利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法
(1)圖象法：根據題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結合的思想分析問題（畫草圖時注意有時候需使用極限）．
(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．
【典例分析】
典例1．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當時，判斷函數(shù)在上零點個數(shù).
典例2．已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在上無零點，求實數(shù)a的取值范圍.
典例3．設函數(shù)，其中．
(1)若，討論的單調性；
(2)若．
（ⅰ）證明：恰有兩個零點；
（ⅱ）設為的極值點，為的零點，且，證明：．
【雙基達標】
4．已知，函數(shù).
(1)討論的極值點個數(shù)；
(2)若函數(shù)有三個極值點，設，證明：.
5．已知函數(shù)，其中.
（1）當時，求函數(shù)在上的最值；
（2）（i）討論函數(shù)的單調性；
（ii）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍.
6．已知函數(shù)，.
(1)求證：在處和處的切線不平行；
(2)討論的零點個數(shù).
7．已知函數(shù).
（1）當時，討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
8．函數(shù).
（1）求證：有且僅有兩個極值點；
（2）設的兩個極值點分別為，，且滿足，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.
9．設函數(shù)，.
(1)討論函數(shù)零點的個數(shù)；
(2)若對任意的，恒成立，求m的取值范圍.
10．設函數(shù).
（1）討論在上的單調性；
（2）證明：在上有三個零點.
【高分突破】
11．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋＋ax(a∈R)，g(x)＝＋．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)如果函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)存在零點，求實數(shù)a的最小值．
12．已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
13．已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
14．已知函數(shù)（）．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個零點，．
（i）求實數(shù)a的取值范圍；
（ii）求證：．
15．已知函數(shù).
(1)求證：；
(2)若函數(shù)無零點，求a的取值范圍.
16．已知函數(shù)，為的導數(shù).
(1)證明：當時，；
(2)設，證明：有且僅有2個零點.
17．設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
18．已知函數(shù)．
(1)討論的零點個數(shù)．
(2)若有兩個不同的零點，證明：．
19．1.已知函數(shù)（m≥0）.
(1)當m=0時，求曲線在點（1，f（1））處的切線方程；
(2)若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)m的值.
20．已知函數(shù)，為的導數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
21．已知函數(shù).
（Ⅰ）若，求的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若，，求零點個數(shù).
22．（1）求證：；
（2）已知，求的根的個數(shù)；
（3）求證：若，則．
23．已知函數(shù)在時有極值0.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.
24．已知函數(shù)．
（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；
（2）設，若有三個不同的零點，求的取值范圍．
25．已知，.
（1）討論在區(qū)間上的單調性；
（2）若，且在上有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.
26．已知函數(shù).
(1)若，討論的單調性；
(2)若，是函數(shù)的兩個不同的零點，證明：.
27．設函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．
28．已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；
（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
參考答案
1．(1)答案見解析
(2)兩個
【解析】
【分析】
（1）求定義域，求導，分與，求解函數(shù)的單調性和極值；
（2）求導，分，，研究導函數(shù)的正負，得到在上單調遞減，在上單調遞增，結合特殊點的函數(shù)值的大小，由零點存在性定理得到函數(shù)在的零點個數(shù).
（1）由知定義域為，①當時，在上 ，故單調遞減，所以無極值.②當時，由得:，當時，當時，. 所以函數(shù)有極小值為，無極大值.
（2）當時，，，當時，，當時，單調遞增，且，，故在上存在使得，而當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，，所以，又，故由零點的存在性定理在上存在一個零點，在上也存在一個零點.所以在上有兩個零點.
【點睛】
導函數(shù)求解函數(shù)零點個數(shù)問題，要利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而求出函數(shù)的極值情況，結合特殊點的函數(shù)值的正負，零點存在性定理進行求解.
2．(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根據導數(shù)的幾何意義求解即可；
(2)求導，對分類討論，根據函數(shù)的最值與0的關系即可求解.
【詳解】
解：（1）由題得，
則，
，，
曲線在處的切線方程為，即.
（2），
①當時，，在上單調遞減，
在上無零點且，
則，
；
②當時，
令得，
若即時，，在上單調遞增，
由可知，符合條件；
若，即時，，在上單調遞減，
在上無零點且，則，；
若，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
，，，
，
綜上，a的取值范圍為.
