TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19085" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc19085 \h 1
\l "_Tc31006" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc31006 \h 3
\l "_Tc13922" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc13922 \h 4
\l "_Tc23007" 高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題） PAGEREF _Tc23007 \h 4
\l "_Tc31484" 高頻考點(diǎn)二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形） PAGEREF _Tc31484 \h 5
\l "_Tc23699" 高頻考點(diǎn)三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應(yīng)用） PAGEREF _Tc23699 \h 6
\l "_Tc29175" 高頻考點(diǎn)四：判斷三角形的形狀 PAGEREF _Tc29175 \h 7
\l "_Tc10372" 高頻考點(diǎn)五：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（求三角形面積） PAGEREF _Tc10372 \h 8
\l "_Tc28962" 高頻考點(diǎn)六：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（三角形面積的最值（范圍）） PAGEREF _Tc28962 \h 9
\l "_Tc8491" 高頻考點(diǎn)七：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題（求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）） PAGEREF _Tc8491 \h 11
\l "_Tc18259" 高頻考點(diǎn)八：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題（三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的最值） PAGEREF _Tc18259 \h 12
\l "_Tc30274" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc30274 \h 14
\l "_Tc30897" 備注：銳角三角形周長(zhǎng)取值范圍問(wèn)題，注意考查角的取值范圍 PAGEREF _Tc30897 \h 14
\l "_Tc10587" 第五部分：新定義題 PAGEREF _Tc10587 \h 15
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有
1.2正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：
；
2.2余弦定理的推論
；
；
3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
4、常用結(jié)論
在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·乙卷文）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·甲卷文）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
4．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
5．（2023·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題）
典型例題
例題1．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，則下列對(duì)的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有兩解
B．當(dāng)時(shí)，有一解
C．當(dāng)時(shí)，無(wú)解
D．當(dāng)時(shí)，有兩解
例題3．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列各組條件中，能使恰有一個(gè)解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個(gè)，則a的取值可能為（ ）
A．7B．14C．15D．16
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若滿足的三角形有一解，則的取值范圍為 .
高頻考點(diǎn)二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在中，若，，，則 .
例題3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在中，已知，，，則的值為 .
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，若，則角B的值為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，點(diǎn)在線段上，且，則 ．
3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其中，，，解這個(gè)三角形.
高頻考點(diǎn)三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應(yīng)用）
典型例題
例題1．（2024·湖南·二模）在中，角所對(duì)邊分別為，且，若，，則的值為（ ）
A．1B．2C．4D．2或4
例題2．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，，則邊 ．
例題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，則的最小值是 .
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的最小值為 .
3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在三角形中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，其中，
(1)若，則等于多少.
(2)求.
高頻考點(diǎn)四：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形B．為直角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無(wú)法確定
例題2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
例題3．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習(xí)）在中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
2．（23-24高一下·山東聊城·階段練習(xí)）在中，，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
高頻考點(diǎn)五：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（求三角形面積）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，的面積，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2024·遼寧撫順·一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點(diǎn)為的重心，且，求的面積．
例題3．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求角的大??；
(2)若，求的面積.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，且的面積為，則 ．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知向量，函數(shù)．
(1)在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，若，求A；
(2)在（1）條件下，，求的面積．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角、、的對(duì)邊分別是．
(1)求角的大??；
(2)若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．
高頻考點(diǎn)六：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（三角形面積的最值（范圍））
典型例題
例題1．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角中，、、分別是角、、所對(duì)的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（21-22高一下·全國(guó)·期末）在①；②向量，，；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上.并加以解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且_________.
(1)求角的大小；
(2)設(shè)是上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
例題3．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所對(duì)的邊分別是，且．
(1)求的大小；
(2)若，求面積的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·遼寧本溪·開(kāi)學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題（其中S為的面積）.
問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B的大??；
(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.
2．（2024·山西·一模）中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范圍.
3．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．
高頻考點(diǎn)七：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題（求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)））
典型例題
例題1．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．若的面積，且，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．15C．D．
例題2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直線為的平分線，且與交于點(diǎn)，若，求的周長(zhǎng).
例題3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，求的周長(zhǎng).
