一、選擇題
1．下列說法正確的是( )
A.零向量沒有方向
B.空間向量不可以平行移動
C.如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長度不相等
D.同向且等長的有向線段表示同一向量
2．設(shè)復(fù)數(shù),則( )
A.B.C.1D.
3．已知,,,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.
4．兩平面,的法向量分別為,,若,則的值是( )
A.-3B.6C.-6D.-12
5．學(xué)校開展學(xué)生對食堂滿意度的調(diào)查活動,已知該校高一年級有學(xué)生550人,高二年級有學(xué)生500人,高三年級有學(xué)生450人.現(xiàn)從全校學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取60人調(diào)查,則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為( )
A.18B.20C.22D.24
6．如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是( )
A.B.C.D.
7．已知空間中兩條不同的直線m,n,其方向向量分別為,,則“,”是“直線m,n相交”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
8．已知二面角中,平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,則二面角的平面角滿足( )
A.余弦值為B.正弦值為
C.大小為D.大小為
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題是真命題的有( )
A.A,B,M,N是空間四點(diǎn),若,,不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么A,B,M,N共面
B.直線l的方向向量為,直線m的方向向量為,則l與m垂直
C.直線l的方向向量為,平面的法向量為,則
D.平面經(jīng)過三點(diǎn),,,,是平面的法向量,則
10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,,,,則( )
A.
B.
C.異面直線OB與AC所成角的余弦值為
D.點(diǎn)O到直線BC的距離是
11．如圖,正方體的棱長為2,E為的中點(diǎn),P為棱BC上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)）,則下列結(jié)論正確的是( )
A.存在點(diǎn)P,使
B.存在點(diǎn)P,使
C.四面體的體積為定值
D.二面角的余弦值的取值范圍是
三、填空題
12．已知向量,,分別是直線,的方向向量,若,則____________.
13．已知,,那么向量____________.
14．若,,為空間兩兩夾角都是的三個(gè)單位向量,則___________.
四、解答題
15．已知向量,.
(1)求,,.
(2)求向量與夾角的余弦值.
16．已知正方體棱長為2,若F為的中點(diǎn),則.
(1)求直線與直線的夾角的余弦值
(2)求證：平面平面
17．已知a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且.
(1)求B.
(2)若,的面積為,求的周長.
18．在四棱錐中,底面ABCD,且,四邊形ABCD是直角梯形,且,,,,M為PC中點(diǎn),E在線段BC上,且.
（1）求證:平面PAB;
（2）求直線PB與平面PDE所成角的正弦值;
（3）求點(diǎn)E到PD的距離.
19．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面.
(1)證明：平面；
(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)D，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)D的位置；若不存在，說明理由.
參考答案
1．答案：D
解析：對于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；
對于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；
對于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.
故選：D.
2．答案：D
解析：因?yàn)閺?fù)數(shù),
所以.
故選：D.
3．答案：C
解析：設(shè),即,則,此方程組無解,故,不平行,故A錯(cuò)誤;
設(shè),即,則,此方程組無解,故,不平行,故B錯(cuò)誤;
,則,故C正確;
,則,不垂直,故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4．答案：B
解析：因?yàn)閮善矫?的法向量分別為,,且,
所以,所以,
故選：B.
5．答案：B
解析：根據(jù)分層抽樣的方法,應(yīng)抽取高二年級學(xué)生人數(shù)為人.
故選：B.
6．答案：A
解析：，
，
，
，
故選；A.
7．答案：B
解析:由,可知,與不共線,所以兩條不同的直線m,n不平行,可能相交,也可能異面,所以“,”不是“直線m,n相交”的充分條件;
由兩條不同的直線m,n相交可知,與不共線,所以,,所以“,”是“直線m,n相交”的必要條件,
綜上所述:“,”是“直線m,n相交”的必要不充分條件.
故選:B.
8．答案：B
解析：設(shè)所求二面角的平面角的大小為,
則,
所以或,故CD錯(cuò)誤,
又因?yàn)?故A錯(cuò)誤,B正確.
故選：B.
9．答案：ABD
解析：對于A,若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則,,共面,可得A,B,M,N共面,A正確;
對于B,,故,可得l與m垂直,B正確;
對于C,,故,可得l在內(nèi)或,C錯(cuò)誤;
對于D,,易知,故,故,D正確.
故選：ABD.
10．答案：AC
解析：對于A,,,,
依題意,,,,故A正確;
對于B,,,故B錯(cuò)誤;
對于C,,,因?yàn)?
則異面直線OB與AC所成角的余弦值為,故C正確;
對于D,因?yàn)?,在上的投影為,
所以點(diǎn)O到直線BC的距離是,故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．答案：AB
解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,,,,,則,,,
當(dāng)時(shí),即P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),,故A正確.
由知,解得,此時(shí)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合,
故B正確.
為定值,故C錯(cuò)誤.
又,,設(shè)平面的法向量,
由,令則,, ,
又平面的法向量,
,
又,,故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
12．答案：18
解析：,
,
所以存在實(shí)數(shù),使得,
則,解得,,.
.
故答案為：18.
13．答案：
解析：因?yàn)?,所以,
故答案為：.
14．答案：
解析：,,為空間兩兩夾角都是的三個(gè)單位向量,
,
.
故答案為：.
15．答案：(1),,
(2)
解析：(1) ,,
,,.
(2)設(shè)與的夾角為,則,
,,,,
,
向量與夾角的余弦值為.
16．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)在正方體中,,
所以直線與直線的夾角,即直線與直線的夾角,即為,
在中,,,
,則,
所以直線與直線的夾角的余弦值為.
(2)如圖,在正方體中,取的中點(diǎn)O,連接,,,,
易得,,
所以,,
又平面,平面,且平面平面,
所以即為平面與平面所成角,
因?yàn)?O是的中點(diǎn),則,
在中,,
同理,在中,,
又平面,所以在中,,
則,所以,
所以平面平面.
17．答案：(1)
(2)6
解析：(1)因?yàn)?,（R為外接圓的半徑）,
又因?yàn)?
所以,即,
所以,
由余弦定理得,
因?yàn)?所以.
(2)因?yàn)?
所以,
因?yàn)?
所以,
所以,
所以的周長為6.
18．答案：（1）證明見解析
（2）
（3）
解析：（1）如圖,取BC中點(diǎn)F,連接MF,DF
因?yàn)镕為BC中點(diǎn),,,,所以,
所以四邊形ABFD為平行四邊形,所以,
又平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因?yàn)镕為BC中點(diǎn),M為PC中點(diǎn),則,
又平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因?yàn)?MF,平面MDF,所以平面平面PAB,
又平面MDF,故平面PAB.
（2）根據(jù)題意,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
由條件可得,,,,,,
則,,,
設(shè)平面PDE的法向量為,
則,解得,
取,則,,所以平面PDE的一個(gè)法向量為,
設(shè)直線PB與平面PDE所成角為,
則.
所以直線PB與平面PDE所成角的正弦值為.
（3）由（2）可知,,,
所以點(diǎn)E到PD的距離為.
19．答案：(1)證明見解析；
(2)存在；D是上靠近C的三等分點(diǎn)
解析：（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面?br>所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面.
（2）假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)D，使得二面角的余弦值為，
以B為原點(diǎn)，分別以、為x軸，y軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
即取，，，
所以為平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)镈在線段上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
即，
取，，，
所以為平面的一個(gè)法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在點(diǎn)D，使得二面角的余弦值為，
此時(shí)D是上靠近C的三等分點(diǎn).

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