一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合M={x|y=ln(x?1)}，N={y|y=ex}，則M∩N=( )
A. (12,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. [1,+∞)
2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是OA=(1,2)，OB=(2,2)，則|z1+z2|=( )
A. 2B. 4C. 5D. 6
3.以點(diǎn)A(2,3)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. (x?2)2+(y?3)2=9B. (x+2)2+(y+3)2=9
C. (x+2)2+(y+3)2=4D. (x?2)2+(y?3)2=4
4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Snan=n+12，則a5a9=( )
A. 59B. 95C. 925D. 259
5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上一點(diǎn)P滿足PF2⊥F1F2，且|PF1|=2|PF2|，則橢圓的離心率為( )
A. 12B. 22C. 33D. 23
6.已知函數(shù)f(x)=?sinx2，g(x)=4sin(ωx+π6)(ω>0)，若y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間[0,2π]上有且僅有3個交點(diǎn)，則ω的最小值是( )
A. 43B. 73C. 2312D. 1712
7.在△ABC中，已知BC=5，AC=2，∠ACB=π3，D是BC的中點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且AE=13AD，連接CE并延長交AB于點(diǎn)P，則線段CP的長度為( )
A. 1275B. 1295C. 1335D. 125
8.已知正四面體ABCD的頂點(diǎn)B，C，D均在球O的表面上，球心O在平面BCD內(nèi)，棱AB與球面交于點(diǎn)P.若A∈平面α1，B∈平面α2，C∈平面α3，D∈平面α4，ai//ai+1(i=1,2,3)且α1與αi+1(i=1,2,3)之間的距離為同一定值，棱AC，AD分別與α2交于點(diǎn)Q，R，若△PQR的周長為2( 21+ 3)3，則球O的半徑為( )
A. 2B. 1C. 2D. 3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知雙曲線Γ：y2?x2m2=1的上焦點(diǎn)為F，直線l：mx+y=0是Γ的一條漸近線，P是Γ上支上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則( )
A. F到l的距離為2
B. Γ的焦距為 2
C. Γ的離心率為 2
D. 若A(2,3 2)，則|PA|+|PF|的最小值為4
10.如圖，點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動(P點(diǎn)異于B，C1點(diǎn))，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 異面直線BD與AB1所成角為60°
B. A1P⊥B1D
C. 三棱錐P?ACD1的體積為13
D. 直線A1P與平面AD1C1B所成角的正弦值的取值范圍為(12, 33]
11.定義[m]為不超過m的最大整數(shù)，例如：[3]=3，[ 5]=2，已知集合S1={a1}，且?n∈N?，an+1[an]=[an]2an?[an],an?[an]≠0an2,an?[an]=0，Sn+1=Sn∪{an+1}，下列說法正確的是( )
A. 若a1=1710，則S3={1710,107,73}
B. 若a1= 5，則Sn的真子集個數(shù)為2n?1
C. 記Tn為Sn中所有元素之和，且Tn=nan?1(n≥2)，則數(shù)列{an}的單調(diào)性無法確定
D. 若a1= m2+2m(m∈N?)，正整數(shù)n0滿足：對任意m∈N?，n≥n0，都有Sn+1=Sn，則n0的最小值為3
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知拋物線E：x2=2py(p>0)上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離與到x軸的距離之差為2，則p= ______．
13.記數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=14?12an+1,a1=2，則a2024= ______．
14.如圖所示，由半橢圓C1：x2a2+y216=1(x≤0)和兩個半圓C2：x2+(y?2)2=4(x≥0)，C3：x2+(y+2)2=4(x≥0)組成曲線C：F(x,y)=0，其中點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是C1的上，下焦點(diǎn)和C2，C3的圓心.若過點(diǎn)F1，F(xiàn)2作兩條平行線l1，l2分別與C1，C2和C1，C3交于P，Q和M，N，則|MN|+|PQ|的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知圓C經(jīng)過A(2,?1)，B(0,5)，且圓心在直線x?y+1=0上．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l：y=kx+4截得圓C弦長最短時，求實(shí)數(shù)k的值．
