TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19282" 【題型1 辨別相似圖形】 PAGEREF _Tc19282 \h 1
\l "_Tc6660" 【題型2 相似多邊形的性質(zhì)運(yùn)用】 PAGEREF _Tc6660 \h 2
\l "_Tc8802" 【題型3 “A”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc8802 \h 3
\l "_Tc30432" 【題型4 “8”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc30432 \h 4
\l "_Tc23686" 【題型5 “X”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc23686 \h 6
\l "_Tc15268" 【題型6 “#”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc15268 \h 7
\l "_Tc456" 【題型7 多種模型的綜合平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc456 \h 8
\l "_Tc2517" 【題型8 平行線分線段成比例與重心、中位線的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc2517 \h 9
\l "_Tc4974" 【題型9 作平行線構(gòu)造平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc4974 \h 10
\l "_Tc15828" 【題型10 作垂線構(gòu)造平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc15828 \h 11
知識(shí)點(diǎn)1：相似多邊形
定義1：形狀相同的圖形叫做相似圖形。
定義2：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。
性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。
【題型1 辨別相似圖形】
【例1】（23-24九年級(jí)·山東聊城·開學(xué)考試）下面各組圖形中，不是相似形的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（23-24九年級(jí)·安徽六安·期末）下列多邊形一定相似的是（ ）
A．兩個(gè)等腰三角形B．兩個(gè)平行四邊形
C．兩個(gè)正五邊形D．兩個(gè)六邊形
【變式1-2】（23-24九年級(jí)·山西陽(yáng)泉·期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻．下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·期末）下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中說法正確的序號(hào)是 ．
【題型2 相似多邊形的性質(zhì)運(yùn)用】
【例2】（23-24九年級(jí)·河北邢臺(tái)·期中）已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3，下面四個(gè)矩形中與矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（23-24九年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD與矩形BFEA相似，則矩形BFEA的面積為（ ）
A．16B．403C．323D．163
【變式2-2】（23-24九年級(jí)·海南?？凇て谀┤鐖D是兩個(gè)形狀相同的舉重圖案，則x的值是 ．
【變式2-3】（23-24九年級(jí)·山西太原·期末）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．折疊該矩形紙片，使AB邊落在AD邊上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，折痕為AE，展平后連接EF；繼續(xù)折疊該紙片，使FD落在FE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG，展平后連接HG．若矩形HECG∽矩形ABCD，AD=1，則CD的長(zhǎng)為（ ）．
A．0.5B．3?1C．5?12D．5+12
知識(shí)點(diǎn)2：平行線分線段成比例
兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
如圖：如果，則，，．

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
【題型3 “A”模型中的平行線分線段成比例】
【例3】（23-24九年級(jí)·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖，若PQ∥MN，點(diǎn)Q，點(diǎn)M在直尺上，且分別與直尺上的刻度1和3對(duì)齊，在數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)是10，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（ ）
A．52B．3C．103D．5
【變式3-1】（23-24九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（ ）

A．BDAD=DFACB．BFFC=AEECC．BFFC=DFACD．BFFC=CEAE
【變式3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，BF=2FC，連接AF交DE于點(diǎn)N，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A．ANAF=12B．DNDE=23C．ADAC=12D．NEFC=12
【變式3-3】（23-24九年級(jí)·河南平頂山·期末）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l1，l3，l4，l2上，若直線l1∥l2∥l3且相鄰兩直線間距離相等．若AB=6，BC=4，則l2，l3之間的距離為（ ）．

A．5B．65C．125D．245
【題型4 “8”模型中的平行線分線段成比例】
【例4】（23-24九年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，DE∥BC，則下列比例式錯(cuò)誤的是（ ）
A．ADBD=DEBCB．AEEC=ADBD
C．ABBD=ACECD．ADAB=AEAC
【變式4-1】（2024春·上海靜安·九年級(jí)?？计谥校┮阎猘x=bc，求作x，那么下列作圖正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式4-2】（2024春·陜西西安·九年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F，AB=3，F(xiàn)D=2，則EFFB的值為（ ）
A．25B．38C．37D．35
【變式4-3】（2024春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【題型5 “X”模型中的平行線分線段成比例】
【例5】（23-24九年級(jí)·陜西渭南·期末）如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，已知ABBC=32，若DF=10，則DE的長(zhǎng)為（ ）

A．2B．3C．5D．6
【變式5-1】（23-24九年級(jí)·山西晉中·期中）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被直線l1、l2、l3所截，AB=2，BC=5，EF=6，則DE的長(zhǎng)為（ ）