3．(1)在上單調遞增
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】
（1）先求導數(shù)，利用導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調性；
（2）（?。┣髮?shù)，得出函數(shù)有唯一極值點，判定極值點兩側函數(shù)值的符號可證結論；
（ⅱ）根據極值點和零點的含義，把消去，借助不等式，可證結論.
（1）．∵時，，∴函數(shù)在上單調遞增．
（2）證明：（i）由（1）可知：．令，∵，，∴在上單調遞減，又，且∴存在唯一解．且時，，時，，即函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減．∴是函數(shù)的唯一極值點．令，可得，∴時，，∵．∴函數(shù)在上存在唯一零點．又函數(shù)在上有唯一零點1．因此函數(shù)恰有兩個零點；（ii）由題意可得：，即，∴，即，∵，可得．又，故，取對數(shù)可得：，整理可得：．
【點睛】
關鍵點點睛：本題主要考查導數(shù)的應用，函數(shù)單調性的判定可由導數(shù)的正負來判定；零點問題一般轉化為極值最值問題進行處理；不等式的證明通常利用放縮法以及常用不等式來處理.
4．(1)當時，有3個極值點；當時，有1個極值點；
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）對函數(shù)求導，因式分解，構造新函數(shù)，研究其單調性，求出最大值，利用求出的最大值，對進行分類討論，求出不同情況下的極值點個數(shù)；
（2）結合第一問的結果，令，原不等式證明問題轉化為關于t的不等式證明問題，即在上恒成立，二次求導，研究其單調性，最后證明出不等式.
(1)
由題可知，的定義域為，
.
令，則，
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減；所以.
①當時，即，又，則有當時，，當時，，且當時，，所以函數(shù)的圖象與有兩個不同的交點在上，即方程有兩解，在上.
又，記，則有，且，
所以當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增，
所以有3個極值點，，.
②當時，對任意都有，所以；
又，所以當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
所以有一個極值點.
綜上，當時，有3個極值點；當時，有1個極值點.
(2)
證明：由（1）可知，，要證，
只需證.
由，，令，則，
則有可得
要證，即證，又由于，，
即證不等式在上恒成立.
令（），
則有，；令，得；
所以當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增.
又，，則有，
所以存在唯一，使得；
所以當時，，則在上單調遞增；
當時，，則在上單調遞減；
所以當時，，則在上單調遞增.
又，，則有，所以當時，，故原不等式成立.
【點睛】
函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
5．（1）最大值為，最小值為；（2）（i）見詳解；（ii）.
【解析】
（1）由得，對其求導，利用導數(shù)的方法判定其在上單調性，即可求出最值；
（2）（i）先對函數(shù)求導，分別討論和兩種情況，利用導數(shù)的方法，即可判定函數(shù)單調性；
（ii）由（i）中函數(shù)單調性，先判斷時不滿足題意，再由時函數(shù)的單調性，得到，由函數(shù)零點個數(shù)，必有，求出的范圍，再進行驗證，即可得出結果.
【詳解】
（1）由得，所以，
當時，，則單調遞減；
當時，，則單調遞增；
所以；又，，
所以；
即在上的最大值為，最小值為；
（2）（i），
當時，恒成立；即在定義域上單調遞增；
當時，若，則；若，則，
所以在上單調遞減；在上單調遞增；
綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；在上單調遞增；
（ii）由（i）知，當時，在定義域上單調遞增；不可能有兩個零點；
當時，；
為使有兩個零點，必有，即；
又，
令，，則在上恒成立，
即在上單調遞增，
所以，即，
所以根據零點存在性定理可得，存在，使得；
又，
根據零點存在性定理可得，存在，使得，
綜上，當時，函數(shù)有兩個零點.
【點睛】
思路點睛：
利用導數(shù)的方法求解由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題時，一般需要先對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法判定函數(shù)單調性，求出極值，進而可求出零點個數(shù).（有時也需要分離參數(shù)，構造新的函數(shù)，將問題轉化為兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題進行求解）
6．(1)證明見解析；
(2)答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）求，若兩切線平行，根據導數(shù)的幾何意義可得，解得的值與矛盾即可求證；
（2）利用導數(shù)判斷的單調性，計算極大值，極小值，討論，，，結合零點存在性定理以及單調性即可求解.
(1)
由可得，
若在處和處的切線平行，
則有，即，
解得：，與矛盾，
所以在處和處的切線不平行.