16.(本小題15分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，cs(2π3?A)=2a?b2c．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2，求△ABC面積的最大值．
17.(本小題15分)
如圖，四棱臺ABCD?A1B1C1D1的上，下底面為正方形，CD1與C1D交于點(diǎn)E，平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ABB1⊥平面ABCD．
(1)證明：AA1⊥平面ABCD；
(2)若AA1=AB=2A1B1，求直線AE與平面A1D1C所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，點(diǎn)A在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求|AB|的最小值(用p表示)；
(2)若直線OA與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)E，
(i)求證：BE//x軸；
(ii)若直線AB的斜率大于零，AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)F作直線AB的垂線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，△MNF與△BEF的面積相等，求直線AB的斜率．
19.(本小題17分)
已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，S10=55，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，b1=2，Tn+1=2Tn+2(n∈N?).定義：若b被m除得的余數(shù)為a，記為b≡a(mdm)，如：5≡1(md2)，14≡2(md3)，數(shù)列{cn}滿足cn=1,an≡1(md3)2,an≡2(md3)an,an≡0(md3)，記{cn}的前n項(xiàng)和為Mn．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若對任意n≥2，都有M3n≥λan?1恒成立，求λ的最大值；
(3)求數(shù)列{bn?cn}的前3n項(xiàng)和．
參考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.C
6.D
7.B
8.A
9.CD
10.ABD
11.AD
12.4
13.4048
14.10
15.解：(1)因圓心在直線x?y+1=0上，設(shè)圓心C坐標(biāo)為(a,a+1)，
圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x?a)2+(y?a?1)2=r2，
因?yàn)閳AC經(jīng)過A(2,?1)，B(0,5)，
則(2?a)2+(?1?a?1)2=r2a2+(5?a?1)2=r2，解得a=1，r= 10，
即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x?1)2+(y?2)2=10；
(2)已知直線l：y=kx+4過定點(diǎn)M(0,4)，圓C的圓心為C(1,2)，
當(dāng)直線l與CM垂直時，直線被圓截得的弦長最短，
kCM=4?20?1=?2，所以kCM?k=?1，即k=12．
16.解：(1)∵cs(2π3?A)=2a?b2c，
∴cs(2π3?A)=2sinA?sinB2sinC，
∴cs2π3csA+sin2π3sinA=2sinA?sinB2sinC，
∴ 3sinAsinC?csAsinC=2sinA?sin(A+C)，
∴ 3sinAsinC?csAsinC=2sinA?sinAcsC?csAsinC，
∴ 3sinAsinC+sinAcsC=2sinA．
∵sinA≠0，∴ 3sinC+csC=2sin(C+π6)=2，
∴sin(C+π6)=1．
∵C+π6∈(π6,7π6)，∴C+π6=π2，∴C=π3．
(2)S△ABC=12absinC= 34ab，
由余弦定理知c2=a2+b2?2abcsC=a2+b2?ab≥ab，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立，∴ab≤4．
S△ABC= 34ab≤ 34×4= 3，
∴△ABC面積的最大值為 3．
17.解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB⊥AD，
因?yàn)槠矫鍭1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面A1ADD1，AA1?平面A1ADD1，
所以AB⊥AA1，
又因?yàn)槠矫鍭1ABB1⊥平面ABCD，平面A1ABB1∩平面ABCD=AB，AD?平面ABCD，
所以AD⊥平面A1ABB1，AA1?平面A1ABB1，
所以AD⊥AA1，
因?yàn)锳B∩AD=A，AB，AD?平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD．