A．7B．125C．152D．245
【變式5-2】（23-24九年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b相交于點(diǎn)G，與這三條平行線分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，下列比例式中錯(cuò)誤的是（ ）
A．ABBG=DEEGB．AGGC=DGGF
C．BEFC=BGBCD．ADBE=AGBG
【變式5-3】（2024春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖 ，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于 ．
【題型6 “#”模型中的平行線分線段成比例】
【例6】（23-24九年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，l1∥l2∥l3，則下列比例式成立的是（ ）
A．ABAC=DEEFB．ABAC=DEDFC．ABAC=BECFD．ABAC=ADCF
【變式6-1】（23-24九年級(jí)·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，BF=20．
(1)若AC=3，CE=5，求DF的長(zhǎng)；
(2)若AC:CE=2:3，求DF的長(zhǎng)．
【變式6-2】（23-24九年級(jí)·貴州銅仁·期末）如圖是某景區(qū)大門部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC=16m，當(dāng)DF:DE=4:3時(shí)，則AB的長(zhǎng)是（ ）
A．10mB．11mC．12mD．13m
【變式6-3】（23-24九年級(jí)·海南?？凇て谀┤鐖D，l1∥l2∥l3，若2AB=3BC，DF=6，則DE等于（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
【題型7 多種模型的綜合平行線分線段成比例】
【例7】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（ ）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【變式7-1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在BC邊上，過點(diǎn)D作DG//BC，交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH//AB，交AC于點(diǎn)H，DG的延長(zhǎng)線與EH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（ ）
A．ADDB=DGBCB．GFEC=HCGHC．FHAD=GHAGD．HEAB=ECBE
【變式7-2】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)，G依次是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，連結(jié)CG并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，連結(jié)MF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H．若MF=MC,MG=1，MH的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．6C．7D．8
【變式7-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期中）如圖， 點(diǎn)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)， 過P分別作AB和BC的平行線交平行四邊 形ABCD的四邊于E，F(xiàn)，G，H． 連結(jié)AC分別交EG，F(xiàn)H于M和N． 若四邊形FBGP~四邊形EPHD，且四邊形FBCH的面積是四邊形AFPE`的3倍． 下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．EP=PHB．AN=EPC．AN=2MND．AM=2CM
【題型8 平行線分線段成比例與重心、中位線的綜合運(yùn)用】
【例8】（23-24九年級(jí)·山東棗莊·期中）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面積為16，則△AEF的面積為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式8-1】（23-24九年級(jí)·上?！て谥校鰽BC中，AB=AC=10，重心G到底邊BC的距離為2，那么AG= ．
【變式8-2】（23-24九年級(jí)·安徽宿州·期末）如圖，∠AOB=60°，C、D是邊OA上的兩點(diǎn)，且OD=8,CD=2，點(diǎn)P是OB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，連接CQ，則CQ的最小值為（ ）
A．1B．3C．32D．2
【變式8-3】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)AX，BY，CZ是△ABC的三條中線，求證：AX，BY，CZ三線共點(diǎn)．

【題型9 作平行線構(gòu)造平行線分線段成比例】
【例9】（23-24九年級(jí)·廣東河源·期末）AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，AE=14AD，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，則AFFC的值為（ ）
A．14B．15C．16D．17
【變式9-1】（23-24九年級(jí)·重慶·期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD邊中點(diǎn)，G為BC邊上一點(diǎn)，連接AE，DG，相交于點(diǎn)F．若DFFG=45，則FE的長(zhǎng)度是（ ）
A．259B．237C．12D．47
【變式9-2】（23-24九年級(jí)·浙江湖州·期末）如圖△ACB，∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，CD平分∠BCO交AB于點(diǎn)D，作AE⊥CD分別交CO、BC于點(diǎn)G，E． 記△AGO的面積為S1，△AEB的面積為S2，當(dāng)S1S2＝25時(shí)，則OGBC的值是（ ）
A．25B．13C．411D．38
【變式9-3】（23-24九年級(jí)·廣西·期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，P,Q為BC邊上的點(diǎn)，且BP=PQ=CQ，BM與AP,AQ分別交于D,E點(diǎn)，則BD∶DE∶EM等于（ ）

A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1
【題型10 作垂線構(gòu)造平行線分線段成比例】
【例10】（2024·浙江紹興·一模）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點(diǎn)C的標(biāo)度就可以求出OC的長(zhǎng)度．當(dāng)a=4，b=6時(shí)，讀得點(diǎn)C處的標(biāo)度為（ ）
A．125B．1252C．245D．2452
【變式10-1】（23-24九年級(jí)·浙江·周測(cè)）如圖，在ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，與BC的垂線CE相交于點(diǎn)E，則BD:DE為（ ）
A．3:2B．5:3C．4:3D．2:1
【變式10-2】（23-24九年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，G，F(xiàn)是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，EG∥AD，連接FC．
(1)求EF的長(zhǎng)．
(2)試判斷EF與FC之間的位置關(guān)系，并說明理由．
【變式10-3】（23-24九年級(jí)·廣東佛山·期中）如圖，在四邊形ACBD中，對(duì)角線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠ACB=90°，BD=CD=10，BC=16，若∠DAB=2∠ABC，則ADAB的值為 ．

