1.經(jīng)過A(0, 3)、B(?1,0)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知AB=(13,13,?13)，CD=(0,?1,0)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為( )
A. 39B. 33C. 63D. 66
3.如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬16m時(shí)，拱頂距離水面4m，當(dāng)水面上升1m后，橋洞內(nèi)水面寬為( )
A. 4mB. 4 3mC. 8 3mD. 12m
4.設(shè)橢圓C1的離心率為513，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. x242?y232=1B. x2132?y252=1C. x232?y242=1D. x2132?y2122=1
5.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)(異于M、N)，△AF1B的周長(zhǎng)為4 3，且直線AM與AN的斜率之積為?23，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. y23+x24=1B. x23+y24=1C. x23+y2=1D. x23+y22=1
6.直線l：ax+y?1=0被圓C：x2+y2+6x?4y?3=0截得的最短弦長(zhǎng)為( )
A. 6B. 2 5C. 4 2D. 2 6
7.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為 3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，△OPF的面積為 2，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A. 4 2B. 4C. 2 2D. 2
8.已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為點(diǎn)坐
標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于8 3，則雙曲線的離心率為( )
A. 3B. 13C. 2 2D. 4
9.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與y軸相交于M點(diǎn)，與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，若F1M=2MP,F1P?F2P=0，則雙曲線C的離心率為( )
A. 2B. 3C. 3 32D. 3+1
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。
10.已知拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，則p= ______．
11.已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的一條漸近線為 3x+2y=0，則b=______；離心率e=______．
12.經(jīng)過兩圓x2+y2+6x?4=0和x2+y2+6y?28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x?y?4=0上的圓的方程______．
13.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P在橢圓上，且PF⊥AF，若tan∠PAF=12，則橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e為______．
14.已知橢圓x22+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=mx+12對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．
15.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過原點(diǎn)O且斜率為正數(shù)的直線MN分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)N，M，記四邊形F1NF2M的周長(zhǎng)為T，面積為S.若|F1F2|=2|OM|，且T=4 2S，則雙曲線C的離心率為______．
三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題14分)
已知直線2x?y?3=0與直線x?3y+1=0交于點(diǎn)P．
(1)求過點(diǎn)P且垂直于直線x+y+2=0的直線l1的方程；
(2)求過點(diǎn)P并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l2的方程．
17.(本小題15分)
已知圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，(0,3)，(2,1)．
(1)求圓C的方程；
(2)若直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．
18.(本小題15分)
已知拋物線C：y2=4x，過點(diǎn)(?1,0)的直線與拋物線C相切，設(shè)第一象限的切點(diǎn)為P．
(I)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(Ⅱ)若過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C相交于兩點(diǎn)A，B，圓M是以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求直線l的方程．
19.(本小題15分)
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．
(Ⅰ)求證：A1F//平面BDE；
(Ⅱ)求平面ACC1A1與平面BDE夾角的余弦值；
(Ⅲ)求點(diǎn)A1到平面BDE的距離．
20.(本小題16分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為?14．
(1)求橢圓C的離心率；
(2)點(diǎn)M( 3,12)在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，過點(diǎn)D的直線L與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，與直線AB交于點(diǎn)Q，設(shè)L的斜率為k，若|AQ||PQ|=3 2sin∠ADQ，求k的值．