(2)
因為，
由可得或；由可得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的極大值為，
因為，，
在上單調遞增，
由零點存在性定理可知在區(qū)間上存在一個零點，
的極小值為.
①當即時，，而，
因為在和上沒有零點；此時有且只有個零點，
②當即時，，
由單調性可知，有且僅有個零點，1；
③當即時，，，，
所以存在，；存在，；
由單調性可知，此時有且僅有個零點，，，
綜上，當時，有且僅有個零點；
當時，有且僅有個零點；
當時，有且僅有個零點.
7．（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【解析】
【分析】
（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導，分別令導數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）若有兩個零點，即有兩個解，將其轉化為有兩個解，令，求導研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結果.
【詳解】
（1）當時，，，
令，解得，令，解得，
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）若有兩個零點，即有兩個解，
從方程可知，不成立，即有兩個解，
令，則有，
令，解得，令，解得或，
所以函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，
且當時，，
而時，，當時，，
所以當有兩個解時，有，
所以滿足條件的的取值范圍是：.
【點睛】
本題考查的是有關應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結合，將問題轉化為曲線和直線有兩個交點，利用過點的曲線的切線斜率，結合圖形求得結果.
8．（1）證明見解析；（2）答案見解析.
【解析】
（1）證明方程有兩個變號的根即可；
（2）利用韋達定理和條件，求出或，再進行分類討論，根據三次函數(shù)的圖象特征得到不等式組，進而求得的取值范圍；
【詳解】
（1）證明：由題意可得，
令，得方程，
恒成立，所以有兩個根，
不妨假設為，，且，
所以當，，單調遞增；
當，，單調遞減；
當，，單調遞增；
故有兩個極值點；
（2）由（1）得的兩個極值點分別為，，
則，是方程的兩根，，，
因為，
所以，
解得：或；
①當時，，，，，所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，所以的極大值為，極小值為，要使得函數(shù)有三個零點，只需即可，解得：；
②當時，，，，，所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，所以的極大值為，極小值為，要使得函數(shù)有三個零點，只需即可，解得：；
綜上所述：當時，；當時，.
【點睛】
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點、零點問題，求解時要充分利用三次函數(shù)的圖象特征，通過極大值、極小值的正負得到參數(shù)的取值范圍.
9．(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質，進而數(shù)形結合即可求出結果；
（2）構造，進而可得可得在上單調遞減，從而有在上恒成立，參變分離即可求出結果.
(1)
函數(shù)，
令，得，
設，
則，
所以當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
所以的最大值為，
又，可知：
①當時，函數(shù)沒有零點，
②當時，函數(shù)有且僅有1個零點，
③當時，函數(shù)有2個零點，
④當時，函數(shù)有且只有1個零點.
綜上所述，當時，函數(shù)沒有零點；
當或時，函數(shù)有且僅有1個零點；
當時，函數(shù)有2個零點.
(2)
對任意，恒成立，
等價于恒成立，
設，則，
可得在上單調遞減，
所以在上恒成立，
分離m可得恒成立，
所以，所以m的取值范圍是.
【點睛】
（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號．關鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉化為求函數(shù)的最小值問題．
（2）若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
10．（1）的單調遞減區(qū)間為，；單調遞增區(qū)間為，.（2）證明見解析
【解析】
（1）利用導數(shù)的正負可求函數(shù)的單調區(qū)間.
（2）結合函數(shù)的單調性和零點存在定理可證明在上有3個零點，再構建新函數(shù)可證明在上沒有零點.
【詳解】
（1），
由及，得或或.
當變化時，和的變化情況如下表：
所以的單調遞減區(qū)間為，；
的單調遞增區(qū)間為，.
（2）當時，由（1）得，
的極小值分別為，；
極大值.又，
所以在上僅有一個零點0；
在，上各有一個零點.
當時，，
令，則，
顯然時，單調遞增，；
當時，，
從而時，，單調遞減，
因此，即，
所以在上沒有零點.
當時，，
令，則，
顯然時，，；
當時，，
從而時，，單調遞增，
因此，即，
所以在上沒有零點.
故在上僅有三個零點.
【點睛】
本題考查函數(shù)的單調性以及函數(shù)的零點個數(shù)判斷，注意函數(shù)零點個數(shù)的判斷，需利用函數(shù)的單調性和零點存在定理來判斷，選擇怎樣的點來計算其函數(shù)值且函數(shù)值異號是關鍵，可根據解析的特點選擇合適的點.另外證明函數(shù)在給定的范圍上無零點，可利用放縮法把不易處理的函數(shù)轉化為容易討論的新函數(shù)來處理.