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，，，的外接圓半徑為，，且．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長(zhǎng)．
例題2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為是的角平分線，若，則的最小值為
例題3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
例題4．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，．
(1)求角；
(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·廣東梅州·一模）已知是銳角三角形，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是 ．
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
4．（22-23高一下·江蘇·階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范圍．
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：銳角三角形周長(zhǎng)取值范圍問(wèn)題，注意考查角的取值范圍
1．（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．
2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習(xí)）在銳角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
3．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期中）在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角的大??；
(2)若，求面積的取值范圍．
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)） “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，
(1)若，
①求；
②若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
第04講 正弦定理和余弦定理
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19085" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc19085 \h 1
\l "_Tc31006" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc31006 \h 3
\l "_Tc13922" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc13922 \h 6
\l "_Tc23007" 高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題） PAGEREF _Tc23007 \h 6
\l "_Tc31484" 高頻考點(diǎn)二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形） PAGEREF _Tc31484 \h 9
\l "_Tc23699" 高頻考點(diǎn)三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應(yīng)用） PAGEREF _Tc23699 \h 11
\l "_Tc29175" 高頻考點(diǎn)四：判斷三角形的形狀 PAGEREF _Tc29175 \h 14
\l "_Tc10372" 高頻考點(diǎn)五：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（求三角形面積） PAGEREF _Tc10372 \h 16
\l "_Tc28962" 高頻考點(diǎn)六：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（三角形面積的最值（范圍）） PAGEREF _Tc28962 \h 21
\l "_Tc8491" 高頻考點(diǎn)七：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題（求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）） PAGEREF _Tc8491 \h 28
\l "_Tc18259" 高頻考點(diǎn)八：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題（三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的最值） PAGEREF _Tc18259 \h 34
\l "_Tc30274" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc30274 \h 41
\l "_Tc30897" 備注：銳角三角形周長(zhǎng)取值范圍問(wèn)題，注意考查角的取值范圍 PAGEREF _Tc30897 \h 41
\l "_Tc10587" 第五部分：新定義題 PAGEREF _Tc10587 \h 45
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有
1.2正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：
；
2.2余弦定理的推論
；
；
3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
4、常用結(jié)論
在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
2．（2023·全國(guó)·乙卷文）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.
【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據(jù)此可得，
則.
故選：C.
3．（2023·全國(guó)·甲卷文）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．
【詳解】（1）
因?yàn)?，所以，解得：?br>（2）
由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
4．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】
（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.
【詳解】（1）
，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）
由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
5．（2023·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．
【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都為銳角，因此，，
．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形（三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題）
典型例題
例題1．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【分析】由余弦定理可判定選項(xiàng)A，利用正弦定理和大邊對(duì)大角可判斷選項(xiàng)B，C，D.
【詳解】對(duì)于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，
任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內(nèi)角，只有一解，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)正弦定理得，，
又，，B有兩解，故B符合題意；
對(duì)于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合題意.
對(duì)于D，根據(jù)正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合題意.
故選：B
例題2．（多選）（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，則下列對(duì)的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有兩解
B．當(dāng)時(shí)，有一解
C．當(dāng)時(shí)，無(wú)解
D．當(dāng)時(shí)，有兩解
【答案】AC
【分析】由正弦定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，得到答案.
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得，即，所以，
又因?yàn)?，所以或，有兩解，故A正確；
對(duì)于B，由正弦定理得，無(wú)解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由正弦定理得，無(wú)解，故C正確；
對(duì)于D，由正弦定理得，
又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
例題3．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)利用正弦定理，結(jié)合三角形有1個(gè)解的條件即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，，，
由正弦定理得：，則，
三角形只有一個(gè)解，則或，
則或，即或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列各組條件中，能使恰有一個(gè)解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由已知條件，利用正弦定理角三角形，根據(jù)結(jié)果判斷解的個(gè)數(shù).
【詳解】由正弦定理，，得，
若，，無(wú)解，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，，得，恰有一個(gè)解，B選項(xiàng)正確；
若，，，有兩解，有兩個(gè)解，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，，，恰有一個(gè)解，D選項(xiàng)正確.
故選：BD
2．（多選）（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，，，（a為常數(shù)），若滿足條件的三角形有且僅有兩個(gè)，則a的取值可能為（ ）
A．7B．14C．15D．16
【答案】BC
【分析】
根據(jù)三角形有兩解的條件，判斷的范圍，即可得出正確選項(xiàng).
【詳解】由題意，當(dāng)滿足，即時(shí)，
滿足條件的三角形有且僅有兩個(gè)，
因?yàn)?，所以?br>而，
所以的取值可能為14，15.
