一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知圓C的圓心坐標(biāo)為(1,1)，且過坐標(biāo)原點，則圓C的方程為( )
A. (x?1)2+(y?1)2= 2B. (x?1)2+(y?1)2=2
C. (x+1)2+(y+1)2=2D. x2+y2=2
2.已知平面α的一個法向量為n=(4,?2,m)，直線l的一個方向向量為u=(?1,?3,2)，若l/?/α，則m=( )
A. ?2B. ?1C. 1D. 2
3.已知直線2x+y?3=0與直線4x?my?3=0平行，則它們之間的距離是( )
A. 3 55B. 510C. 3 510D. 55
4.如圖，在正三棱錐P?ABC中，點G為△ABC的重心，點M是線段PG上的一點，且PM=3MG，記PA=a,PB=b,PC=c，則AM=( )
A. ?34a+14b+14c
B. ?34a+13b+14c
C. ?14a+14b+14c
D. ?14a+13b+14c
5.已知從點(?1,5)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線2x?y+2=0反射，反射光線恰好過點(2,7)，則反射光線所在的直線方程為( )
A. 2x+y?11=0B. 4x?y?1=0C. 4x+y?15=0D. x+y?9=0
6.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，AA1= 2，AB=2，則點C到直線AB1的距離為( )
A. 63
B. 233
C. 303
D. 153
7.已知實數(shù)x，y滿足y=2x?1，且?1≤x≤2，則y?6x?3的取值范圍為( )
A. (?∞,?94]∪[3,+∞)B. [?3,94]
C. (?∞,94]∪[3,+∞)D. [94,3]
8.在正三棱錐P?ABC中，PA=AB=3，點M滿足PM=xPA+yPB+(2?x?y)PC，則AM的最小值為( )
A. 4 65B. 6C. 6 65D. 2 6
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知空間向量a=(1,2,3),a+2b=(?3,0,5),c=(2,4,m)，且a//c，則下列說法正確的是( )
A. |b|= 6B. m=6
C. (2b+c)⊥aD. cs?b,c?=? 2142
10.直線y=2x+m與曲線y= 4?x2恰有兩個交點，則實數(shù)m的值可能是( )
A. 92B. 4110C. 4D. 5
11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P，M是底面A1B1C1D1內(nèi)的一點(包括邊界)，且AP= 5,BM⊥AC，則下列說法正確的是( )
A. 點P的軌跡長度為π
B. 點M到平面A1BD的距離是定值
C. 直線CP與平面ABCD所成角的正切值的最大值為2+4 27
D. PM的最小值為 2?1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若一條過原點的直線被圓x2+y2?4x=0所截得的弦長為2，則該直線的傾斜角為______．
13.已知向量a=(3,?2,3),b=(?1,3,?2),c=(7,0,λ)，若a,b,c共面，則λ= ______．
14.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2，AA1= 3，M為棱B1C1上的動點(包括端點)，N為AM的中點，則直線CN與平面ABB1A1所成角的正弦值的取值范圍為____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A(?1,6)，B(?3,?1)，C(4,2)．
(1)若點D是AC邊上的中點，求直線BD的方程；
(2)求AB邊上的高所在的直線方程．
16.(本小題15分)
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，點E，F(xiàn)分別為棱AB，A1B1的中點．
(1)求證：AF//平面B1CE；
(2)求直線C1E與直線AF的夾角的余弦值．
17.(本小題15分)
如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD是矩形，AC⊥DB1,AA1= 2AB=2，點P是棱DD1上的一點，且DP=2PD1．

(1)求證：四邊形ABCD為正方形；
(2)求直線AD1與平面PAC所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
已知某圓的圓心在直線y=x上，且該圓過點(?2,2)，半徑為2 2，直線l的方程為(m+1)x+(2m?1)y?3m=0．
(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l過定點A，點B，C在此圓上，且AB⊥AC，求|BC|的取值范圍．
19.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB=2 2,BC=2，平面PAC⊥平面ABCD，且PA=PC，點E，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點．

(1)求證：DE⊥平面PAC；
(2)若直線PA與平面PBD所成的角的正弦值為 63．
①求PA的長；
②求平面PDE與平面FDB的夾角的余弦值．
參考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.C
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.BC
11.BCD
12.60°或120°．
13.5
14.[ 217,2 55]
15.解：(1)因為點D是AC邊上的中點，A(?1,6)，C(4,2)，
則D(32,4)，
又B(?3,?1)，
所以kBD=?1?4?3?32=109，
所以直線BD的方程為y+1=109(x+3)，即10x?9y+21=0；
(2)因為kAB=?1?6?3+1=72，
所以AB邊上的高所在的直線的斜率為?172=?27，
所以AB邊上的高所在的直線方程為y?2=?27(x?4)，即2x+7y?22=0．
16.(1)證明：因ABC?A1B1C1是直三棱柱，則AB/?/A1B1，AB=A1B1，
又因點E，F(xiàn)分別為棱AB，A1B1的中點，所以AE//B1F，AE=B1F，
則四邊形AEB1F是平行四邊形，所以AF//B1E，
又因AF?平面B1CE，B1E?平面B1CE，
故AF/?/平面B1CE；
(2)解：如圖，