11．(1)答案見解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)求f(x)定義域，求f(x)導數(shù)，討論在x＞0時的值域即可判斷f(x)的單調性；
(2)令F(x)＝0，參變分離得有解，令，求h(x)導數(shù)，利用導數(shù)判斷h(x)單調性求出其最小值即可.
(1)
的定義域為，
對于函數(shù)，
當時，即時，在恒成立．
∴在恒成立，∴在為增函數(shù)；
當，即或時，
當時，由，得或，，
∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
在上為增函數(shù)．
當時，由在恒成立，∴在上為增函數(shù)．
綜上，當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；
當時，在上為增函數(shù)；
(2)
．
存在零點，即有解，
令，，
令，得，
當時，單調遞減；
當時，單調遞增，
∴，
當時，有零點，從而有．
【點睛】
本題主要考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，利用導數(shù)處理與零點有關的問題，關鍵在于參變分離構造不含參數(shù)的函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性和最小值．
12．(1)
(2)證明見的解析
【解析】
【分析】
（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.
（1）的定義域為，令,得當單調遞減當單調遞增，若,則,即所以的取值范圍為
（2）由題知,一個零點小于1,一個零點大于1不妨設要證,即證因為,即證因為,即證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調遞增即,所以令所以在單調遞減即,所以；綜上, ,所以.
【點睛】
關鍵點點睛 ：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經常出現(xiàn)，需要掌握
13．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可得解；
（2）求導得，按照、及結合導數(shù)討論函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；
（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.
【點睛】
關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調性，把函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)的單調性與極值的問題.
14．(1)當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調增區(qū)間，單調減區(qū)間是
(2)（i）（ii）證明見解析
【解析】
【分析】
（1）先求定義域，求導，對進行分類討論，求對應的單調區(qū)間；
（2）（i）結合第一問中函數(shù)的單調性及極值，最值，找到不等式，解不等式，求出實數(shù)a的取值范圍；（ii）構造差函數(shù)，證明極值點偏移問題.
(1)
定義域為，，
①當時，有恒成立，是函數(shù)的單調增區(qū)間，無遞減區(qū)間；
②當時，由，解得，由，解得，故函數(shù)的增區(qū)間，減區(qū)間是．
綜上：當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調增區(qū)間，單調減區(qū)間是
(2)
（i）由（1）知：當時，在上單調遞增，
函數(shù)不可能有兩個零點；
當時，因為在上遞增，在上遞減，
因為，故，
設，，
則，當時，，當時，，故在處取得極大值，也是最大值，，所以，
故，即取，
則
因此，要使函數(shù)且兩個零點，只需，
即，化簡，得，
令，因為，
所以函數(shù)在上是單調遞增函數(shù)，
又，故不等式的解為，
因此，使求實數(shù)a的取值范圍是：.
（ii）因為，所以，，
下面先證明，
根據（1）的結果，不妨設，則只需證明，
因為在時單調遞增，且，，
于是只需證明，
因為，所以即證，
記，，
，
所以在單調遞增，則，
即證得，原命題得證.
【點睛】
極值點偏移問題，可以通過構造差函數(shù)進行解決，也可以變多元為多元求解，利用對數(shù)平均不等式也能解決，選擇哪種方案，需要結合函數(shù)特點進行選擇.
15．(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出，討論其符號后可得函數(shù)的單調性，結合原函數(shù)的最值可得不等式成立.
（2）分三種情況討論，當時求出，利用導數(shù)可得函數(shù)最大值，根據無零點建立不等式求解，當時，可得滿足無零點.
(1)
，
則當時，，當時，，
故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，
故即.
(2)
，故，
當時，在定義域上無零點;
當時，，故，
所以當時，，當時，，
故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，
因為函數(shù)無零點，故，即；
當時，因為，所以，
即，
所以在定義域上無零點.
綜上，的取值范圍是.
16．(1)證明過程見解析
(2)證明過程見解析
【解析】
【分析】
（1）令，利用導數(shù)判斷的單調性，并求出其最小值即可證明；
（2）由（1）可知，在上單調遞增，利用零點存在性定理可證明在這個區(qū)間上有一個零點，通過構造函數(shù)即可證明在上單調遞減，同理利用零點存在性定理可證明在這個區(qū)間上有一個零點，即可得證.