故選：BC
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若滿足的三角形有一解，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用正弦定理，結(jié)合三角形邊角關(guān)系求解即得.
【詳解】在中，由正弦定理，得，而，
當(dāng)時(shí)，只有一解，，
當(dāng)，即時(shí)，，只有一解，
所以的取值范圍為.
故答案為：
高頻考點(diǎn)二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理計(jì)算即得.
【詳解】由正弦定理可得，所以.
故選：A.
例題2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在中，若，，，則 .
【答案】或
【分析】利用正弦定理即可得解，注意三角形大邊對(duì)大角的特征.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>由正弦定理，得.
因?yàn)?，則，
又，所以或.
故答案為：或.
例題3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在中，已知，，，則的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理列式計(jì)算即得.
【詳解】在中，，，，
由余弦定理得.
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（多選）（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，若，則角B的值為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】AD
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理，結(jié)合同角公式計(jì)算即得.
【詳解】在中，由余弦定理得，又，
因此，解得，而，
所以或.
故選：AD
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，點(diǎn)在線段上，且，則 ．
【答案】
【分析】由題意，根據(jù)正弦定理、余弦定理計(jì)算即可求解.
【詳解】在中，由余弦定理，得，
則，即，
在中，，
由正弦定理得，解得．
故答案為：
3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其中，，，解這個(gè)三角形.
【答案】，，
【分析】利用余弦定理與勾股定理的推論即可得解.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，即（負(fù)值舍去），
則，所以是直角三角形，且，
所以，
綜上，，，.
高頻考點(diǎn)三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理綜合應(yīng)用）
典型例題
例題1．（2024·湖南·二模）在中，角所對(duì)邊分別為，且，若，，則的值為（ ）
A．1B．2C．4D．2或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得B，結(jié)合余弦的和差公式構(gòu)造齊次式弦化切解方程計(jì)算即可.
【詳解】由余弦定理得，
即，
，
所以或，
又，所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由余弦定理先求，根據(jù)條件及余弦的和差角公式、弦化切構(gòu)造齊次式方程解方程即可.
例題2．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，，則邊 ．
【答案】
【分析】首先求出，再利用余弦定理計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以，又是三角形的?nèi)角，所以為銳角，
因?yàn)椋?br>所以．
由余弦定理得
所以（負(fù)值舍去）.
故答案為：．
例題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，則的最小值是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理邊角互化，然后利用余弦定理得到，最后由輔助角公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?br>所以，即，
所以由正弦定理得.
由可得，代入，可得.
由余弦定理可得.
由得，
，其中，
為定值，且，所以當(dāng)最大時(shí)，最小.
所以當(dāng)時(shí)，取最小值5，此時(shí)取得最小值，，
所以的最小值為.
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意利用正弦定理分析求解.
【詳解】由正弦定理可得.
故選：A.
2．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由正弦定理及條件可得，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】由正弦定理得，，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，所以的最小值為.
故答案為：.
3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）在三角形中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，其中，
(1)若，則等于多少.
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換即可得解；
（2）由正弦定理化角為邊，代入得，再由余弦定理即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以由正弦定理得.
（2）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，
又，所以，
所以.
高頻考點(diǎn)四：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形B．為直角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無(wú)法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【詳解】由于,
故為鈍角，進(jìn)而三角形為鈍角三角形
故選：C
例題2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【答案】B
【分析】將已知等式兩邊利用正弦定理化邊為角，運(yùn)用差角的正弦公式整理分析即得.
【詳解】因，由正弦定理，，即,
因,則，故, ,即，故是等腰三角形.
故選：B.
例題3．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理及三角恒等變換化簡(jiǎn)求出角即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，即，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，
因?yàn)?，所以，則，
所以，所以為直角三角形，
故選：B．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·寧夏銀川·階段練習(xí)）在中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理角化邊，然后整理化簡(jiǎn)即可得答案.
【詳解】因?yàn)?br>所以，
整理得，
即的形狀是等腰三角形.
故選：A.
2．（23-24高一下·山東聊城·階段練習(xí)）在中，，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】在中，，則，
由余弦定理得，整理得，則，
所以是直角三角形.
故選：B
3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理將化簡(jiǎn)為，從而可求解.
【詳解】由，得，
由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，
當(dāng)時(shí)，即，則為直角三角形；
當(dāng)時(shí)，得，則為等腰三角形；
綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.
