一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù)z=2?i1+i(i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2.圓C1：x2+y2?2x=0與圓C2：x2+y2+2x?8y=0的位置關(guān)系為( )
A. 外切B. 內(nèi)切C. 相交D. 外離
3.函數(shù)y=ax+3?2(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線xm+yn=?1上，且m，n>0，則3m+n的最小值為( )
A. 13B. 16C. 11+6 2D. 28
4.若tanθ=?2，則sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=( )
A. ?65B. ?25C. 25D. 65
5.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S9等于( )
A. ?8B. ?6C. 10D. 0
6.學(xué)校有8個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)為( )
A. 45B. 84C. 21D. 42
7.已知正三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，棱錐的底面是邊長為2 3的正三角形，側(cè)棱長為2 5，則球O的表面積為( )
A. 10πB. 25πC. 100πD. 125π
8.已知函數(shù)f(x)=ax+1+lnx.若對(duì)任意x1，x2∈(0,2]，且x1≠x2，都有f(x2)?f(x1)x2?x1>?1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (?∞,274]B. (?∞,2]C. (?∞,272]D. (?∞,8]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，且a>b>0，則下列不等式中正確的是( )
A. 1abc2C. (12)alg(ab)
10.對(duì)于(2x?1x2)6的展開式，下列說法正確的是( )
A. 展開式共有6項(xiàng)B. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是?240
C. 展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1D. 展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64
11.已知函數(shù)f(x)=2sinxcsx+2cs2x?1，則下列說法正確的是( )
A. 函數(shù)f(x)的最小正周期為π
B. 函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[kπ?π8,kπ+3π8](k∈Z)
C. 點(diǎn)(π4,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
D. 將函數(shù)y= 2sin2x的圖象向左平移π8個(gè)單位長度，可得到函數(shù)f(x)的圖象
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知a=(x,1)，b=(1,2)，c=(?1,5)，若(a+2b)//c，則|a|= ．
13.已知函數(shù)f(x)=x2?4x，則f(x)在x=2處的切線方程是______．
14.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=bcsC+csinB．
(1)求角B的度數(shù)；
(2)若b=2，a+c=4，求△ABC的面積．
16.(本小題15分)
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足 Sn= Sn?1+1(n≥2,n∈N)，且a1=1．
(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(3)記bn=1an?an+1，Tn為{bn}前n項(xiàng)和，求Tn．
17.(本小題15分)
如圖，三棱錐P?ABC中，底面△ABC為直角三角形，AB=BC=2，D為AC的中點(diǎn)，PD=DB，PD⊥DB，PB⊥CD．
(1)求證：PD⊥平面BCD；
(2)求PA與平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
已經(jīng)函數(shù)f(x)=ax?2?lnx，a∈R．
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，對(duì)?x∈(0,+∞)，f(x)≥bx?3恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
19.(本小題17分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,?1)，期左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2的一條直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，△MF1N的周長為4 2
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)且斜率為k的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q(均異于點(diǎn)A)，證明直線AP與AQ斜率之和為定值．
參考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.A
9.ACD
10.CD
11.AD
12. 10
13.5x?y?8=0
14.(0,+∞)
15.解：(1)因?yàn)閍=bcsC+csinB，
所以sinA=sinBcsC+sinCsinB，
所以sin(B+C)=sinBcsC+sinCsinB，
所以sinBcsC+sinCcsB=sinBcsC+sinCsinB，
所以sinCcsB=sinCsinB，
因?yàn)閟inC>0，
所以csB=sinB，即tanB=1，
所以B=45°；
(2)因?yàn)閎=2，a+c=4，
由余弦定理得，b2=a2+c2? 2ac=(a+c)2?2ac? 2ac=16?(2+ 2)ac，
所以ac=122+ 2=6(2? 2)，
所以△ABC的面積S=12acsinB=12×6(2? 2)× 22=3 2?3．
16.解：(1)由已知 Sn? Sn?1=1(n≥2,n∈N)，
且 S2? S1=1， S1= a1=1，
∴數(shù)列{ Sn}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴ Sn=n，即Sn=n2，
(2)由(1)知當(dāng)n≥2時(shí)，
an=Sn?Sn?1=n2?(n?1)2=2n?1，
又a1=1也滿足上式，
∴an=2n?1；
(3)由(2)知，bn=1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1?12n+1)，
∴Tn=12(1?13+13?15+?+12n?1?12n+1)=12(1?12n+1)=n2n+1．
17.(1)證明：∵AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥CD，
∵PB⊥CD，BD∩PB=D，BD、PB?平面PBD，
∴CD⊥平面PBD，
∵PD?平面PBD，∴CD⊥PD，
又PD⊥DB，CD∩DB=D，CD、DB?平面BCD，
∴PD⊥平面BCD．
(2)解：由(1)知，PD⊥平面BCD，BD⊥AC，
故以D為原點(diǎn)，DA，DB，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A( 2,0,0)，B(0, 2,0)，C(? 2,0,0)，P(0,0, 2)，
∴PA=( 2,0,? 2)，PB=(0, 2,? 2)，PC=(? 2,0,? 2)，
設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則n?PB=0n?PC=0，即 2y? 2z=0? 2x? 2z=0，
令z=1，則x=?1，y=1，∴n=(?1,1,1)，
設(shè)PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ=|cs|=|PA?n|PA|?|n||=|? 2? 22× 3|= 63，
故PA與平面PBC所成角的正弦值為 63．
18.解：(Ⅰ)在區(qū)間(0,+∞)上，f′(x)=a?1x=ax?1x．
①若a≤0，則f′(x)0，令f′(x)=0得x=1a．
在區(qū)間(0,1a)上，f′(x)0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；
綜上所述，①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是(0,+∞)，無遞增區(qū)間；
②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是(1a,+∞)，遞減區(qū)間是(0,1a)．
(II)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值，所以f′(1)=0
解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．
由已知f(x)≥bx?3，則x+1?lnxx≥b
令g(x)=x+1?lnxx=1+1x?lnxx，則g′(x)=?1x2?1?lnxx2=lnx?2x2，
易得g(x)在(0,e2]上遞減，在[e2,+∞)上遞增，
所以g(x)min=g(e2)=1?1e2，即b≤1?1e2．
19.解：(Ⅰ)由已知可知△MF1N 的周長為4a，∴4a=4 2，得a= 2，
又橢圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,?1)，得b=1，
∴橢圓C的方程為x22+y2=1.…(4分)
證明：(Ⅱ)由題設(shè)可設(shè)直線PQ的方程為y?1=k(x?1)，k≠2，
化簡(jiǎn)，得y=kx?k+1，代入x22+y2=1，得(1+2k2)x2?4k(k?1)x+2k(k?2)=0，
由已知△>0，設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，x1x2≠0，
則x1+x2=4k(k?1)1+2k2，x1x2=2k(k?2)1+2k2，…(6分)
從而直線AP，AQ的斜率之和
kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1?k+2x1+kx2?k+2x2=2k?(k?2)(1x1+1x2) …(8分)
=2k?(k?2)x1+x2x1x2=2k?(k?2)4k(k?1)2k(k?2)=2k?2(k?1)=2，
故直線AP與AQ斜率之和為定值2.…(12分)

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