(1)
由，
設，則，
當時，設，，
∵，，
∴和在上單調遞增，
∴，，
∴當時，，，
則，
∴函數(shù)在上單調遞增，
∴，
即當時，;
(2)
由已知得，
①當時，
∵，
∴在上單調遞增，
又∵，，
∴由零點存在性定理可知在上僅有一個零點，
②當時，
設，則，
∴在上單調遞減，
∴，
∴，
∴，
∴在上單調遞減，
又∵，，
∴由零點存在性定理可知在上僅有一個零點，
綜上所述，有且僅有2個零點.
17．(1)時，在上單調遞增；時，函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；
(2)；
(3)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調性；
(2)將原問題進行等價轉化，然后構造新函數(shù)，利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；
(3)方法一：結合(2)的結論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結論成立.
【詳解】
(1)，
①若，則，所以在上單調遞增；
②若，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增.
綜上可得，時，在上單調遞增；
時，函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.
(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時，時，，
則在單調遞減，單調遞增，，
.
即實數(shù)的取值范圍是.
(3)[方法一]【最優(yōu)解】：
有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).
由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關于的函數(shù)在上單調遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時為正，
由于，故函數(shù)單調遞增，
又，故在時為正，
從而題中的不等式得證.
[方法二]：分析+放縮法
有2個不同零點，不妨設，由得（其中）．
且．
要證，只需證，即證，只需證．
又，所以，即．
所以只需證．而，所以，
又，所以只需證．
所以，原命題得證．
[方法三]：
若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個零點且．
又，故進一步有．
由可得且，從而．．
因為，
所以，
故只需證．
又因為在區(qū)間內單調遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立．
【整體點評】
本題第二、三問均涉及利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，
方法一：直接分析零點，將要證明的不等式消元，代換為關于的函數(shù)，再利用零點反代法，換為關于的不等式，移項作差構造函數(shù)，利用導數(shù)分析范圍.
方法二：通過分析放縮，找到使得結論成立的充分條件，方法比較冒險！
方法三：利用兩次零點反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調性，轉化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結論.
18．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）先通過求導得到函數(shù)的單調區(qū)間，再運用數(shù)形結合思想分類討論即可求解；
（2）將問題轉化為研究函數(shù)的單調性后再求解即可.
(1)
因為，所以1不是的零點．
當，可變形為，
令，則的零點個數(shù)即直線與圖象的交點個數(shù)．
因為，，得，又，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
因為，且當時，，
所以當時，沒有零點；
當時，有一個零點；
當時，有兩個零點．
(2)
證明：由（1）知，當時，有兩個零點．
設，則，
由得，
所以，即．
令，則，
易得在上單調遞減，在上單調遞增．
要證，即證．
因為，且在上單調遞增，所以只需證．
因為，所以即證．
令，
則，
所以在上單調遞減．
因為，所以．
因為，所以，故．
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導，利用導函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進而求出切線方程；（2）對導函數(shù)再次求導，判斷其單調性，結合隱零點求出其最小值，列出方程，求出實數(shù)m的值.
(1)
當時，因為，所以切線的斜率為，
所以切線方程為，即.
(2)
因為，令，
因為，所以在上單調遞增，
當實數(shù)時，，；
當實數(shù)時，，；
當實數(shù)時，，
所以總存在一個，使得，
且當時，；當時，，
所以，
令，因為，所以單調遞減，
又，所以時，
所以，即.
20．（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）求得導函數(shù)后，可判斷出導函數(shù)在上單調遞減，根據零點存在定理可判斷出，使得，進而得到導函數(shù)在上的單調性，從而可證得結論；（2）由（1）的結論可知為在上的唯一零點；當時，首先可判斷出在上無零點，再利用零點存在定理得到在上的單調性，可知，不存在零點；當時，利用零點存在定理和單調性可判斷出存在唯一一個零點；當，可證得；綜合上述情況可證得結論.
【詳解】
（1）由題意知：定義域為：且
令，
，
在上單調遞減，在上單調遞減
在上單調遞減
又，
，使得
當時，；時，
即在上單調遞增；在上單調遞減
則為唯一的極大值點
即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點.