專題4.2 平行線分線段成比例【十大題型】
【北師大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19282" 【題型1 辨別相似圖形】 PAGEREF _Tc19282 \h 1
\l "_Tc6660" 【題型2 相似多邊形的性質(zhì)運(yùn)用】 PAGEREF _Tc6660 \h 3
\l "_Tc8802" 【題型3 “A”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc8802 \h 6
\l "_Tc30432" 【題型4 “8”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc30432 \h 9
\l "_Tc23686" 【題型5 “X”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc23686 \h 12
\l "_Tc15268" 【題型6 “#”模型中的平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc15268 \h 15
\l "_Tc456" 【題型7 多種模型的綜合平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc456 \h 18
\l "_Tc2517" 【題型8 平行線分線段成比例與重心、中位線的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc2517 \h 21
\l "_Tc4974" 【題型9 作平行線構(gòu)造平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc4974 \h 26
\l "_Tc15828" 【題型10 作垂線構(gòu)造平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc15828 \h 31
知識(shí)點(diǎn)1：相似多邊形
定義1：形狀相同的圖形叫做相似圖形。
定義2：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。
性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。
【題型1 辨別相似圖形】
【例1】（23-24九年級(jí)·山東聊城·開學(xué)考試）下面各組圖形中，不是相似形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，依據(jù)定義即可解決．
【詳解】解：A、兩幅國(guó)旗相似，故不符合題意；
B、頂角不相等的兩個(gè)等腰三角形不相似，故符合題意；
C、兩個(gè)五角星相似，故不符合題意；
D、所有的圓都相似，故不符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的識(shí)別，我們把形狀相同的圖形稱為相似形．關(guān)鍵要聯(lián)系實(shí)際，根據(jù)相似圖形的定義得出．
【變式1-1】（23-24九年級(jí)·安徽六安·期末）下列多邊形一定相似的是（ ）
A．兩個(gè)等腰三角形B．兩個(gè)平行四邊形
C．兩個(gè)正五邊形D．兩個(gè)六邊形
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似圖形的判定，掌握相似形的定義（如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形相似）是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)相似三角形的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、兩個(gè)等邊三角形相似，但是兩個(gè)等腰三角形并不一定相似，三個(gè)角度沒有確定，故A不正確；
B、兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)角度及對(duì)應(yīng)邊都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正確；
C、兩個(gè)正五邊形角度相等，放大縮小后可以完全重合，兩圖形相似，故C正確；
D、兩個(gè)正六邊形相似，但是兩個(gè)六邊形并不一定相似，故D不正確．
故選C．
【變式1-2】（23-24九年級(jí)·山西陽(yáng)泉·期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻．下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)圖形相似的概念進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：兩個(gè)矩形不一定相似，但兩個(gè)正方形、兩個(gè)等邊三角形及兩個(gè)圓一定相似，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)圖形的相似，掌握相似多邊形的概念（即邊數(shù)相同的兩個(gè)多邊形，如果對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例）是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·期末）下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中說法正確的序號(hào)是 ．
【答案】②③
【分析】根據(jù)正方形、矩形、等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】①所有的等腰三角形都相似，錯(cuò)誤；
②所有的正三角形都相似，正確；
③所有的正方形都相似，正確；
④所有的矩形都相似，錯(cuò)誤．
故答案為②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的知識(shí)，熟練掌握各特殊圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度一般．
【題型2 相似多邊形的性質(zhì)運(yùn)用】
【例2】（23-24九年級(jí)·河北邢臺(tái)·期中）已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3，下面四個(gè)矩形中與矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】驗(yàn)證對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可判斷．
【詳解】解：A：42=31.5，符合題意；
B：43≠32，不符合題意；
C：42≠31.2，不符合題意；
D：42.5≠32，不符合題意；
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定．熟記定理內(nèi)容即可．
【變式2-1】（23-24九年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD與矩形BFEA相似，則矩形BFEA的面積為（ ）
A．16B．403C．323D．163
【答案】C
【分析】本題主要考查相似圖形的性質(zhì)，相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例，面積比等于相似比的平方．證明S矩形ABEFS矩形BCDA=ABBC2=462=49，從而可得答案．
【詳解】解：∵矩形ABFE∽矩形BCDA，AB=4，BC=6，
∴S矩形ABEFS矩形BCDA=ABBC2=462=49，S矩形ABCD=4×6=24，
∴S矩形ABEF=323，
故選：C．
【變式2-2】（23-24九年級(jí)·海南?？凇て谀┤鐖D是兩個(gè)形狀相同的舉重圖案，則x的值是 ．
【答案】22.5
【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，如果兩個(gè)多邊形相似，那么它們對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比；它們對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方．
根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比列式求解即可．
【詳解】解：由題意得，
30:20=x:15
∴x=22.5．
故答案為：22.5．
【變式2-3】（23-24九年級(jí)·山西太原·期末）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．折疊該矩形紙片，使AB邊落在AD邊上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，折痕為AE，展平后連接EF；繼續(xù)折疊該紙片，使FD落在FE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG，展平后連接HG．若矩形HECG∽矩形ABCD，AD=1，則CD的長(zhǎng)為（ ）．
A．0.5B．3?1C．5?12D．5+12
【答案】C
【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)及相似多邊形性質(zhì)，熟練應(yīng)用矩形和相似多邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵，設(shè)CD=x，則EC=1?x,CG=x?1?x，根據(jù)兩矩形相似求出即可．
【詳解】解：在矩形ABCD中，設(shè)CD=x，
則AB=CD=x，AD=BC=1，
由翻折得AB=AF=x,∠AFE=∠B=∠BAF=90°，
∴四邊形ABEF是正方形，
同理，四邊形DFHG是正方形，
∴BE=AB=x,DF=DG=1?x，
∴CE=1?x,CG=x?1?x=2x?1，
∵矩形HECG∽矩形ABCD，
∴ECBC=CGCD，即1?x1=2x?1x，
解得：x=5?12（負(fù)值舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，x=5?12是原方程的解，
∴CD=5?12
故選：C．
知識(shí)點(diǎn)2：平行線分線段成比例
兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
如圖：如果，則，，．

