1.直線x+ 3y?2=0的傾斜角為( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π6
2.若A(?1,?2)，B(4,8)，C(5,x)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則x=( )
A. ?2B. 5C. 10D. 12
3.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)A2,?1,1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則AB=( )．
A. 2 2B. 2 6C. 2 5D. 6
4.某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)住房戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取25%的戶主作為樣本進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為( )
A. 400，32B. 400，36C. 480，32D. 480，36
5.如圖，在三棱錐O?ABC中，D是BC的中點(diǎn)，若OA=a，OB=b，OC=c，則AD等于( )
A. ?a+b+c
B. ?a+b?c
C. ?a+12b+12c
D. ?a?12b?12c
6.已知a∈R，b∈R，則“a=3”是“直線ax+2y?1=0與直線(a+1)x?2ay+1=0垂直”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7.若數(shù)據(jù)x1+m、x2+m、?xn+m的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、?、3xn+1的平均
數(shù)是4，標(biāo)準(zhǔn)差是s，則下列結(jié)論正確的是( )
A. m=2，s=36B. m=2，s=6C. m=4，s=36D. m=4，s=6
8.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2BC=4，AB⊥BC，
則點(diǎn)C到直線PA的距離為( )
A. 2 3B. 2 5
C. 2D. 4
9.如圖所示，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=1，AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，則A′C的長(zhǎng)為( )
A. 5
B. 23
C. 5
D. 13
10.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AD，B1C1上的中點(diǎn)．若點(diǎn)P為側(cè)面正方形ADD1A1內(nèi)(含邊)動(dòng)點(diǎn)，且存在x，y∈R使B1P=xBE+yBF成立，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為( )
A. 52
B. 1
C. 12
D. π2
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11.已知空間向量a=(0,1,?1)，b=(x,y,2)，若a//b，則實(shí)數(shù)x=______，y=______．
12.直線l，m的方向向量分別為a=(0,2,2)，b=(4,?4,0)，則直線l，m的夾角為_(kāi)_____．
13.已知空間三點(diǎn)A(1,?1,?1)，B(?1,?2,2)，C(2,1,1)，則AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是______．
14.已知兩點(diǎn)A(1,?2)，B(2,1)，直線l過(guò)點(diǎn)P(0,?1)與線段AB有交點(diǎn)，則直線l斜率取值范圍為_(kāi)_____．
15.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱B1C1的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)P，使得PA1=PE；
②△PA1E的面積越來(lái)越??；
③四面體A1PB1E的體積不變．
所有正確的結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.(本小題12分)
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,0)，且與直線2x+y?5=0垂直的直線一般式方程．
(2)求過(guò)點(diǎn)(? 2,4)，且與直線 2x+y+1=0平行的直線的一般式方程；
(3)求過(guò)點(diǎn)(?2,4)，且在x軸上的截距與在y軸上的截距之和為2的直線斜率．
17.(本小題14分)
對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．
(1)求出表中M，p及圖中a的值；
(2)若該校有高三學(xué)生300人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù)；
(3)估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù).(保留一位小數(shù))
18.(本小題14分)
文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)(滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
(2)求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；
(3)已知落在[50,60)的平均成績(jī)是54，方差是7，落在[60,70)的平均成績(jī)?yōu)?6，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)z?和總方差s2．
19.(本小題15分)
如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2，BD1和B1D交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：EF//平面ADD1A1；
(Ⅱ)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求
(i)平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；
(ii)點(diǎn)A到平面CEF的距離．
條件①：CE⊥B1D；
條件②：B1D與平面BCC1B1所成角為π4．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
20.(本小題15分)
已知底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=3DQ=3，AD=2AB=2，且∠ABC=60°．
(1)求證：平面PAC⊥平面CDQ；
(2)線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是 155，若存在，求出PMPC的值；若不存在，說(shuō)明理由．
21.(本小題15分)
已知集合Sn={x|x=(x1,x2,…,xn)，xi∈{0,1}，i=1，2，…，n}(n≥2)，對(duì)于A=(a1,a2,…,an)∈Sn，B=(b1,b2,…,bn)∈Sn，定義A與B的差為A?B=(|a1?b1|,|a2?b2|,…,|an?bn|)；A與B之間的距離為d(A,B)=|a1?b1|+|a2?b2|+…+|an?bn|.