（2）由（1）知：，
①當時，由（1）可知在上單調遞增
在上單調遞減
又
為在上的唯一零點
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減
又
在上單調遞增，此時，不存在零點
又
，使得
在上單調遞增，在上單調遞減
又，
在上恒成立，此時不存在零點
③當時，單調遞減，單調遞減
在上單調遞減
又，
即，又在上單調遞減
在上存在唯一零點
④當時，，
即在上不存在零點
綜上所述：有且僅有個零點
【點睛】
本題考查導數(shù)與函數(shù)極值之間的關系、利用導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題.解決零點問題的關鍵一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數(shù)的單調性說明在區(qū)間內零點的唯一性，二者缺一不可.
21．（Ⅰ）單調減區(qū)間，單調增區(qū)間，；（Ⅱ）有且只有一個零點.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得導函數(shù)，進而求得導函數(shù)的零點，得到導函數(shù)的正負區(qū)間，從而得到原函數(shù)的增減區(qū)間；（Ⅱ）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，并結合零點存在定理得到零點個數(shù).
【詳解】
（Ⅰ）當時，，所以.
令，解得，和，
當或，，所以，是單調增區(qū)間；
當，，所以是單調減區(qū)間；
（Ⅱ），，∵，成立，
∴令,解得，
∵，，
∴函數(shù) 在上上的單調性是：
在內單調遞減，在內單調遞增.
易知.
當時，∴當時，只要,即且時，即時必有，
∴當時，函數(shù)在上只有一個零點.
【點睛】
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，零點問題，屬基礎題，其中利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是關鍵；利用放縮法判定當足夠大時函數(shù)值大于零，是利用零點存在定理證明有一個零點的必要步驟.
22．（1）證明見解析；（2）當時，函數(shù)沒有零點；當時，有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；（3）證明見解析．
【解析】
【分析】
（1）用分析法分析“要證，只需證，只需證”，用綜合法寫出證明過程.
（2）由指數(shù)函數(shù)，結合符號法則先分段討論，易知當時，無零點；當時，將分式型函數(shù)零點轉化為整式型函數(shù)的零點問題，構造研究新函數(shù)的單調性與極值；再分類討論極值與的大小，最后利用零點存在性定理確定零點個數(shù)；
（3）借助(1)中已證不等式，將根式形式轉化為一次形式，再構造新函數(shù)，求證新函數(shù)最小值大于零即可.其中最小值在求解時，要注意導函數(shù)隱零點問題的處理，利用零點滿足的等量關系將指數(shù)運算降階回代，從而達到化簡求值的目的.
【詳解】
（1）證明：當時，，且，
(當且僅當時，等號成立).
即.
（2），，
當時，， ，則恒成立，
函數(shù)沒有零點；
當時，．
令，的零點即為函數(shù)的零點.
則，
令，解得，
當時，，是減函數(shù)；
當時，，是增函數(shù)，
函數(shù)在上的最小值為．
當時，，又，即0是函數(shù)的唯一的零點；
當時，，
函數(shù)沒有零點；
當時，，又，
且在是增函數(shù)，
由零點存在性定理知，在有且僅有一個零點；
又，令，
則，在是增函數(shù)，則，
即，又，且在是減函數(shù)，
由零點存在性定理知，在有且僅有一個零點；
故當時，函數(shù)有兩個零點．
綜上所述，當時，函數(shù)沒有零點；當時， 有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．
（3）證明：由(1)知當時，，
只需證當時，．
設，
則．
令，
則，由，解得，
當，，在上單調遞減，
且，無零點，
當，，在上單調遞增．
又，且，
在上只有一個零點，，且滿足，即，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，即.
．
又，且，
．
【點睛】
這是一類借助導函數(shù)隱零點求解函數(shù)最值的問題.通常的思維過程分為觀察、判斷、虛設、回代幾個階段，首先觀察有無特殊零點，其次判斷是否存在零點，如果存在，則設出零點，分析原函數(shù)的單調性，判定隱零點處取到函數(shù)最值，最后找出零點滿足的等量關系回代求值，回代過程中注意運算在降階角度的分析，如本題中指數(shù)運算簡化為二次運算求值.
23．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在時有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；
（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，根據函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.
(1)
由可得，
因為在時有極值0，
所以，即，解得或，
當時，，
函數(shù)在R上單調遞增，不滿足在時有極值，故舍去.
所以常數(shù)a，b的值分別為.
所以.