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
【題型3 “A”模型中的平行線分線段成比例】
【例3】（23-24九年級(jí)·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖，若PQ∥MN，點(diǎn)Q，點(diǎn)M在直尺上，且分別與直尺上的刻度1和3對(duì)齊，在數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)是10，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（ ）
A．52B．3C．103D．5
【答案】C
【分析】利用平行線分線段成比例定理求解．
【詳解】解：∵PQ∥MN，
∴OPON=OQOM=13，
∵ON=10，
∴OP=103．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，數(shù)軸，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．
【變式3-1】（23-24九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（ ）

A．BDAD=DFACB．BFFC=AEECC．BFFC=DFACD．BFFC=CEAE
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可．
【詳解】解：A．由DF∥AC，得BDBA=DFAC，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．由DF∥AC，得BFFC=BDDA，又由DE∥BC，得BDDA=CEEA，則BFFC=CEEA，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；
C．由DF∥AC，得BFBC=DFAC，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
【變式3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，BF=2FC，連接AF交DE于點(diǎn)N，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A．ANAF=12B．DNDE=23C．ADAC=12D．NEFC=12
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可推出AN=NF,根據(jù)中位線定理分析求解．
【詳解】解：∵D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，
∴DE∥BC.
∴ADDB=ANNF=1
∴ANAF=12,NE=12CF,DN=12BF .
∴NEFC=12.
∵BF=2FC，
∴DN=2NE.
∴DNDE=23.
所以，A,B,D正確，C錯(cuò)誤；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，中位線定理；由平行線的位置關(guān)系得到線段間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（23-24九年級(jí)·河南平頂山·期末）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l1，l3，l4，l2上，若直線l1∥l2∥l3且相鄰兩直線間距離相等．若AB=6，BC=4，則l2，l3之間的距離為（ ）．

A．5B．65C．125D．245
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，矩形的性質(zhì)，勾股定理以及平行線的定義等知識(shí)，熟練掌握平行線分線段成比例以及平行線之間等距離是解答本題的關(guān)鍵．
過A點(diǎn)作AN⊥l3于點(diǎn)N，交l2于點(diǎn)M，根據(jù)平行線分線段成比例以及平行線之間等距離可得AEEB=AMNM=1，進(jìn)而可得AE=EB=12AB=3，再利用勾股定理可得ED=AE2+AD2=5，結(jié)合三角形的面積即可求解．
【詳解】過A點(diǎn)作AN⊥l3于點(diǎn)N，交l2于點(diǎn)M，如圖，

