一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，則下列表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，所以，
故A，C，D錯(cuò)誤，B正確.
故選：B.
2. 已知扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)扇形的半徑為，則由弧長(zhǎng)公式可得，解得，
所以扇形的面積.
故選：D.
3. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 角度有正角和負(fù)角之分，所以角度是向量
B. 若，則線段與線段在同一直線上
C. 若，則
D. 若，則不一定平行
【答案】D
【解析】對(duì)于A，角度雖有大小卻無(wú)方向，故不是向量，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，對(duì)于平行四邊形，與不在同一直線上，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，向量的長(zhǎng)度可以比較大小，但向量不能比較大小，故C錯(cuò)；
對(duì)于D，若為零向量，則可任取，不一定平行，故D正確.
故選：D.
4. 已知，則等于（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】C
【解析】，故選項(xiàng)C正確.
故選：C.
5. 已知四邊形滿足條件，且，其形狀是（ ）
A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】B
【解析】由，可知且，則四邊形為平行四邊形，
又由，可知四邊形為矩形.
故選：B.
6. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題得由sin12x+π3>0，得，
解得，
即函數(shù)定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，故求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，
令，則，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為.
故選：D.
7. 已知向量，則的最小值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
可得：，
所以，
當(dāng)取得最小值.
故選：C.
8. 點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A. 100B. 120C. 180D. 240
【答案】B
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
則
，
當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為120.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 是第四象限角B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，所以?br>又，所以點(diǎn)在第四象限，
所以是第四象限角，故A正確；
因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>解得（正值舍去），故C正確；
由C的分析知，，故D正確.
故選：ACD.
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】設(shè)，由題意得，且點(diǎn)在直線上，故可得以下兩種情況：
①，此時(shí)有，可得，
解得.
②，此時(shí)有，可得，
解得.
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
故選：AB.
11. 如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為正六邊形上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. 的最小值為D. 的最大值為12
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，，由題圖可得與為相反向量，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由題圖易得平分，
且正三角形，設(shè)交于，根據(jù)平行四邊形法則有與共線且同方向，易知，則，
而，故，故，故B正確；
對(duì)于C，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可知，的最小值為，故C正確；
對(duì)于D，取的中點(diǎn)為，連接，則，
則
，故D錯(cuò)誤.
故選：AD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，且，則__________.
【答案】
【解析】，由，可得，所以，
所以.
13. 已知為等腰三角形，且，則__________.
【答案】
【解析】在中，令內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，
由及正弦定理，得，
若為底邊，則，，不能構(gòu)成三角形，
所以為底邊，故，
由余弦定理得.
14. 定義是中的較小者.已知函數(shù)，若，且方程有3個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由題意，函數(shù)和在同一坐標(biāo)系中的大致圖象如圖：
函數(shù)的定義域?yàn)?
因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的解，所以方程有1個(gè)解且為1，
方程有2個(gè)小于1的正數(shù)解.
所以m2-1>0，001?(2-λ)≠-λ?3，解得且，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求的解析式；
（2）判斷的單調(diào)性（無(wú)需證明），并解關(guān)于的不等式.
解：（1）設(shè)，則.
是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
.
所以.
（2），
時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，
易知在為減函數(shù)，
由函數(shù)為奇函數(shù)，可知在上單調(diào)遞減；
是奇函數(shù)，，
即.
的定義域是是減函數(shù)，，
即，解得：，
即不等式的解集是.
18. 數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來(lái)，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系”這就是算兩次原理，又稱(chēng)為富比尼原理.例如：如圖甲，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則，，兩式相加得，.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，于是.請(qǐng)用“算兩次”的方法解決下列問(wèn)題：
（1）如圖乙，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，證明：.
（2）如圖丙，在四邊形中，E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且，，，，與的夾角為，求向量與向量夾角的余弦值.
解：（1）證明：在四邊形ABFE中，，①
在四邊形CDEF中，，②
由①②，得，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，
所以，，
于是.
（2）在四邊形ABFE中，①，
在四邊形CDEF中，②，
由，，
得，.
由，得，
所以，
所以，
，
所以.
19. 我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，我們可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).
（1）若函數(shù)滿足為偶函數(shù)，求的值.
（2）若函數(shù)，判斷函數(shù)的圖象是否是軸對(duì)稱(chēng)圖形？如果是，求出其對(duì)稱(chēng)軸；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（3）在（2）的條件下關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）因?yàn)椋?br>所以圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，
所以為偶函數(shù)，所以.
（2）函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形.
理由如下：若函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則滿足為偶函數(shù)，
即，
所以，
所以，解得，
所以函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)軸為直線.
（3）若恒成立，則恒成立.
由（2）可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值是4.
所以，即，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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