(2)
由（1）可知，
，
令，解得，
當或時，當時，，
的遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間為，
當有極大值，
當有極小值，
要使函數(shù)有三個零點，則須滿足，解得.
24．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）又條件可知，參變分離后，轉化為求函數(shù)的最小值，求參數(shù)的取值范圍；（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，，再分和兩種情況討論函數(shù)的極值點和單調性，再根據函數(shù)有三個不同的零點，列式求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，
若在上單調遞增，則，即．
設，則，
令得，當時，，當時，，
所以，
因此的取值范圍為．
（2）由題意，則．
若，，隨變化的情況如下表：
此時不可能有三個零點．
若，令，得或．
①若，即，，隨變化的情況如下表：
要使有三個不同的零點，需得且．
②若，即，此時，單調遞增，不可能有三個零點．
③若，即，，隨變化的情況如下表：
要使有三個不同的零點，
需無解．
綜上所述：的取值范圍是．
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查根據不等式恒成立和零點問題求參數(shù)的取值范圍，本題第二問的關鍵是求導后討論的思想的應用，分和兩種情況討論極值點的個數(shù)，當時，還需討論極值點的大小關系.
25．（1），單調遞增；，單調遞減，單調遞增；，單調遞減；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題設得，討論、、判斷在上的符號，即可得的單調性；
（2）由題設可得，易知且，要使在上有三個零點，即在上有兩個不相等的實根，討論參數(shù)a，當時構造，利用導數(shù)研究極值，進而求的取值范圍.
【詳解】
（1）由題設，，而上，
∴當時，上恒成立，單調遞增；
當時，上，單調遞減；上，單調遞增；
當時，上恒成立，單調遞減；
（2）由題意，，又，
∴，得，
∴，而，
∴要使在上有三個零點，即上只有一個零點即可，故在上有兩個極值點，
∵，則在上有兩個不相等的實根，而，
∴由（1）知：當時，遞增，不合題意；當時，遞減，不合題意；
當時，在遞減，遞增；而，
令且，則，
∴當時，有遞減；當時，有遞增；
∴，即，
∴只需，即，此時在上有三個零點.
∴的取值范圍為.
【點睛】
關鍵點點睛：第二問，將問題轉化為在上有兩個不相等的實根，討論參數(shù)，并構造中間函數(shù)并利用導數(shù)研究最值的符號、單調性，進而求出參數(shù)范圍.
26．(1)在上遞減，在上遞增，
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）對函數(shù)求導后，由導函數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調區(qū)間，
（2）由題意可得，，兩式相減化簡可得，若令，設，則，從而轉化為證，構造函數(shù)可證得，而要證。轉化為證，構造函數(shù)利用導數(shù)證明即可
(1)
的定義域為，，
當時，，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
(2)
因為，是函數(shù)的兩個不同的零點，
所以，，
顯然，則有
，，
所以，
不妨令，設，
所以，
所以要證，
只要證，即，
令（），則，
所以在上遞增，
所以，所以，
因為，，
所以
要證，只要證，即，
因為，所以只要證，
即，即，
令，則，
所以在上遞減，
所以，所以，
綜上，
【點睛】
關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，考查利用導數(shù)證明不等式，解題的關鍵是由已知可得，，設，再轉化，然后相加化簡后，構造函數(shù)利用導數(shù)證明即可，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題
27．（1）；（2）證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用導數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調遞減，在，上單調遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.
【詳解】
（1）因為，由題意，，即：，則．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上單調遞減，在，上單調遞增，
且，
若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，
即或.
當時，，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；
當時，，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；
綜上，所有零點的絕對值都不大于1.