(Ⅰ)若A?B=(0,1)，試寫出所有可能的A，B；
(Ⅱ)?A，B，C∈Sn，證明：d(A?C,B?C)=d(A,B)；
(Ⅲ)?A，B，C∈Sn，d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三個(gè)數(shù)中是否一定有偶數(shù)？證明你的結(jié)論．
參考答案
1.D
2.C
3.C
4.A
5.C
6.A
7.D
8.A
9.C
10.A
11.0 ?2
12.60°
13.(29,49,49)
14.[?1,1]
15.①②③
16.解：(1)設(shè)與直線2x+y?5=0垂直的直線方程為x?2y+m=0，
又該直線過(guò)點(diǎn)B(3,0)，
則3?2×0+m=0，解得m=?3，
所以所求直線方程為：x?2y?3=0；
(2)設(shè)與直線 2x+y+1=0平行的直線方程為 2x+y+n=0(n≠1)，
又該直線過(guò)點(diǎn)(? 2,4)，則 2×(? 2)+4+n=0，解得n=?2，
所以所求直線方程為： 2x+y?2=0；
(3)顯然直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為xa+yb=1，
則a+b=2?2a+4b=1，
整理可得：(ba)2=2，解得ba=± 2，
而直線xa+yb=1，即y=?bax+b，
其斜率為k=?ba，
所以所求直線的斜率為? 2或 2．
17.解：(1)由分組[10,15)對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是10，頻率是0.20，可得10M=0.20，
解得M=50，
所以10+24+m+2=50，解得m=14，
所以p=mM=1450=0.28,a=2450×5=0.096；
(2)估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù)為2450×300=144；
(3)估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的眾數(shù)是15+202=17.5，
因?yàn)閚=2450=0.48，
所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)x滿足0.2+(x?15)×0.485=0.5，
解得x=18.125，
即該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)約為18.1，
估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的平均數(shù)是12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3．
18.解：(1)∵每組小矩形的面積之和為1，
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
∴a=0.030．
(2)成績(jī)落在[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
設(shè)第75百分位數(shù)為m，
由0.65+(m?80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位數(shù)為84；
(3)由圖可知，成績(jī)?cè)赱50,60)的市民人數(shù)為100×0.1=10，
成績(jī)?cè)赱60,70)的市民人數(shù)為100×0.2=20，
故z?=10×54+66×2010+20=62．
所以兩組市民成績(jī)的總平均數(shù)是62，
s2=110+20[10×(54?62)2+10×7+20×(66?62)2+20×4]=37，
所以兩組市民成績(jī)的總平均數(shù)是62，總方差是37．
19.證明：(Ⅰ)如圖，連接AD1，B1D1，BD．

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，BB1/?/DD1且BB1=DD1，
所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，
所以E為BD1的中點(diǎn)，
在△ABD1中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BD1和AB的中點(diǎn)，
所以EF/?/AD1，
因?yàn)镋F?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，
所以EF/?/平面ADD1A1；
解：(Ⅱ)選條件①：CE⊥B1D.
(i)連接B1C.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AA1=AD=2，所以B1C=2 2，
在△CBD1中，因?yàn)镋為B1D的中點(diǎn)，CE⊥B1D，
所以CD=B1C=2 2，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中A1A=AD=2,CD=2 2，

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2 2,0),B(2,2 2,0),F(2, 2,0)，
B1(2,2 2,2),E(1, 2,1)，
所以CE=(1,? 2,1),CF=(2,? 2,0)，CB=(2,0,0)，
設(shè)平面CEF的法向量為m=(x1,y1,z1)，
則m?CE=0m?CF=0，即x1? 2y1+z1=02x1? 2y1=0，
令x1=1，則y1= 2,z1=1，可得m=(1, 2,1)，
設(shè)平面BCE的法向量為n=(x2,y2,z2)，
則n?CE=0n?CB=0，即x2? 2y2+z2=02x2=0，
令y2=1，則x2=0,z2= 2，所以n=(0,1, 2)，
設(shè)平面CEF與平面BCE的夾角為θ，
則csθ=|cs|=|m?n||m||n|= 63，
所以平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為 63；
(ii)因?yàn)锳F=(0, 2,0)，
所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為d=|AF?m||m|=1．
選條件②：B1D與平面BCC1B1所成角為π4．
連接B1C.