故選：D.
高頻考點(diǎn)五：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（求三角形面積）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，的面積，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到方程，求出，得到答案.
【詳解】由余弦定理得，
又三角形面積公式得，
故，
又，故，即，
又，故.
故選：C
例題2．（2024·遼寧撫順·一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點(diǎn)為的重心，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解，
（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得，由面積公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>整理得，由余弦定理可得．
又因?yàn)?，所以?br>（2）設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，
又因?yàn)?，所以?br>在中，由和，可得．
在和中，有，
由余弦定理可得
故，
所以，
所以的面積為．
例題3．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解即可；
（2）分類討論，根據(jù)余弦定理求得，然后代入三角形面積公式求解即可.
【詳解】（1）由及正弦定理知：.
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，所以.
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則或.
（2）若，由余弦定理得，，
則，即，
即，因?yàn)椋瑒t，
所以的面積；
若，則，即，因?yàn)椋瑒t，
所以的面積.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，且的面積為，則 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)結(jié)合兩角和的正余弦公式求出，再利用正弦定理求出，再根據(jù)的面積求出邊，再在中，利用余弦定理即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
即，所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，
又，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，，所以，
因?yàn)?，，所以?br>所以，
所以，得，
在中，，
由余弦定理可得，
得．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍．
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知向量，函數(shù)．
(1)在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，若，求A；
(2)在（1）條件下，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式和三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，再由解三角方程即得；
（2）由余弦定理求得邊，利用三角形面積公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）由向量，函數(shù)，
得．
由，即，
因?yàn)椋裕?br>從而，解得．
（2）由余弦定理，得，
則，則．所以，
所以的面積．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角、、的對(duì)邊分別是．
(1)求角的大??；
(2)若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及誘導(dǎo)公式、恒等變換公式得到的正切值，進(jìn)而求解即可；
（2）解法一利用已知條件和向量的知識(shí)得到，進(jìn)而實(shí)數(shù)化得到和的一個(gè)關(guān)系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出和的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可；解法二直接由第一問(wèn)的結(jié)果結(jié)合余弦定理得出和的一個(gè)關(guān)系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出和的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理得，
因?yàn)?br>故，
即，
即．
而，故，
又因?yàn)樗裕?br>而，故．
（2）解法一：由知，
兩邊同時(shí)平方得，
即，化簡(jiǎn)得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面積為．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面積為．
高頻考點(diǎn)六：三角形面積相關(guān)問(wèn)題（三角形面積的最值（范圍））
典型例題
例題1．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角中，、、分別是角、、所對(duì)的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面積公式結(jié)合正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求范圍即可.
【詳解】且，,
根據(jù)正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，
，,
的面積
為銳角三角形，，，
，，
，
.
故選：C.
例題2．（21-22高一下·全國(guó)·期末）在①；②向量，，；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上.并加以解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且_________.
(1)求角的大??；
(2)設(shè)是上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）若選①，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；若選②，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及正弦定理將邊化角，即可得解；若選③，利用余（正）弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）在、中分別利用余弦定理表示出、，再由，可得，再在中利用余弦定理得到，再由基本不等式求出的最大值，最后由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）選①，，由正弦定理知，
∴，
∵，，∴，
∵，.
選②，因?yàn)?，且?br>所以，
由正弦定理知，，
∵，，∴，
∵，∴.
選③，∵，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴.
（2）由題意得，，，，
在中，，
在中，，
∵，∴，
化簡(jiǎn)得.
在中，，
∴，整理得，
∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
∴，
∴，
即面積的最大值為.
例題3．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所對(duì)的邊分別是，且．
(1)求的大?。?br>(2)若，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角得到，知值由范圍求角即可；
（2）由（1），已知，由一組對(duì)邊角已知可得，借助這一常數(shù)利用正弦定理化邊為角，再由三角恒等變換化簡(jiǎn)面積表達(dá)式求解最值.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得?br>整理可得，又，所以．
（2）因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>所以，
又，所以，
所以
又因?yàn)椋傻茫?br>所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
可得，
由，,
即面積的取值范圍是．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·遼寧本溪·開(kāi)學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題（其中S為的面積）.
問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B的大??；
(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）若選①：根據(jù)正弦定理，化簡(jiǎn)得到，再由余弦定理得到，即可求解；
若選②：由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)得到，得到，即可求解；
若選③：由正弦定理化簡(jiǎn)可得到，求得，即可求解.