因直三棱柱ABC?A1B1C1中AB⊥AC，故可以A為原點，
以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AA1=2，則C1(0,2,2)，E(1,0,0)，F(xiàn)(1,0,2)，
于是C1E=(1,?2,?2),AF=(1,0,2)，
C1E?AF=1×1+(?2)×0+(?2)×2=?3，|C1E|= 12+(?2)2+(?2)2=3，|AF|= 12+02+22= 5，
所以cs=C1E?AF|C1E|?|AF|=?33× 5=? 55，
設(shè)直線C1E與直線AF的夾角為θ，θ∈[0,π2]，
則csθ=|cs|= 55．
故直線C1E與直線AF的夾角的余弦值為 55．
17.(1)證明：如圖，連接DB，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，

BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC，
又AC⊥DB1，BB1∩DB1=B1，BB1，DB1?平面BDB1，
所以AC⊥平面BDB1，又BD?平面BDB1，
所以AC⊥BD，又四邊形ABCD是矩形，
所以四邊形ABCD為正方形；
(2)解：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A( 2,0,0),C(0, 2,0),D1(0,0,2),P(0,0,43)，
所以PA=( 2,0,?43),PC=(0, 2,?43),AD1=(? 2,0,2)，
設(shè)平面PAC的一個法向量為n=(x,y,z)，
則由n⊥PA，n⊥PC，可得n?PA= 2x?43z=0n?PC= 2y?43z=0，令z=3，可得x=y=2 2，
故平面PAC的一個法向量為n=(2 2,2 2,3)，
設(shè)直線AD1與平面PAC所成角的大小為θ，
所以sinθ=|cs|=|n?AD1||n||AD1|=|? 2×2 2+0×2 2+2×3| 6×5= 615，
即直線AD1與平面PAC所成角的正弦值為 615．
18.解：(1)因為圓心在直線y=x上，所以設(shè)圓心(a,a)，
又圓過點(?2,2)，半徑為2 2，
∴ (a+2)2+(a?2)2=2 2，解得a=0，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=8；
(2)由直線l的方程為(m+1)x+(2m?1)y?3m=0，可得(x+2y?3)m+(x?y)=0，
則有x+2y?3=0x?y=0，解得x=1y=1，直線過定點A(1,1)，
取線段BC中點為D(x,y)，則|BC|=2|AD|，
令原點為O，則|OB|2=|OD|2+|BD|2，即8=x2+y2+(x?1)2+(y?1)2，
化簡得(x?12)2+(y?12)2=72，即D的軌跡是以(12,12)為圓心， 142為半徑的圓，
A到D的軌跡的圓心的呀離為 22，則|AD|的取值范圍為[ 142? 22, 142+ 22]，
∴|BC|的取值范圍為[ 14? 2, 14+ 2].
19.解：(1)證明：在矩形ABCD中，AB：BC= 2：1，且E是AB的中點，
tan∠ADE=tan∠CAB= 22，故∠ADE=∠CAB，
又∠CAB+∠DAC=90°，則∠ADE+∠DAC=90°，即AC⊥DE，
如圖，記BD∩AC=O，連接PO，

因為ABCD是矩形，故O是AC的中點，
又PA=PC，所以PO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO?平面PAC，
故PO⊥平面ABCD，
又DE?平面ABCD，
所以PO⊥DE，
又AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC，
所以DE⊥平面PAC；
(2)①如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OE，OP所在的直線分別為x軸，z軸，過點O且與AB平行的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)OP=a(a>0)，所以A(1,? 2,0),B(1, 2,0),D(?1,? 2,0),P(0,0,a)，
故AP=(?1, 2,a)，
設(shè)平面PDB的法向量為n=(x,y,z)，
又DB=(2,2 2,0),OP=(0,0,a)，
所以n⊥DBn⊥OP，則n?DB=2x+2 2y=0n?OP=az=0，
故可取n=( 2,?1,0)，
因為直線PA與平面PBD所成的角的正弦值為 63，
所以|cs?n,AP?|=|n?AP||n|?|AP|=2 2 1+2+a2× 2+1= 63，
解得a=1，所以AP=|AP|= 1+2+1=2；
②如圖，因為E(1,0,0),F(?12, 22,12)，

設(shè)平面PDE的一個法向量為n1=(x1,y1,z1)，
又ED=(?2,? 2,0),EP=(?1,0,1)，
所以n1⊥EDn1⊥EP，
則n1?ED=?2x1? 2y1=0n1?EP=?x1+z1=0，
故可取n1=(1,? 2,1)，
設(shè)平面FDB的一個法向量為n2=(x2,y2,z2)，
又DB=(2,2 2,0),DF=(12,3 22,12)，
所以n2⊥DBn2⊥DF，
則n2?DB=2x2+2 2y2=0n2?DF=12x2+3 22y2+12z2=0，
故可取n2=( 2,?1,2 2)，
設(shè)平面PDE與平面FDB的夾角為θ，
所以csθ=|cs|=|n1?n2||n1||n2|=4 2 1+2+1× 2+1+8=2 2211，
即平面PDE與平面FDB的夾角的余弦值為2 2211．

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