一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列說法正確的是( )
A. 零向量沒有方向
B. 空間向量不可以平行移動
C. 如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等
D. 同向且等長的有向線段表示同一向量
2.設復數(shù)z=i(i?1)，則|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
3.已知a=(2,3,?1)，b=(2,0,4)，c=(?4,?6,2)，則下列結論正確的是( )
A. b//cB. a//bC. a⊥bD. a⊥c
4.兩平面α，β的法向量分別為u=(3,?1,z)，v=(?2,?y,1)，若α⊥β，則y+z的值是( )．
A. ?3B. 6C. ?6D. ?12
5.學校開展學生對食堂滿意度的調(diào)查活動，已知該校高一年級有學生550人，高二年級有學生500人，高三年級有學生450人．現(xiàn)從全校學生中用分層抽樣的方法抽取60人調(diào)查，則抽取的高二年級學生人數(shù)為( )
A. 18B. 20C. 22D. 24
6.如圖：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1，B1D1的交點.若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，則向量BM=( )
A. ?12a+12b+c
B. ?12a+12b?c
C. ?12a?12b+c
D. 12a?12b+c
7.已知空間中兩條不同的直線m，n，其方向向量分別為a，b，則“?λ∈R，a≠λb”是“直線m，n相交”的( )
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
8.已知二面角α?l?β中，平面α的一個法向量為n1=( 32,12, 2)，平面β的一個法向量為n2=(0,12, 2)，則二面角α?l?β的平面角滿足( )
A. 余弦值為 32B. 正弦值為12C. 大小為60°D. 大小為30°
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列命題是真命題的有( )
A. A，B，M，N是空間四點，若BA,BM,BN能構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面
B. 直線l的方向向量為a=(1,?1,2)，直線m的方向向量為b=(2,1,?12)，則l與m垂直
C. 直線l的方向向量為a=(0,1,?1)，平面α的法向量為n=(1,?1,?1)，則l⊥α
D. 平面α經(jīng)過三點A(1,0,?1),B(0,1,0),C(?1,2,0),n=(1,u,t)是平面α的法向量，則u+t=1
10.在空間直角坐標系Oxyz中，A(2,0,0)，B(1,1,?2)，C(2,3,1)，則( )
A. AB?BC=?5
B. |AC|=2 3
C. 異面直線OB與AC所成角的余弦值為 1530
D. 點O到直線BC的距離是3 4214
11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為A1B1的中點，P為棱BC上的動點(包含端點)，則下列結論正確的是( )
A. 存在點P，使D1P⊥AC1
B. 存在點P，使PE=D1E
C. 四面體EPC1D1的體積為定值83
D. 二面角P?D1E?C1的余弦值的取值范圍是[23, 63]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(2,4,5),b=(4,x,y)，分別是直線l1、l2的方向向量，若l1//l2，則x+y= ______．
13.已知AB=(2,3,1)，AC=(4,5,3)，那么向量BC= ．
14.若a,b,c為空間兩兩夾角都是120°的三個單位向量，則|a+2b?3c|= ______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知向量a=(2,?1,2),b=(1,4,1)．
(1)求a+b,a?b,|2a|；
(2)求向量a+2b與a?b夾角的余弦值．
16.(本小題12分)
已知正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為2，若F為C1C的中點，則

(1)求直線BB1與直線DF的夾角的余弦值；
(2)求證：平面A1BD⊥平面BDF．
17.(本小題12分)
已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且(b+a)(sinB?sinA)=c(sinC?sinA)．
(1)求B；
(2)若b=2，△ABC的面積為 3，求△ABC的周長．
18.(本小題12分)
在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四邊形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M為PC中點，E在線段BC上，且BE=1．

(1)求證：DM//平面PAB；
(2)求直線PB與平面PDE所成角的正弦值；
(3)求點E到PD的距離．
19.(本小題12分)
如圖所示，在三棱錐P?ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
(1)證明：BC⊥平面PAB；
(2)若PA=AB=6，BC=3，在線段PC上(不含端點)，是否存在點D，使得二面角B?AD?C的余弦值為 105，若存在，確定點D的位置；若不存在，說明理由．
參考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.B
6.B
7.B
8.B
9.BD
10.AC
11.AB
12.18
13.(2,2,2)
14. 21
15.解：(1)因為向量a=(2,?1,2),b=(1,4,1)．
由空間向量的坐標運算法則可知：
a+b=(2,?1,2)+(1,4,1)=(3,3,3)，
a?b=(1,?5,1)，|2a|=2 22+(?1)2+22=6．
(2)設a?b與a+2b的夾角為θ，則csθ=(a+2b)?(a?b)|a+2b|?|a?b|，
a+2b=(4,7,4)，|a+2b|=9，a?b=(1,?5,1)，|a?b|=3 3，
所以csθ=4×1+7×(?5)+4×19×3 3=?2727 3=? 33，
所以向量a?b與a+2b夾角的余弦值為? 33．
16.(1)解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，BB1//CC1，
所以直線BB1與直線DF的夾角，
即直線CC1與直線DF的夾角，即為∠DFC，
在Rt△DCF中，DC=2，CF=1，
所以DF= 5，則cs∠DFC=CFDF=1 5= 55，
所以直線BB1與直線DF的夾角的余弦值為 55；
(2)證明：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，
取BD的中點O，連接A1O，F(xiàn)O，A1F，A1C1，