（2）根據(jù)向量的運(yùn)算法則和基本不等式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：若選①：在中，因?yàn)椋?br>由，
可得，
由正弦定理得，即，
則，
又因?yàn)?，?
若選②：由，可得，所以，
因?yàn)椋?
若選③：因?yàn)椋?br>正弦定理得，
又因?yàn)椋裕?br>即，
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)?，可得?
綜上所述：選擇①②③，都有.
（2）解：由，可得，
所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
則的面積的最大值為.
2．（2024·山西·一模）中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理即可求解，進(jìn)而可求解，
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合不等式即可求解.
【詳解】（1）
因?yàn)槿切蔚拿娣e為，
則，
所以，又，則；
（2）由于，所以，
即，取等號(hào)，
故，
故
3．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)已知等式，可得，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案；
（2）利用面積相等，即，推出，利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
（2）由于點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，
則，
由，得，
即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
即面積的最小值為.
高頻考點(diǎn)七：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題（求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)））
典型例題
例題1．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．若的面積，且，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．15C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，利用余弦定理可求，可求解的值,利用三角形的面積公式可求，由余弦定理可求，即可求周長(zhǎng)．
【詳解】已知,由正弦定理得：，
整理可得，所以，
由于，所以；
的面積，所以，
又，所以由余弦定理，
可得，
解得或（舍去），
所以的周長(zhǎng)．
故選：B
例題2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直線為的平分線，且與交于點(diǎn)，若，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和，得到，從而求出角；
（2）由三角形面積公式和余弦定理得到，從而求出周長(zhǎng).
【詳解】（1）由已知，得，
根據(jù)正弦定理，得，
即，
即，
由于，，
所以，所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)橹本€為的平分線，
所以，
所以，
則，即，
由余弦定理得，即，
所以，
解得或（舍），
故的周長(zhǎng)為.
例題3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
(3)10
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用內(nèi)角和定理與和角的正弦公式化簡(jiǎn)得到，即可求得角；
（2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式計(jì)算即得；
（3）由三角形面積公式求出，利用余弦定理變形轉(zhuǎn)化求出，即得的周長(zhǎng).
【詳解】（1），由正弦定理可得，
因，
所以，可得，
為三角形內(nèi)角，，解得，
；
（2）由已知，所以，
，
，
.
（3），
，
由余弦定理得，
即，解得（負(fù)值舍去），
的周長(zhǎng)為
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，，，的外接圓半徑為，，且．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角恒等變換的公式，求得，得到，再利用兩角和的公式，即可求解；
（2）由（1）求得，由正弦定理得，令，，，結(jié)合三角形的面積公式列出方程，求得的值，進(jìn)而求得其周長(zhǎng).
【詳解】（1）解：由，
可得，所以，
又由正弦定理，可得，
即，所以，
可得或，即或（舍去），
因?yàn)?，可得?br>所以．
（2）解：由（1）可得，，
則，
又由正弦定理得，
令，，，其中，
則，解得，
因此的周長(zhǎng)為．
2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．
(1)求的大??；
(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由正弦定理和，得到，求出；
（2）由三角形面積公式和余弦定理得到，從而求出周長(zhǎng).
【詳解】（1）由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>所以，
又，
故，
得，
因?yàn)椋?，得?br>又，所以．
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周長(zhǎng)為．
3．（2024高三·天津·專題練習(xí)）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用內(nèi)角和定理與和角的正弦公式化簡(jiǎn)得到，即可求得角A；
（2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式計(jì)算即得；
（3）由三角形面積公式求出，利用余弦定理變形轉(zhuǎn)化求出，即得的周長(zhǎng).
【詳解】（1）．由正弦定理可得，
因，
所以，可得，
為三角形內(nèi)角，，解得，，
．
（2）由已知，，所以，
，，
.
（3），，
由余弦定理得，
即，解得，
的周長(zhǎng)為．
高頻考點(diǎn)八：三角形周長(zhǎng)（邊）相關(guān)問(wèn)題（三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的最值）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)正弦定理和條件化簡(jiǎn)得到，把轉(zhuǎn)化為角求解可得答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>整理可得，即有.
又，所以，解得，所以，
于是
.
因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以，所以，
所以的取值范圍是.
