數(shù)學(xué)試卷
命題人：宋聰敏
考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分
第一部分（選擇題 共58分）
選擇題：(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)
1．直線的傾斜角為（ ）
A.B．C．D．
2.已知，則“”是“直線與平行”的（ ）
A．既不充分也不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．充分不必要條件
3．在四棱柱中，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．以下各組向量中的三個(gè)向量，不能構(gòu)成空間基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
5．已知兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．或B．C．D．
6．在平行六面體中，，，，，則（ ）
A．B．C．0D．
7．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點(diǎn)重合)，在上，且平面，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
8.已知，直線與直線互相垂直，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．給出下列命題，其中不正確的為（ ）
A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段
B．若，則是鈍角
C．若，則與一定共線
D．非零向量滿足與，與，與都是共面向量，則必共面
10．下列關(guān)于直線的斜率和傾斜角的敘述正確的有（ ）
A．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角
B．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有斜率
C．若，則
D．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
11．在正方體中，，點(diǎn)在底面正方形內(nèi)及邊界上運(yùn)動(dòng)，則（ ）
A．存在點(diǎn)，使得平面
B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．若平面，則三棱錐的體積為定值
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：(本題共3小題，每小題5分，共15分。)
12．若點(diǎn)到直線的距離為3，則
13.如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則 .
已知直線：，則直線恒過(guò)定點(diǎn) ；若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則△面積的最小值為 .
解答題：(本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。)
（13分）
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線.
(1)求直線的斜率和直線的方程（結(jié)果寫(xiě)成一般式）；
(2)若點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程.
16．（15分）正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，求：
(1)直線與所成的角的余弦值；
(2)點(diǎn)到平面的距離.
17．（15分）已知直線，直線.
（1）若，求；
（2）若，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo).
18.（17分）如圖1，已知矩形中，，分別是的中點(diǎn)，對(duì)角線與交于點(diǎn)，沿將矩形折起，使平面與平面所成角為60°，在圖2中：
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
19.（17分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且.
(1)求直線和平面所成角的正弦值；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，并求出的值.
高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷
參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．或 13．0 14．（3，1），6
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．（13分）
【詳解】（1）分析知，斜率存在，則其斜率，其方程為，
即；（5分）
（2）當(dāng)?shù)男甭蕿榱慊蛘卟淮嬖跁r(shí)，點(diǎn)A，B到直線的距離不相等，故的斜率存在且不為零，設(shè)為，則的方程為，即，（7分）
又因?yàn)辄c(diǎn)A，B到直線的距離相等，所以，（9分）
解得，解得或，
所以直線的方程為或（13分）
16.(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量的夾角即可求解線線角，
（2）根據(jù)空間向量即可求解點(diǎn)面距離.
【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,
所以,
設(shè)直線與所成的角為，則，
（2）則，
設(shè)平面的法向量為，,
由得取，則，
所以點(diǎn)到平面的距離為
17．(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)平行得到，計(jì)算得到答案.
（2）根據(jù)垂直得到，解得，再計(jì)算交點(diǎn)得到答案.
【詳解】（1）若，則由，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不符合，故舍去；
（2）若，則由，得.
所以兩直線方程為：，：，
聯(lián)立方程組，解得，所以與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.
18.【詳解】（1）平面，平面，，
，，，平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，
，且，且，
所以，四邊形為平行四邊形，，
，，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，令，則，則，
易知平面的一個(gè)法向量為，，
由圖形可知，二面角為銳角，它的余弦值為.
19.【詳解】（1）分別取CB、CD的中點(diǎn)為F、G，連結(jié)OF、OG，
∵為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴是直角三角形，，，，
∵CB、CD的中點(diǎn)為F、G， ∴，，，
∵，為的中點(diǎn)，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，是三棱錐底面的高，是直角三角形
∵，∴，
以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OG、OA所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
∴，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，即，
令，則，，，，
，
∴直線和平面所成角的正弦值等于；
（2）在棱上存在點(diǎn)，使二面角的大小為.
設(shè)
由（1）知，，
，
是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
即，
取，，，
∵二面角的大小為，
∴，
即，
整理得，，解得，或（舍去），
所以，，，
所以，在棱上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
D
A
A
C
C
B
9
10
11
ABD
ABC
BCD

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