易得A1B=A1D=2 2，F(xiàn)B=FD= 5，
所以A1O⊥BD，F(xiàn)O⊥BD，
又A1O?平面A1BD，F(xiàn)O?平面FBD，且平面A1BD∩平面FBD=BD，
所以∠A1OF即為平面A1BD與平面FBD所成角，
在Rt△DOF中，OF= DF2?OD2= 3，
又BD=2 2，O是BD的中點，則DO=BO= 2，
在Rt△A1BD中，A1O= A1B2?BO2= 6，
又CC1⊥平面A1B1C1D1，
所以在Rt△A1C1F中，A1F= A1C12+C1F2=3，
則A1F2=A1O2+OF2，所以∠A1OF=π2，
所以平面A1BD⊥平面FBD．
17.解：(1)因為(b+a)(sinB?sinA)=c(sinC?sinA)，
由正弦定理可得(b+a)(b?a)=c(c?a)，
整理可得b2=a2+c2?ac，
而由正弦定理可得b2=a2+c2?2accsB，
所以csB=12，B∈(0,π)，
解得B=π3；
(2)由(1)及S△ABC=12acsinB=12ac? 32= 3，可得ac=4，
由余弦定理可得b2=a2+c2?2accsB=(a+c)2?3ac，
b=2，
所以(a+c)2=4+12=16，
所以a+c=4，
即三角形的周長為a+b+c=2+4=6．
所以△ABC的周長為6．
18.解：(1)如圖，取 BC 中點 F ，連接 MF,DF

因為 F 為 BC 中點， BC//AD ， AD=AB=2 ， BC=4 ，所以 BF=AD ， BF//AD
所以四邊形 ABFD 為平行四邊形，所以 AB//DF ，
又 DF? 平面 PAB ， AB? 平面 PAB ，所以 DF// 平面 PAB ，
因為 F 為 BC 中點， M 為 PC 中點，則 MF//PB ，
又 MF? 平面 PAB ， PB? 平面 PAB ，所以 MF// 平面 PAB ，
因為 MF∩DF=F,MF,DF? 平面 MDF ，所以平面 MDF// 平面 PAB ，
又 DM? 平面 MDF ，故 DM// 平面 PAB ．
(2)
根據(jù)題意，分別以 AB,AD,AP 所在直線為 x,y,z 軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
由條件可得， A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0) ，
則 PB=(2,0,?2),PD=(0,2,?2),PE=(2,1,?2) ，
設平面 PDE 的法向量為 n=(x,y,z) ，
則 PD?n=2y?2z=0PE?n=2x+y?2z=0 ，解得 y=zy=2x ，
取 y=2 ，則 x=1,z=2 ，所以平面 PDE 的一個法向量為 n=(1,2,2) ，
設直線PB與平面 PDE 所成角為 θ ，
則 sin θ=|cs|=|PB?n||PB|?|n|=|2?4|2 2×3= 26 ．
所以直線PB與平面 PDE 所成角的正弦值為 26 ．
(3)由(2)可知， PD=(0,2,?2),PE=(2,1,?2) ，
所以點 E 到PD的距離為 (PE)2?(PE?PD|PD|)2= 9?(62 2)2=3 22 ．

19.(1)證明：過點A作AE⊥PB于點E，
因為平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE?平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，
所以AE⊥BC，
又PA⊥平面ABC，BC?平面PBC，所以PA⊥BC，
又因為AE∩PA=A，AE，PA?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
(2)解：假設在線段PC上(不含端點)，存在點D，使得二面角B?AD?C的余弦值為 105，
以B為原點，分別以BC、BA為x軸，y軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，
則A(0,6,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P(0,6,6)，
AC=(3,?6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,?6,?6)，BA=(0,6,0)，
設平面ACD的一個法向量為m=(x,y,z)，
m?AC=0,m?AP=0,即3x?6y=0,6z=0,
取x=2，y=1，z=0，則m=(2,1,0)，
因為D在線段PC上(不含端點)，
所以可設PD=λPC=(3λ,?6λ,?6λ)，0

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