參考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.D
6.D
7.C
8.B
9.D
10.2
11. 3 72
12.x2+y2?x+7y?32=0
13.12
14.(?∞,? 63)∪( 63,+∞)
15. 62
16.解：(1)由 2x?y?3=0x?3y+1=0，
得 x=2y=1，∴交點(diǎn)P(2,1)，
由題直線 l1的斜率k=1，
則直線l1的方程為y?1=x?2，即x?y?1=0．
(2)當(dāng)直線 l2過原點(diǎn)時(shí)，
直線l2斜率為12，此時(shí)直線方程為：y=12x，即x?2y=0，
當(dāng)直線 l2不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l2：xa+ya=1，
代入點(diǎn) P(2,1)得2a+1a=1，解得a=3，
此時(shí)直線l2方程：x+y?3=0，
綜上，直線 l2的方程為：x?2y=0或x+y?3=0．
17.解：(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
根據(jù)題中條件知，
1+E+F=09+3E+F=05+2D+E+F=0，解得D=?2E=?4F=3，
所以圓C的方程為x2+y2?2x?4y+3=0，即(x?1)2+(y?2)2=2，
所以圓C的方程為x2+y2?2x?4y+3=0，
即(x?1)2+(y?2)2=2；
(2)因?yàn)橹本€l經(jīng)過原點(diǎn)，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx，即kx?y=0，
則圓心C(1,2)到直線l的距離d=|k?2| k2+1，
又被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，圓C的半徑為 2，
則12+d2=2，故d=1，
即d=|k?2| k2+1=1，
解得k=34，則方程為3x?4y=0，
又當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x=0，
圓心C(1,2)到直線l的距離為1，符合題意，
故所求直線l的方程為3x?4y=0或者x=0．
18.解：(Ⅰ)由題意知可設(shè)過點(diǎn)(?1,0)的直線方程為x=ty?1，
聯(lián)立y2=4xx=ty?1，得：y2?4ty+4=0.①
∵直線與拋物線相切，∴△=16t2?16=0，即t=±1．
∵P為第一象限的切點(diǎn)，∴t=1，
則①化為y2?4y+4=0，解得y=2，此時(shí)x=1，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)；
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為：x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
聯(lián)立y2=4xx=my+2，得y2?4my?8=0，
則△=16m2+32>0恒成立，
y1y2=?8，y1+y2=4m，
則x1x2=(y1y2)216=4，x1+x2=t(y1+y2)+4=4m2+4．
由題意可得：PA?PB=0，
即x1x2?(x1+x2)+1+y1y2?2(y1+y2)+4=0，
∴4m2+8m+3=0，解得：m=?12或m=?32．
則直線l的方程為y=?2x+4或y=?23x+43．
19.(Ⅰ)證明：取BE的中點(diǎn)G，連接FG，DG，則FG//CC1//AA1，
因?yàn)镕為B1C1的中點(diǎn)，
所以FG=C1E+BB12=1+32=2，
所以FG//A1D且FG=A1D，
所以四邊形A1DGF為平行四邊形，
所以A1F//DG，
又A1F?平面BDE，DG?平面BDE，
A1F/?/平面BDE．

(Ⅱ) 解：直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，
以C為原點(diǎn)，以CA,CB,CC1的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(2,0,1)，
所以BE=(0,?2,2),BD=(2,?2,1)，
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，
則n?BE=0n?BD=0，即?2y+2z=0,2x?2y+z=0,令y=1，得n=(12,1,1)，
易知平面ACC1A1的一個(gè)法向量為CB=(0,1,0)．
設(shè)平面ACC1A1與平面BDE的夾角為θ，
則csθ=|cs|=|CB?n||CB||n|=1 94?1=23，
所以平面ACC1A1與平面BDE夾角的余弦值為23．
(Ⅲ) 解：因?yàn)锳1(2,0,3)，A1D=(0,0,?2)，
所以點(diǎn)A1到平面BDE的距離d=|A1D?n||n|=|?2|32=43．
20.解：(1)設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為B(0,b)，
左頂點(diǎn)為D(?a,0)，右頂點(diǎn)為E(?a,0)，
因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為?14，
所以ba?b?a=?14，即4b2=a2，又a2=b2+c2，
所以4(a2?c2)=a2，解得e= 32；
(2)因?yàn)辄c(diǎn)M( 3,12)在橢圓C上，
所以3a2+14b2=1，又4b2=a2，
解得b2=1，a2=4，
所以橢圓方程為x24+y21=1，D(?2,0)，
則|AQ||PQ|= 2yQyPsin∠PDA?yQsin∠PDA= 2yQsin∠PDAyP?yQ，
因?yàn)閨AQ||PQ|=3 2sin∠ADQ，
所以3 2sin∠ADQ= 2yQsin∠PDAyP?yQ，
又∠ADQ=∠PDA，
所以3 2(yP?yQ)= 2yQ，則yQ=34yP，
設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則y2=34y1，
當(dāng)k=0時(shí)，則sin∠ADQ=0，不合題意；
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線方程為y=k(x+2)，
與題意方程聯(lián)立，消去y得：(1+4k2)x2+16k2x+16k2?4=0
則?2x1=16k2?41+4k2，
所以x1=2?8k21+4k2,y1=4k1+4k2，則P(2?8k21+4k2,4k1+4k2)，
因?yàn)閘AB：y=?x+1，由y=?x+1y=k(x+2)，得Q(1?2k1+k,3k1+k)，
因?yàn)閥Q=34yP，所以3k1+k=34×4k1+4k2，
化簡(jiǎn)得k2=k，因?yàn)閗≠0，則k=1．

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