故選：B
例題2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為是的角平分線，若，則的最小值為
【答案】
【分析】利用張角定理得到，再利用不等式中的妙用來(lái)求解最值.
【詳解】是的角平分線，
，
由張角定理得:，
即，
，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”）.
故答案為：.
例題3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出的表達(dá)式，根據(jù)為銳角三角形確定B的范圍，求出三角形周長(zhǎng)的表達(dá)式并化簡(jiǎn)，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知中，，
即，即，
故，而；
（2）由（1）知，而，
故由正弦定理得，則
，
由為銳角三角形，則，則，
故的周長(zhǎng)
，
而，故，
故的周長(zhǎng)的取值范圍為.
例題4．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，．
(1)求角；
(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值．
（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范圍，進(jìn)而可求的周長(zhǎng)的最大值；法二：利用正弦定理，將周長(zhǎng)化為角A的函數(shù)求出范圍即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得，即．
由余弦定理得.
又，所以．
（2）方法一：因?yàn)椤魍饨訄A的周長(zhǎng)為，所以△外接圓的直徑為．
由正弦定理得，則．
由余弦定理得．
因?yàn)?，所以，即?
由三角形性質(zhì)知，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以，故△周長(zhǎng)的取值范圍為．
方法二：因?yàn)椤魍饨訄A的周長(zhǎng)為，所以△外接圓的直徑為． ?
由正弦定理得，則．



∵
∴ ，∴
故△周長(zhǎng)的取值范圍為．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·廣東梅州·一模）已知是銳角三角形，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的面積，，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)值域的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
由解得.
，
由于三角形是銳角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
故選：A
2．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換將目標(biāo)式化為角的函數(shù)關(guān)系，再求的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)椋瑒t，，
又，
故由正弦定理可得：
，
又為銳角三角形，故可得，
解得，則，
由于，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)當(dāng)，
故，
即．
故答案為：．
3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理角化邊，整理根據(jù)余弦定理即可得出，然后根據(jù)A的范圍，即可得出答案；
（2）根據(jù)正弦定理得出，.設(shè)周長(zhǎng)為，表示出周長(zhǎng).然后根據(jù)誘導(dǎo)公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)可得出.然后根據(jù)的范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）在中，由已知結(jié)合正弦定理角化邊可得，
整理可得，所以.
又，所以.
（2）由（1）知，
所以，，
記的周長(zhǎng)為，則，
由，，得，
所以.
又，所以，則，故
4．（22-23高一下·江蘇·階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡(jiǎn)即可；
（2）利用正弦定理得到，則，利用三角公式變形整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理邊化角可得，
所以，又，
所以，又為銳角，
則；
（2）由正弦定理，
則，
所以，
，
因?yàn)樵阡J角三角形中，得，
所以，
則，
所以的取值范圍為.
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：銳角三角形周長(zhǎng)取值范圍問(wèn)題，注意考查角的取值范圍
1．（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，即可求出角；
（2）法一：根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)的范圍求解即可；法二：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)直角三角形性質(zhì)結(jié)合圖形分析求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以．
（2）法一：由（1）知，即．
因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，
則
，
當(dāng)時(shí)，，則．
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周長(zhǎng)的取值范圍是．
法二：（數(shù)形結(jié)合）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
在直線上取一點(diǎn)，使，則與均為直角三角形．
為銳角三角形，
點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）．
在中，，易得，
，周長(zhǎng)為；
在中，，易得，周長(zhǎng)為，
所以周長(zhǎng)的范圍是．
2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習(xí)）在銳角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，再借助三角函數(shù)和差角公式化簡(jiǎn)可解；
（2）利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式化簡(jiǎn)求范圍.
【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，
則，展開(kāi)可得，
.
（2）由正弦定理，
則
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面積的取值范圍為．
第五部分：新定義題
1．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)） “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，
(1)若，
①求；
②若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來(lái)求解；②利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案；
（2）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）①由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
②由①，所以三角形的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，
設(shè)，由得：
，整理得，
則
；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，為直角三角形，
當(dāng)，
則，
得，在三角形中不可能成立，
所以為的直角三角形，
因?yàn)辄c(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第二問(wèn)，解答第二問(wèn)的關(guān)鍵在于設(shè)，推出，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.

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2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)(知識(shí)+真題+15類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)(知識(shí)+真題+15類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)
2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講集合(知識(shí)+真題+8類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講集合(知識(shí)+真題+8類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)
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