∵在矩形ABCD中，BC=4，
∴AD=BC=4，∠BAD=90°，
∵直線l1∥l2∥l3且相鄰兩直線間距離相等，AN⊥l3，
∴AM=NM，
∴AEEB=AMNM=1，
∵AB=6，
∴AE=EB=12AB=3，
∴在Rt△EAD中，ED=AE2+AD2=5，
∵S△EAD=12×AE×AD=12×AM×ED，
∴AM=AE×ADED=125，
∴MN=AM=125，
故選：C．
【題型4 “8”模型中的平行線分線段成比例】
【例4】（23-24九年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，DE∥BC，則下列比例式錯(cuò)誤的是（ ）
A．ADBD=DEBCB．AEEC=ADBD
C．ABBD=ACECD．ADAB=AEAC
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理寫出相應(yīng)的比例式，即可得出答案．
【詳解】解：∵DE//BC，
∴ADBD=AEEC,ABBD=ACEC,ADAB=AEAC；
∴A錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免錯(cuò)選其他答案．
【變式4-1】（2024春·上海靜安·九年級(jí)?？计谥校┮阎猘x=bc，求作x，那么下列作圖正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合題意，依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】∵ax=bc，
∴ab=cx或ac=bx．
A．作出的為ab=a+xb+c，故不符合題意；
B．該情況無(wú)法作圖，故不符合題意；
C．作出的為ab=cx，故符合題意；
D．作出的為ax=cb，故不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，第四比例線段的作法．熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2024春·陜西西安·九年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F，AB=3，F(xiàn)D=2，則EFFB的值為（ ）
A．25B．38C．37D．35
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得AD∥BC，AD=BC，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊證得AF=AB=3，BC=5，再根據(jù)平行線分線段成比例和比例性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，又FD=2，
∴BC=AD=AF+FD=5，
∵AD∥BC，
∴EFBE=AFBC=35，
∴EFFB=38，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定、平行線分線段成比例定理、比例性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2024春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【答案】C
【分析】根據(jù)l1∥l2，可得△AFG∽△BFD，進(jìn)而得出AGBD＝AFBF＝25，AEEC＝AGCD，求出AG＝25BD，CD＝15BD，再求出AGCD即可．
【詳解】解：∵l1∥l2，
∴△AFG∽△BFD
∴AGBD＝AFBF，
∵AF：BF＝2：5，
∴AGBD＝25，
即AG＝25BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝15BD，
∴AGCD＝25BD15BD＝21，
∵l1∥l2，
∴△AGE∽△CDE，
∴AEEC＝AGCD＝21，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【題型5 “X”模型中的平行線分線段成比例】
【例5】（23-24九年級(jí)·陜西渭南·期末）如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，已知ABBC=32，若DF=10，則DE的長(zhǎng)為（ ）

A．2B．3C．5D．6
【答案】D
【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，根據(jù)題意可得ABBC=DEEF，設(shè)DE=x，則EF=10?x，由此即可求解，掌握平行線的分線段成比例，比例的性質(zhì)，解方程的方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，ABBC=DEEF=32，設(shè)DE=x，則EF=10?x，
∴32=x10?x，
解得，x=6，
∴DE的長(zhǎng)為6，
故選：D．
【變式5-1】（23-24九年級(jí)·山西晉中·期中）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被直線l1、l2、l3所截，AB=2，BC=5，EF=6，則DE的長(zhǎng)為（ ）

