
【詳解】對(duì)于A，若，則或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確；
故選CD.
10．【答案】BCD
【詳解】選項(xiàng)A：4個(gè)男學(xué)生排在一起共有種站法，則有2880種不同的排法，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：老師站在最中間共有種站法，則有1440種不同的排法，故B正確；
選項(xiàng)C：先排老師和女學(xué)生，共有種站法，再排男學(xué)生甲，有種站法，最后排剩余的3名男學(xué)生有種站法，
所以共有種不同的站法，故C正確；
選項(xiàng)D：先任選一名男學(xué)生和一名女學(xué)生站兩位老師中間，有種站法，兩名老師的站法有種，
再將這一男學(xué)生一女學(xué)生兩位老師進(jìn)行捆綁，與剩余的4個(gè)人進(jìn)行全排列有種站法，
所以共有種不同的站法.故D正確.
故選BCD．
11．【答案】ACD
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，
對(duì)于A，在切線方程中，令，得，
則，A正確；
對(duì)于B，，，
兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，
因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由B知：，則，，C正確；
對(duì)于D，，又，
，則，，
設(shè)，則，，，，
，…，，
因此，
即數(shù)列的前項(xiàng)和小于2，D正確.
故選ACD.
12．【答案】7
【詳解】構(gòu)造輔助連續(xù)函數(shù)，
求導(dǎo)得，
，，單調(diào)遞增；，，
單調(diào)遞減；
所以在處取得函數(shù)的極大值即最大值．
比較和時(shí)的值：，，
故最大項(xiàng)為．
13．【答案】
【詳解】根據(jù)題意將5名志愿者分為三組，有兩種情況：
第一種：將5名志愿者按人數(shù)分為1，2，2三組，且甲，乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，
則不同的安排方法有種．
第二種：將5名志愿者按人數(shù)分為1，1，3三組，且甲，乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，
則不同的安排方法有種．
故不同的安排方法共有種．
14．【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br>由題意可知方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
因此有，解得，
此時(shí)，，
所以
，
解得，滿足，
15．【答案】(1)34
(2)20
【詳解】（1）由題意得，．
中元素作為橫坐標(biāo)，中元素作為縱坐標(biāo)，有（個(gè)）；中元素作為橫坐標(biāo)，中元素作為縱坐標(biāo)，有（個(gè)）．
又兩集合中有4個(gè)相同元素，故有（個(gè)）點(diǎn)重復(fù)了，
所以共有（個(gè)）不同的點(diǎn)．
（2），則這樣的三位數(shù)共有（個(gè)）．
16．【答案】(1) y＝13x－32；(2)y＝4x－18或y＝4x－14.
【詳解】(1)可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上.
∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=f'(2)=13,
∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)∵切線與直線y=-x+3垂直,
∴切線的斜率k=4.
設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f'(x0)=3+1=4,
∴x0=±1,
∴或
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),
切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)；
(3)
【詳解】（1）由點(diǎn)在曲線上，可得.
因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，所以兩邊開方得：，
因?yàn)椋?br>所以數(shù)列為公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.
（2）由數(shù)列為公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列可得，
，即，
當(dāng)時(shí)，，
由知，上式對(duì)也成立，則.
數(shù)列滿足，且，
可得，故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
可得.
（3）由于，
所以前項(xiàng)和為，
則，
兩式相減可得
，
化簡(jiǎn)可得．
18．【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）由，已知其定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)可得，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，可得下表：
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）要證，只需證，
令，求導(dǎo)可得，
令，解得，可得下表：
則，所以.
19．【答案】(1)
(2).
【詳解】（1）由題意可得 ，
所以，，，
解得，
橢圓的方程為:.
（2）設(shè) ,
由 , 得
顯然 , 由韋達(dá)定理有:
，，
直線 的方程為:，
令 , 則，
又 ，
則 ，
所以直線 與軸交點(diǎn)，
直線過(guò)定點(diǎn)，
，，
令，則，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
.
所以面積的取值范圍為.極大值
極大值

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