1.向量a=(2,4,?4),b=(?2,x,2)，若a⊥b，則x的值為( )
A. ?3B. 1C. ?1D. 3
2.過點(?1,3)且平行于直線x?2y+3=0的直線方程為( )
A. x?2y+7=0B. 2x+y?1=0C. x?2y?5=0D. 2x+y?5=0
3.若點(1,a)到直線x?y+1=0的距離是3 22，則實數a為( )
A. ?1B. 5C. ?1或5D. ?3或3
4.已知直線mx+4y?2=0與直線2x?5y+n=0互相垂直，垂足為(1,p)，則m+n?p等于( )
A. 24B. 20C. 4D. 0
5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則AE?AF的值為( )
A. a2B. 12a2C. 14a2D. 34a2
6.下列命題中正確的是( )
A. 點M(3,2,1)關于平面yz對稱的點的坐標是(?3,2,?1)
B. 若直線l的方向向量為a=(1,?1,2)，平面α的法向量為m=(6,4,?1)，則l⊥α
C. 若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為120°，則直線l與平面α所成的角為30°
D. 已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若OP=mOA?12OB+OC，則m=?12
7.若圓(x?1)2+y2=25的弦AB被點P(2,1)平分，則直線AB的方程為( )
A. 2x+y?3=0B. x+y?3=0C. x?y?1=0D. 2x?y?5=0
8.已知圓C1：(x?a)2+(y+3)2=1與圓C2：(x+b)2+(y+3)2=9外切，a，b為正實數，則4a+1b的最小值為( )
A. 2B. 94C. 4D. 92
9.若直線y=x+b與曲線y=3? 4x?x2有公共點，則b的取值范圍是( )
A. [1?2 2,1+2 2]B. [1? 2,3]
C. [?1,1+2 2]D. [1?2 2,3]
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。
10.若向量a=(1,1,x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，且滿足條件(c?a)?(2b)=?2，則x= ．
11.過兩條直線l1：x+2y?4=0，l2：2x?y?3=0的交點，且與直線x+3y+1=0垂直的直線的方程為______．
12.若圓心在x軸上、半徑為 2的圓O位于y軸左側，且與直線x+y=0相切，則圓O的方程是______．
13.已知直線l：mx?y?3m+1=0恒過點P，過點P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為______．
14.若圓C：x2+y2+2x?4y+3=0關于直線2ax+by+6=0對稱，則由點(a,b)向圓所作的切線長的最小值是 ．
15.若圓x2+y2?4x?4y?10=0上至少有三個不同點到直線l：ax+by=0的距離為2 2，則直線l的斜率的取值范圍為______．
三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題12分)
在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=C,2b= 3a．
(I)求csA的值；
(II)cs(2A+π4)的值．
17.(本小題12分)
求分別滿足下列條件的直線l的方程．
(1)斜率是34，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是6;
(2)經過兩點A(1,0)，B(m,1);
(3)經過點(4,?3)，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等．
18.(本小題12分)
已知圓C1的圓心為坐標原點，且與直線3x+4y?10=0相切．
(1)求圓C1的標準方程；
(2)若直線l過點M(1,2)，直線l被圓C1所截得的弦長為2 3，求直線l的方程．
19.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，AB⊥AC，且PA=AB=3，AC=2，E是棱PD的中點．
(Ⅰ)求證：PB//平面AEC；
(Ⅱ)求直線PC與平面AEC所成角的正弦值；
(Ⅲ)在線段PB上(不含端點)是否存在一點M，使得二面角M?AC?E的余弦值為 1010？若存在，確定M的位置；若不存在，說明理由．
20.(本小題12分)
已知圓C過點P(1,1)且與圓M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關于直線x+y+2=0對稱，作斜率為1的直線l與圓C交于A，B兩點，且點P(1,1)在直線l的左上方．
(1)求圓C的方程．
(2)證明：△PAB的內切圓的圓心在定直線x=1上．
(3)若∠APB=60°，求△PAB的面積．
參考答案
1.D
2.A
3.C
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B
9.D
10.2
11.3x?y?5=0
12.(x+2)2+y2=2
13.4 5
14.4
15.[2? 3,2+ 3]
16.解：(I)由B=C，2b= 3a，可得c=b= 32a，
所以csA=b2+c2?a22bc=34a2+34a2?a22× 3a2× 3a2=13，
(II)因為csA=13,A∈(0,π)，
所以sinA= 1?cs2A=2 23，
故sin2A=2sinAcsA=4 29，cs2A=2cs2A?1=?79，
所以cs(2A+π4)=cs2Acsπ4?sin2Asinπ4
=?79× 22?4 29× 22=?8+7 218．
17.解：(1)設直線l的方程為y=34x+b，
令y=0，得x=?43b，
∴12|b·(?43b)|=6，b=±3．
∴直線l的方程為y=34x±3．
(2)當m≠1時，直線l的方程是y?01?0=x?1m?1，即y=1m?1 (x?1)，
當m=1時，直線l的方程是x=1；
(3)設l在x軸、y軸上的截距分別為a、b．
當a≠0，b≠0時，l的方程為xa+yb=1；
∵直線過P(4,?3)，
∴4a?3b=1，
又∵|a|=|b|，
∴4a?3b=1a=±b，解得a=1b=1或a=7b=?7．
當a=b=0時，直線過原點且過(4,?3)，
∴l(xiāng)的方程為y=?34x.