A．7B．125C．152D．245
【答案】B
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例得出比例式代入即可．
【詳解】解：∵ l1∥l2∥l3，
∴ ABBC=DEEF，
∴25=DE6，
∴DE=125．
故選B．
【變式5-2】（23-24九年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b相交于點(diǎn)G，與這三條平行線分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，下列比例式中錯(cuò)誤的是（ ）
A．ABBG=DEEGB．AGGC=DGGF
C．BEFC=BGBCD．ADBE=AGBG
【答案】C
【分析】平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是：一組平行線截兩條直線，所截的線段對(duì)應(yīng)成比例，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．
【詳解】解：A、∵l1∥l2∥l3，
∴ABBG=DEEG，結(jié)果正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵l1∥l2∥l3，
∴AGGC=DGGF，結(jié)果正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵l1∥l2∥l3，
∴BEFC=BGGC，結(jié)果錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；
D、∵l1∥l2∥l3，
∴ADBE=AGBG，結(jié)果正確，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是：一組平行線截兩條直線，所截的線段對(duì)應(yīng)成比例．
【變式5-3】（2024春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖 ，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于 ．
【答案】34
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵AB//CD//EF，
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF,
∵AG=4,GD=2,DF=8,
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF=4+28=34,
故答案為：34.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．
【題型6 “#”模型中的平行線分線段成比例】
【例6】（23-24九年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，l1∥l2∥l3，則下列比例式成立的是（ ）
A．ABAC=DEEFB．ABAC=DEDFC．ABAC=BECFD．ABAC=ADCF
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段比例定理，得到對(duì)應(yīng)的線段成比例，判斷出正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABAC=DEDF，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握這個(gè)定理，根據(jù)平行的條件得到對(duì)應(yīng)的線段成比例．
【變式6-1】（23-24九年級(jí)·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，BF=20．
(1)若AC=3，CE=5，求DF的長(zhǎng)；
(2)若AC:CE=2:3，求DF的長(zhǎng)．
【答案】(1)DF=12.5
(2)DF=12
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理．
（1）由平行分線段成比例得出ACCE=BDDF，再代入數(shù)值計(jì)算；
（2）由平行線分線段成比例的性質(zhì)得出BDDF=23，再代入計(jì)算．
【詳解】（1）∵AB∥CD∥EF，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=3，CE=5，BF=20，
∴35=20?DFDF，
解得DF=12.5；
（2）∵AB∥CD∥EF，AC:CE=2:3，
∴ACCE=BDDF=23.
∵BF=20，
∴20?DFDF=23，
解得DF=12．
【變式6-2】（23-24九年級(jí)·貴州銅仁·期末）如圖是某景區(qū)大門部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC=16m，當(dāng)DF:DE=4:3時(shí)，則AB的長(zhǎng)是（ ）
A．10mB．11mC．12mD．13m
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到ACAB=DFDE=43，再由AC=16m可得結(jié)果．
【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ACAB=DFDE=43，
∵AC=16m，
∴AB=12m，
故選C．
【變式6-3】（23-24九年級(jí)·海南海口·期末）如圖，l1∥l2∥l3，若2AB=3BC，DF=6，則DE等于（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
【答案】C
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到DE,EF的關(guān)系，再根據(jù)DF=6可得到答案，正確運(yùn)用定理找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，2AB=3BC，
∴ABBC=DEEF=32，
∴DEDF=35，
∵DF=6，
∴DE=35×6=185=3.6，
故選：C．
【題型7 多種模型的綜合平行線分線段成比例】
【例7】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（ ）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可證得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，兩式相加即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AC//EF，
∴ EFAC=BFBC，
∵EF//DB，
∴ EFBD=CFBC，
∴ EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，即rp+rq=1，
∴ 1p+1q=1r．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，通過平行線分線段成比例定理得出線段的比是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在BC邊上，過點(diǎn)D作DG//BC，交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH//AB，交AC于點(diǎn)H，DG的延長(zhǎng)線與EH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（ ）
A．ADDB=DGBCB．GFEC=HCGHC．FHAD=GHAGD．HEAB=ECBE
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：∵DG//BC，
∴ADAB=DGBC，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵DG//BC，
∴GFEC=GHHC，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵EH//AB，
∴FHAD=GHAG，故C選項(xiàng)正確；
∵EH//AB，
∴HEAB=ECBC，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的比，解題的關(guān)鍵是熟知平行線分線段成比例的性質(zhì)．
【變式7-2】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)，G依次是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，連結(jié)CG并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，連結(jié)MF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H．若MF=MC,MG=1，MH的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根據(jù)AD∥BC，得到MDBC=MGCG=DGBG，根據(jù)四等分點(diǎn)和MG得到CG，可得MC=MF=4，再證明DFBF=MFFH=1可得HF，可得MH．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴MDBC=MGCG=DGBG，
∵E，F(xiàn)，G依次是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，MG=1，
∴1CG=DGBG=13，
∴CG=3，
∴MF=MC=MG+CG=4，
∵AD∥BC，
∴DFBF=MFFH=1，
∴HF=4，
∴MH=MF+HF=8，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線得到相應(yīng)的比例式．
【變式7-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期中）如圖， 點(diǎn)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)， 過P分別作AB和BC的平行線交平行四邊 形ABCD的四邊于E，F(xiàn)，G，H． 連結(jié)AC分別交EG，F(xiàn)H于M和N． 若四邊形FBGP~四邊形EPHD，且四邊形FBCH的面積是四邊形AFPE`的3倍． 下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．EP=PHB．AN=EPC．AN=2MND．AM=2CM
【答案】D
【分析】設(shè)EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，利用平行線分線段成比例定理求得GM=x，F(xiàn)N=y，EM=kx，NH=ky，再利用已知條件求得k=2，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)， 過P分別作AB和BC的平行線交平行四邊形ABCD的四邊于E，F(xiàn)，G，H．四邊形FBGP~四邊形EPHD，
∴四邊形PFBG，DEPH都是平行四邊形，且相似，
設(shè)EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∵FN∥BC，
∴FNBC=AFAB，GMAB=GCBC，即FN(k+1)y=x(k+1)x，GM(k+1)x=y(k+1)y，
∴GM=x，F(xiàn)N=y，EM=kx，NH=ky，
∴△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，
∴S四邊形PGCH=S四邊形AFPE，
∵四邊形FBCH的面積是四邊形AFPE`的3倍．
∴(k+1)yy=3，
∴k=2，
∴EP=PH、AN=EP、AN=2MN都不成立，
AM=2CM成立，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
【題型8 平行線分線段成比例與重心、中位線的綜合運(yùn)用】
【例8】（23-24九年級(jí)·山東棗莊·期中）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面積為16，則△AEF的面積為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】連接AC、BD，交于點(diǎn)O，AC交EF于點(diǎn)G，根據(jù)菱形性質(zhì)可得菱形面積公式，然后根據(jù)三角形中位線定理得EF與BD關(guān)系，最后根據(jù)三角形面積公式代入計(jì)算可得答案．
【詳解】解：連接AC、BD，交于點(diǎn)O，AC交EF于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=OC，菱形ABCD的面積為：12AC?BD，
∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，EF=12BD，
∴AC⊥EF，CFDF=CGOG，
∴OG=CG，
∴AG=3CG，
設(shè)AC=a，BD=b，
∴12ab=16，即ab=32，
S△AEF=12EF?AG=12×12b×34a=316ab=6．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查的是菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理，能夠利用三角形面積公式得到答案是解決此題關(guān)鍵．
【變式8-1】（23-24九年級(jí)·上?！て谥校鰽BC中，AB=AC=10，重心G到底邊BC的距離為2，那么AG= ．
【答案】4
【分析】過點(diǎn)D作DE//BF交AC于點(diǎn)E，首先利用重心的概念和平行線分線段成比例得出AGGD=AFEF=2，然后代入計(jì)算即可．
【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE//BF交AC于點(diǎn)E，

