數 學
全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交。
5．本卷主要考查內容：選擇性必修第一冊第一章～第二章。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知圓C的圓心坐標為（1,1），且過坐標原點，則圓C的方程為
A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.x2+y2=2
2．已知平面α的一個法向量為n=(4,-2,m)，直線l的一個方向向量為u=(-1,-3,2)，若l∥α，則m=
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3．已知直線2x+y-3=0與直線4x-my-3=0平行，則它們之間的距離是
A.355 B.510 C.3510 D.55
4．如圖，在正三棱錐P-ABC中，點G為ΔABC的重心，點M是線段PG 上的一點，且PM=3MG,，記PA→=a,PB→=b,PC→=c，則AM→=
A.-34a+14b+14c B.-34a+13b+14c
C.-14a+14b+14c D.-14a+13b+14c
5．已知從點（-1,5）發(fā)出的一束光線，經過直線2x-y+2=0反射，反射光線恰好過點（2,7），則反射光線所在的直線方程為
A.2x+y-11=0 B.4x-y-1=0
C.4x+y-15=0 D.x+y-9=06．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ΔABC是等邊三角形，AA1=2AB=2，則點C到直線AB1的距離為
A.63 B.233
C.303 D.153
7．已知實數x，y滿足y=2x-1，且-1≤x≤2，則y-6x-3的取值范圍為
A.(-∞,-94]∪[3,+∞) B.[-3,94]
C.(-∞,94]∪[3,+∞) D.[94,3]
8．在正三棱錐P-ABC中，PA=AB=3，點M滿足PM→=xPA→+yPB→+(2-x-y)PC→，則AM 的最小值為
A.465 B.6 C.665 D.2/6
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知空間向量a=(1,2,3),a+2b=(-3,0,5),c=(2,4,m)，且a∥c，則下列說法正確的是
A.|b|=6 B.m=6
C.(2b+c)⊥a D.cs??b,c?=-2142
10．直線y=2x+m與曲線y=4-x2恰有兩個交點，則實數m的值可能是
A.92 B.4110 C.4 D.5
11．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P，M是底面A1B1C1D1內的一點（包括邊界），且AP=5,BM⊥AC,，則下列說法正確的是 A1P M
A.點P的軌跡長度為π
B．點M到平面A1BD的距離是定值
C.直線CP與平面ABCD所成角的正切值的最大值為2+427
D.PM的最小值為2-1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若一條過原點的直線被圓x2+y2-4x=0所截得的弦長為2，則該直線的傾斜角為
13．已知向量a=(3,-2,3),b=(-1,3,-2),c=(7,0,λ)，若a，b，c共面，則λ=
14．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,M為棱B1C1上的動點（包括端點），N為AM的中點，則直線CN與平面ABB1A1所成角的正弦值的取值范圍為 四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知ΔABC的頂點坐標為A（-1,6），,B(-3,-1),C(4,2).
（1）若點D是AC邊上的中點，求直線BD的方程；
（2）求AB邊上的高所在的直線方程．
16．（本小題滿分15分）
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=AA1，點E，F(xiàn)分別為棱AB，A1B1的中點.
（1）求證：AF∥平面B1CE;
（2）求直線C1E與直線AF的夾角的余弦值．
17．（本小題滿分15分）
如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是矩形，AC⊥DB1,AA1=2AB=2，點P是棱DD1上的一點，且DP=2PD1.
（1）求證：四邊形ABCD為正方形；
（2）求直線AD1與平面PAC所成角的正弦值.18．（本小題滿分17分）
已知某圓的圓心在直線y=x上，且該圓過點（-2,2），半徑為22，直線l的方程為(m+1)x+(2m-1)y-3m=0.
（1）求此圓的標準方程；
（2）若直線l過定點A，點B，C在此圓上，且AB⊥AC ，求|BC|的取值范圍.
19．（本小題滿分17分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB=22,BC=2，平面PAC⊥平面ABCD，且PA=PC,，點E，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點.
（1）求證：DE⊥平面PAC；
（2）若直線PA與平面PBD所成的角的正弦值為63
①求PA的長；
②求平面PDE與平面FDB的夾角的余弦值.
2024～2025學年上學期高二年級第一次月考·數學
參考答案、提示及評分細則
1．B 圓心C（1,1），半徑r=|OC|=2，故圓C方程為(x-1)2+(y-1)2)2=2.故選B.
2．B 因為l∥α，所以n⊥u，所以n?u=-4+6+2m=0，解得m=-1.故選B.:
3．C 因為直線2x+y-3=0與直線4x-my-3=0平行,所以-2m=4×1，解得m=-2，所以直線4x+2y-3=0，直線2x+y-3=0可變形為4x+2y-6=0，所以兩平行線之間的距離.故選C.
4．A 因為G為ΔBC的重心，所以AG→=13(AB→+AC→)=13(PB→-PA→+PC→-PA→)=13(b+c-2a)，又點M是線段PG上的一點，且PM=3MG，所AM→=AG→+GM→=AG→+14(GA→+AP→)=-14PA→+34AG→=-14a+34×13(b+c-2a)=14b+14c-34a.故選A.
5．C 點（-1,5）關于2x-y+2=0對稱的點設為(x,y)，則{y-5x+1=-12(x-1)-5+y2+2=0?{x=3y=3，反射光線經過點(3,3),(2,7),,k=7-32-3=-4，則反射光線所在的直線方程為y=-4(x-3)+3，即4x+y-15=0，故選C.
6．C 取AC的中點O，則BO⊥AC,BO=3，建立如圖所示的空間直角坐標系O)-xyz，所以A(0,-1,0),B1(3,0,2),C(0,1,0)，所以AB1→=(3,1,2) CA→=(0,-2,0)，所以CA→在AB1→上的投影的長度為|CA→?AB1→||AB1→|=26=63故點C到直線AB1的距離為d=|AC|2-(63)2=303.故選C.
7．D 由于點(x,y)滿足關系式y(tǒng)=2x-1，且-1≤x≤2，可知(x,y)在線段AB上移動，且A(-1,-3),B(2,3)，設Q(3,6)，則kQA=6-(-3)3-(-1)=94,kQB=6-33-2=3，因為點(x,y)在線段AB 上，所以y-6x-3的取值范圍是[94,3]，故選D.
8.B延長PA,,PB,PC至點D，E，F(xiàn)，使得PD→=2PA→,,PE→=2PB→PF→=2PC→，所以PM→=xPA→+yPB→+(2-x-y)PC→=x2PD→+y2PE→+(2-x-y)2PF→，又由x2+y2+(2-x-y)2=1，所以M，D，E，F(xiàn)四點共面，所以AM的最小值為點A到平面DEF的距離，又點A是PD的中點，所以點A到平面DEF的距離是點P到平面DEF的距離的一半，又PD=PE=PF=DE=DF=EF=6，易得點P到平面DEF的距離為26，所以AM的最小值為／6．故選B．
9.ABD :a=(1,2,3),a+2b=(-3,0,5),∴b=(-2,-1,1),∴|b|=(-2)2+(-1)2+12=6，故A正確；·c=(2,4,m),a∥c，設e=-te.，故B正確；2b+c=(-2,2,8),a?(2b+c)=-2×1+2×2+8×3=26≠0，故C錯誤；cs??b,c?=b?c|b|?|c|=-26?56=-2142，故D正確.故選ABD.10.BC 曲線y=4-x2表示圓x2+y2=4在x軸的上半部分，當直線y=2x+m與圓x2+y2=4相切時，|m|5=2，解得m=±25，當點（-2,0）在直線y=2x+m上時，m=4，可得4≤m

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