綜上所述，直線l的方程為x+y=1或x7+y?7=1或y=?34x.

18.解：(1)∵原點O到直線3x+4y?10=0的距離為|?10| 32+42=2，
∴圓C1的標準方程為x2+y2=4；
(2)當直線l的斜率不存在時，直線方程為x=1，代入x2+y2=4，
得y=± 3，即直線l被圓C1所截得的弦長為2 3，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線方程為y?2=k(x?1)，即kx?y?k+2=0．
∵直線l被圓C1所截得的弦長為2 3，圓的半徑為2，
則圓心到直線l的距離d= 22?( 3)2=1=|?k+2| k2+1，解得k=34．
∴直線l的方程為34x?y?34+2=0，即3x?4y+5=0．
綜上，直線l的方程為x=1或3x?4y+5=0．
19.解：(Ⅰ)證明：連接BD交AC于點O，并連接EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴O為BD的中點，
又∵E為PD的中點，
∴在ΔPDB中，EO為中位線，EO/?/PB，
∵PB?面AEC，EO?面AEC，∴PB/?/面AEC．
(Ⅱ)證明：∵在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，
底面ABCD為平行四邊形，AB⊥AC，且PA=AB=3，AC=2，E是棱PD的中點，
∴以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
P(0,0,3)，C(2,0,0)，A(0,0,0)，D(2,?3,0)，E(1,?32,32)，
則AE=(1,?32,32)，AC=(2,0,0)，PC=(2,0,?3)，
設平面AEC的法向量m=(x,y,z)，
則AE?m=x?32y+32z=0AC?m=2x=0，取y=1，得m=(0,1,1)，
設直線PC與平面AEC所成角為θ，
則直線PC與平面AEC所成角的正弦值為：sinθ=|PC?m||PC|?|m|=3 13? 2=3 2626．
(Ⅲ)假設在線段PB上(不含端點)存在一點M，使得二面角M?AC?E的余弦值為 1010，
設M(a,b,c)，B(0,3,0)，
PM=λPB，則(a,b,c?3)=λ(0,3,?3)，
解得a=0，b=3λ，c=3?3λ，M(0,3λ,3?3λ)，
AC=(2,0,0)，AM=(0,3λ,3?3λ)，
設平面ACM的法向量n=(p,q,t)，
則n?AC=2p=0n?AM=3λq+(3?3λ)t=0，取q=1，得n=(0,1,λλ?1)，
∵二面角M?AC?E的余弦值為 1010，
∴|cs|=|m?n||m|?|n|= 1010，
解得λ=13或λ=23．
∴在線段PB上(不含端點)存在一點M，使得二面角M?AC?E的余弦值為 1010，
且PM=13PB或PM=23PB．
20.解：(1)設圓心C(a,b)，由題意得到圓M坐標為(?2,?2)，
又圓C與圓M關于直線x+y+2=0對稱，
∴a?22+b?22+2=0①，…(2分)
又直線x+y+2=0的斜率為?1，
∴直線CM的斜率為1，即b+2a+2=1②，
聯(lián)立①②解得：a=b=0，
∴圓心C坐標為(0,0)，又P(1,1)在圓C上，
半徑r2=(0?1)2+(0?1)2=2，
∴圓C的方程為x2+y2=2…(4分)
(2)設直線AB的方程為：y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x2+y2=2y=x+m，消去y得：2x2+2mx+m2?2=0，
∴x1+x2=?m，x1x2=m2?22，
∴kPA+kPB=y1?1x1?1+y2?1x2?1=x1?1+mx1?1+x2?1+mx2?1
=2+mx1?1+mx2?1=2+m(x1+x2?2)x1x2?(x1+x2)+1
=2+m(?m?2)m2?22+m+1=2?2(m2+2m)m2+2m=0，
即kPA+kPB=0，
∴∠APB的平分線為垂直于x軸的直線，又P(1,1)，
則△PAB的內切圓的圓心在直線x=1上；…(10分)
(3)若∠APB=60°，結合(2)可知：kPA= 3，kPB=? 3，…(11分)
直線PA的方程為： 3x?y+1? 3=0，
圓心O到直線PA的距離d= 3?12，
∴PA=2 2?d2=2 2?( 3?12)2= 3+1，…(13分)
同理可得：PB= 3?1，…(15分)
∴S△PAB=12PA?PB?sin60°= 32.…(16分)

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