∵G是△ABC重心，
∴AD，BF都是△ABC的中線，
∴AF=CF,BD=DC．
∵DE//BF，
∴CE=EF=12CF，
∴AF=2EF ．
∵DE//BF，
∴AGGD=AFEF=2．
∵GD=2，
∴AG=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握重心的概念和平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（23-24九年級(jí)·安徽宿州·期末）如圖，∠AOB=60°，C、D是邊OA上的兩點(diǎn)，且OD=8,CD=2，點(diǎn)P是OB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，連接CQ，則CQ的最小值為（ ）
A．1B．3C．32D．2
【答案】B
【分析】取OD的中點(diǎn)M，連接MQ，過點(diǎn)C作CQ′⊥MQ于點(diǎn)Q′，得MQ是△DOP的中位線，連接DQ′并延長(zhǎng)交OB于點(diǎn)P′，可得Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線MQ，所以得CQ的最小值為CQ'的長(zhǎng)，然后利用含30度角的直角三角形性質(zhì)即可解決問題．本題考查了三角形的中位線定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軌跡，解決本題的關(guān)鍵是得到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線MQ．
【詳解】解：如圖，取OD的中點(diǎn)M，連接MQ，過點(diǎn)C作CQ′⊥MQ于點(diǎn)Q′，
∵點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，
∴MQ是△DOP的中位線，MQ始終與OB平行，
連接DQ′并延長(zhǎng)交OB于點(diǎn)P′，
∴DMOM=DQ'Q'P'=1
∴DQ′=Q′P′，
∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線MQ，
∴CQ的最小值為CQ′的長(zhǎng)，
∵∠CMQ′=∠AOB=60°，OD=8，M是OD的中點(diǎn)，
∴MD=12OD=4，
∵CD=2，
∴MC=MD?CD=2，
∴MQ′=12MC=1，
∴CQ'=3MQ'=3，
∴CQ的最小值為3．
故選：B
【變式8-3】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)AX，BY，CZ是△ABC的三條中線，求證：AX，BY，CZ三線共點(diǎn)．

【答案】見解析
【分析】令A(yù)X,CZ相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AX，使XE=XD，連接BD，CD，證明四邊形BDCE是平行四邊形，則BE∥CD，BD∥CE，再證明ZE為△ABD中位線，則點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，最后證明EY為△ABD中位線，得出EY∥CD，即可根據(jù)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，進(jìn)行求證．
【詳解】解：令A(yù)X,CZ相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AX，使XE=XD，連接BD，CD．