［方法二］【最優(yōu)解】：
設是的一個零點，且，則．
從而．
令，由判別式，可知在R上有解，的對稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為，進而有，所以的所有零點的絕對值均不大于1．
［方法三］：
設是函數(shù)的一個絕對值不大于1的零點，且．設，則，顯然在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減．又，于是的值域為．
設為函數(shù)的零點，則必有，于是，所以解得，即．
綜上，的所有零點的絕對值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內遞增，在區(qū)間內遞減，在區(qū)間內遞增，所以的極大值為的極小值為．
（ⅰ）若，即或，有唯一一個零點，顯然有，不滿足題意；
（ⅱ）若，即或，有兩個零點，不妨設一個零點為，顯然有，此時，，則，另一個零點為1，滿足題意；同理，若一個零點為，則另一個零點為．
（ⅲ）若，即，有三個零點，易知在區(qū)間內有一個零點，不妨設為，顯然有，又，，所以在內有一個零點m，顯然，同理，在內有一個零點n，有．
綜上，所有零點的絕對值都不大于1．
［方法五］：
設是的一個零點且，則是的另一個零點．
．
則，設，由判別式，所以方程有解．
假設實數(shù)滿足．
由，得．與矛盾，假設不成立．
所以，所有零點的絕對值都不大于1．
【整體點評】
（2）方法一：先通過研究函數(shù)的單調性，得出零點可能所在區(qū)間，再根據反證法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零點的定義以及零點存在性定理即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：利用零點的定義結合題意求出的范圍，然后再由零點定義以及的范圍即可求出所有零點的范圍，從而證出；方法四：由函數(shù)的單調性討論極大值極小值的符號，得出的范圍，再結合零點存在性定理即可證出；方法五：設函數(shù)的一個零點為，滿足，再設另一個零點為，通過零點定義找到的關系，再根據一元二次方程存在解的條件以及反證法即可推出矛盾，從而證出．
28．（I）證明見解析，（II）（i）證明見解析，（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】
（I）方法一：先利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，再結合零點存在定理證明結論；
（II）（i）先根據零點化簡不等式，轉化求兩個不等式恒成立，構造差函數(shù)，利用導數(shù)求其單調性，根據單調性確定最值，即可證得不等式；
（ii）方法一：先根據零點條件轉化：，再根據放縮，轉化為證明不等式，最后構造差函數(shù)，利用導數(shù)進行證明.
【詳解】
（I）[方法一]：單調性+零點存在定理法
在上單調遞增，
，
所以由零點存在定理得在上有唯一零點．
[方法二]【最優(yōu)解】：分離常數(shù)法
函數(shù)在內有唯一零點等價于方程在內有唯一實根，又等價于直線與只有1個交點．
記，由于在內恒成立，所以在內單調遞增，故．
因此，當時，直線與只有1個交點．
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在單調遞增，，
，
另一方面：，
所以當時，成立，
因此只需證明當時，，
因為
當時，，當時，，
所以，
在單調遞減，，，
綜上，.
（ii）[方法一]：分析+構造函數(shù)法
，
，，
，因為，所以，
，
只需證明，
即只需證明，
令，
則，
，即成立，
因此.
[方法二]【最優(yōu)解】：放縮轉化法
．
設，則由得．
從而只要證．
上式左邊．
使用不等式可得
【整體點評】
（Ⅰ）方法一：直接研究函數(shù)的單調性，并根據零點存在定理證得結論，為通性通法；方法二：先分離常數(shù)，轉化為證明水平直線與函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，為最優(yōu)解；
（Ⅱ）（?。┩ㄟ^分析，轉化，然后構造函數(shù)證得；
（ⅱ）方法一：構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，求得最小值，然后根據條件放縮轉化為證明不等式．利用作差法構造關于實數(shù)的函數(shù)，利用導數(shù)證得此不等式，為該題的通性通法；方法二：利用放縮判定的導函數(shù)大于零，確定單調性，得到其最小值，轉化為，然后利用不等式放縮證明，運算相對簡潔，為最優(yōu)解.
0
－
0
＋
0
－
0
＋
↘
極小值
↗
極大值
↘
極小值
↗
0
極小值
0
0
極大值
極小值
0
0
極大值
極小值

相關學案

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 求函數(shù)零點（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 求函數(shù)零點（含解析），共31頁。學案主要包含了考點梳理，題型歸納，雙基達標，高分突破等內容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)研究函數(shù)的能成立問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)研究函數(shù)的能成立問題（含解析），共38頁。學案主要包含了考點梳理，典例分析，雙基達標，高分突破等內容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)研究方程的根（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)研究方程的根（含解析），共44頁。學案主要包含了考點梳理，典例分析，雙基達標，高分突破，整體點評等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關學案 更多

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題（含解析）

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題（含解析）
新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題（含解析）

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題（含解析）
新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 導數(shù)法研究函數(shù)的單調性（含解析）

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 導數(shù)法研究函數(shù)的單調性（含解析）
新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 參變分離法解決導數(shù)問題（含解析）

新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 參變分離法解決導數(shù)問題（含解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部