因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，
所以CD⊥B1C.
所以∠DB1C為直線B1D與平面BCC1B1所成角，即∠DB1C=π4，
所以△DB1C為等腰直角三角形，
因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AA1=AD=2，所以B1C=2 2．
所以CD=B1C=2 2．
以下同選條件①．
20.(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD，
AD=2AB=2，可得AD=2，AB=1，∠ABC=60°，底面ABCD是平行四邊形，
所以BC=AD=2，
由余弦定理可得AC= BC2+AB2?2AB?Bcs∠ABC= 4+1?2×2×1×12= 3，
可得AB2+AC2=BC2，
所以∠BAC=π2，即AC⊥AB，
可得AC⊥CD，
而AC∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC，
因?yàn)镃D?平面QCD，
所以平面PAC⊥平面CDQ；
(2)由(1)可得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，PA=3DQ=3，可得DQ=1，
則A(0,0,0)，P(0,0,3)，C(0, 3,0)，D(?1, 3,0)，Q(?1, 3,1)，
設(shè)平面PCQ的法向量為n=(x,y,z)，
CP=(0,? 3,3)，CQ=(?1,0,1)，
則n?CP=0n?CQ=0，即? 3y+3z=0?x+z=0，
令x=1，
可得n=(1, 3,1)，
設(shè)線段PC上存在點(diǎn)M，滿足條件，
設(shè)PM=λPC=λ(0, 3,?3)=(0, 3λ,?3λ)，λ∈[0,1]，
所以M(0, 3λ,?3λ+3)，則AM=(0, 3λ,?3λ+3)，
所以n?AM=0+3λ?3λ+3=3，|n|= 1+3+1= 5，|AM|= 0+3λ2+(3?3λ)2= 12λ2?18λ+9，
所以cs=n?AM|n|?|AM|=3 5× 12λ2?18λ+9，
直線AM與平面PCQ所成的角為θ，θ∈[0,π2]，
則sinθ=|cs|，
又因?yàn)橹本€AM與平面PCQ所成角的正弦值是 155，即sinθ= 155，
所以 155=3 5× 12λ2?18λ+9，
整理可得：2λ2?3λ+1=0，
解得λ=12或λ=1．
所以|PM||PC|=12或1．
所以存在這樣的M點(diǎn)滿足條件．
21.解：(Ⅰ) A=(0,0)，B=(0,1)；A=(0,1)，B=(0,0)；
A=(1,0)，B=(1,1)；A=(1,1)，B=(1,0)．
(Ⅱ)證明：令A(yù)=(a1,a2,…,an)，B=(b1,b2,…,bn)，C=(c1,c2,…,cn)，
對(duì)i=1，2，…，n，
當(dāng)ci=0時(shí)，有||ai?ci|?|bi?ci||=|ai?bi|；
當(dāng)ci=1時(shí)，有||ai?ci|?|bi?ci||=|1?ai?(1?bi)|=|ai?bi|.
所以d(A?C,B?C)=||a1?c1|?|b1?c1||+||a2?c2|?|b2?c2||+…+||an?cn|?|bn?cn||
=|a1?b1|+|a2?b2|+…+|an?bn|=d(A,B)．
(Ⅲ)證明：?A，B，C∈Sn，d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三個(gè)數(shù)中一定有偶數(shù)．
理由如下：
因?yàn)?ai?bi)+(bi?ci)+(ci?ai)=0，
且(ai?bi)+(bi?ci)+(ci?ai)與|ai?bi|+|bi?ci|+|ci?ai|奇偶性相同．
所以|ai?bi|+|bi?ci|+|ci?ai|為偶數(shù)，
故d(A,B)+d(B,C)+d(A,C)為偶數(shù)，
所以d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三個(gè)數(shù)中一定有偶數(shù)． 分組
頻數(shù)
頻率
[10,15)
10
0.20
[15,20)
24
n
[20,25)
m
p
[25,30]
2
0.04
合計(jì)
M
1

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