(2)由題意可建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

令A(yù)A1=AB=2A1B1=2，可得A1(0,0,2)，D1(0,1,2)，C(2,2,0)，
則AC=(2,2,0),CD1=(?2,?1,2)，A1D1=(0,1,0)，A1C=(2,2,?2)，
因?yàn)樵谒睦馀_ABCD?A1B1C1D1中，上，下底面為正方形且AB=2A1B1，
所以C1D1/?/CD且C1D1CD=12，所以△C1D1E∽△DCE，
即D1EEC=12，則CE=23CD1，
AE=AC+CE=AC+23CD1=(23,43,43)，所以|AE|=2．
設(shè)平面A1D1C的法向量為n=(x1,y1,z1)，
則A1D1⊥nA1C⊥n，則A1D1?n=0A1C?n=0，故y1=02x1+2y1?2z1=0，
令x1=1，得y1=0，z1=1，
所以n=(1,0,1)為平面A1D1C的一個法向量，且|n|= 2，
設(shè)直線AE與平面A1D1C所成角為θ，
則sinθ=|AE?n||AE|?|n|=22× 2= 22，
即直線AE與平面A1D1C所成角的正弦值為 22．
18.解：(1)易知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x=my+p2，
聯(lián)立方程x=my+p2y2=2px，整理得y2?2pmy?p2=0，
所以y1+y2=2pm，y1y2=?p2，
|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1)≥2p，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時等號成立，所以|AB|的最小值是2p．
(2)(ⅰ)證明：直線OA的方程為y=y1x1x，則yE=?p2?y1x1=?p2?2py1=?p2y1，
結(jié)合(1)有y2?2pmy?p2=0，
由韋達(dá)定理易得y1y2=?p2，所以yE=?p2y1=y1y2y1=y2，所以BE/?/x軸．
(ⅱ)過點(diǎn)F的垂線方程為y=?m(x?p2)，所以垂線y=?m(x?p2)與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N(?p2,mp)，
則yM=yN，所以BE//MN，則|MN|=12|AB|=p(m2+1)，
又|MF|= 1+m2|yM|=|m|p 1+m2，
|BF|=|BM|?|MF|=12|AB|?|MF|=p(m2+1)?|m|p 1+m2=p 1+m2( 1+m2?|m|)，
記點(diǎn)N，E到直線AB的距離分別是?1，?2，
由平面幾何相似知識知?1?2=|MN||BE|
所以S△MNFS△BEF=12|MF|?112|BF|?2=|MF||BF|?|MN||BE|=|m|p 1+m2?p(m2+1)[p 1+m2( 1+m2?|m|)]2=|m| 1+m2( 1+m2?|m|)2，
由條件知|m| 1+m2( 1+m2?|m|)2=1，化簡得5m4+5m2?1=0，
解得m2=3 5?510，因?yàn)橹本€AB的斜率大于零，
所以直線AB的斜率k=1m=1 3 5?510= 6 5+102．

19.解：(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
因?yàn)镾10=55，a1=1，所以5(a1+a10)=55，解得a10=10，
所以d=a10?a110?1=1，an=a1+(n?1)d=n．
因?yàn)門n+1=2Tn+2，①
所以Tn=2Tn?1+2(n≥2)，②
①?②得：bn+1bn=2，
當(dāng)n=1時，b1+b2=2b1+2，b2=4,b2b1=2，
所以{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以bn=b1qn?1=2n；
(2)由題意，M3n=(c1+c4+...+c3n?2)+(c2+c5+...+c3n?1)+(c3+c6+...+c3n)
=n+2n+(3+6+…+3n)=3n2+9n2．
因?yàn)镸3n≥λan?1，所以3n2+9nn?1≥2λ，
所以3(n?1)2+15(n?1)+12n?1=3(n?1)+12n?1+15≥27
當(dāng)且僅當(dāng)n=3時，等號成立，所以272≥λ，即λ的最大值為272．
(3)記{bn?cn}的前3n項(xiàng)和為Dn，
Dn=b1c1+b2c2+b3c3+…+b3nc3n
=(b1c1+b4c4+…+b3n?2c3n?2)+(b2c2+b5c5+…+b3n?1c3n?1)+(b3c3+b6c6+...+b3nc3n)，
因?yàn)閎1c1+b4c4+…+b3n?2c3n?2=21+24+…+23n?2=23n+1?27，
b2c2+b5c5+…+b3n?1c3n?1=2×(22+25+…+23n?1)=23n+3?87，
記A=b3c3+b6c6+…+b3nc3n=3×23+6×26+…+3n×23n，③
23A=3×26+…+(3n?3)×23n+3n×23n+3，④
③?④得：?7A=3×23+3×26+…+3×23n?3n×23n+3
=3×23[1?(23)n]1?23?3n×23n+3，所以A=(21n?3)×23n+3+2449，
所以Dn=23n+1?27+23n+3?87+(21n?3)×23n+3+2449
=(84n+23)×23n+1?4649．

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