∵AX是△ABC的中線，
∴BX=CX，
∵XE=XD，
∴四邊形BDCE是平行四邊形，
∴BE∥CD，BD∥CE，
∵CZ是△ABC的中線，
∴點(diǎn)Z為AB中點(diǎn)，BD∥CE
∴AEAD=AZAB=12，
∴ZE為△ABD中位線，即點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，
∵BY是△ABC的中線，
∴點(diǎn)Y為AC中點(diǎn)，BE∥CD
∴AEAD=AYAC=12，
∴EY為△ABD中位線，
∴EY∥CD，
∵EY∥CD，BE∥CD，
∴點(diǎn)B、E、Y在同一條直線上，
∴AX，BY，CZ三線共點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的證明，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形中位線的判定和性質(zhì)，以及在平面內(nèi)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
【題型9 作平行線構(gòu)造平行線分線段成比例】
【例9】（23-24九年級(jí)·廣東河源·期末）AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，AE=14AD，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，則AFFC的值為（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】C
【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．作DH∥BF交AC于H，根據(jù)三角形中位線定理得到FH=HC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，計(jì)算得到答案．
【詳解】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC，
∴FH=HC，
∵DH∥BF，且AE=14AD
∴AFHF=AEED=13，
∴AF：FC=1：6，
故選：C
【變式9-1】（23-24九年級(jí)·重慶·期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD邊中點(diǎn)，G為BC邊上一點(diǎn)，連接AE，DG，相交于點(diǎn)F．若DFFG=45，則FE的長(zhǎng)度是（ ）
A．259B．237C．12D．47
【答案】A
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，正方形的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．作FH∥BC交CD于H，則DHHC=DFFG=45，根據(jù)E為CD邊中點(diǎn)，得HEED=19，再根據(jù)FH∥AD，得FEAE=HEDE=19，根據(jù)勾股定理得AE=25，所以FE=259．
【詳解】解：如圖，作FH∥BC交CD于H，
則DHHC=DFFG=45，
∵E為CD邊中點(diǎn)，
∴ HEED=19，
∵FH∥AD，
∴ FEAE=HEDE=19，
∵AE=42+22=25，
∴FE=259．
故選：A．
【變式9-2】（23-24九年級(jí)·浙江湖州·期末）如圖△ACB，∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，CD平分∠BCO交AB于點(diǎn)D，作AE⊥CD分別交CO、BC于點(diǎn)G，E． 記△AGO的面積為S1，△AEB的面積為S2，當(dāng)S1S2＝25時(shí)，則OGBC的值是（ ）
A．25B．13C．411D．38
【答案】D
【分析】連接BG，過點(diǎn)O作OT∥AE交BC于點(diǎn)T，首先證明AGEG=41，再利用平行線分線段成比例求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接BG，過點(diǎn)O作OT∥AE交BC于點(diǎn)T，
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴AO=OB，
∴S?AOG=S?OBG，
∵S?AOGS?ABE=25，
∴S?ABGS?BEG=41，
∴AGEG=41，
∵OT∥AE，AO=BO，
∴ET=TB，
∴OT=12AE，
∴GEOT=25，
∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，
∴∠DCG=∠DCE，
∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，
∴∠CGE=∠CEG，
∴CG=CE，
∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，
∴∠COT=∠CTD，
∴CO=CT，
∴OG=ET，
∵GE∥OT，
∴CECT=GEOT=25，
∴CEET=23，
∴OGBC=38，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線分線段成比例，三角形的面積，三角形中位線定理等，理解題意，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．
【變式9-3】（23-24九年級(jí)·廣西·期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，P,Q為BC邊上的點(diǎn)，且BP=PQ=CQ，BM與AP,AQ分別交于D,E點(diǎn)，則BD∶DE∶EM等于（ ）

A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1
【答案】C
【分析】過A作AF∥BC交BM延長(zhǎng)線于F，設(shè)BC=3a，則BP=PQ=QC=a；根據(jù)平行線間的線段對(duì)應(yīng)成比例的性質(zhì)分別求出BD、BE、BM的長(zhǎng)度，再來求BD，DE，EM三條線段的長(zhǎng)度，即可求得答案．
【詳解】過A作AF∥BC交BM延長(zhǎng)線于F，設(shè)BC=3a，

則BP=PQ=QC=a；
∵AM=CM，AF∥BC，
∴AFBC=AMCM=1，
∴AF=BC=3a，
∵AF∥BP，
∴BDDF=BPAF=a3a=13，
∴BD=DF3=BF4，
∵AF∥BQ，
∴BEEF=BQAF=2a3a=23，
∴BE=2EF3，即BE=2BF5，
∵AF∥BC，
∴BMMF=BCAF=3a3a=1，
∴BM=MF，即BM=BF2，
∴DE=BE?BD=2BF5?BF4=3BF20，EM=BM?BE=BF2?2BF5=BF10，
∴BD:DE:EM=BF4:3BF20:BF10=5：3：2．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．
【題型10 作垂線構(gòu)造平行線分線段成比例】
【例10】（2024·浙江紹興·一模）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點(diǎn)C的標(biāo)度就可以求出OC的長(zhǎng)度．當(dāng)a=4，b=6時(shí)，讀得點(diǎn)C處的標(biāo)度為（ ）
A．125B．1252C．245D．2452
【答案】A
【分析】通過分別向橫軸和縱軸作輔助線得到等腰三角形，建立線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)利用平行線分線段成比例的推理，建立比例關(guān)系式即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過C點(diǎn)分別向OA、OB作垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E，
因?yàn)椤螦OB=90°，OP平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，
∴OE=CE=CD=OD,
設(shè)OE=CE=CD=OD=x,
∴BE=6-x，
∵CE∥OA，
∴BEOB=CEOA,
∴6?x6=x4，
∴x=125，
∵OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,
∴點(diǎn)C處的標(biāo)度等于CD的長(zhǎng)，即為125，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的判定、角平分線的定義和平行線分線段成比例定理的推論等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意與圖形，能在圖形中得到對(duì)應(yīng)等量關(guān)系，能正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．
【變式10-1】（23-24九年級(jí)·浙江·周測(cè)）如圖，在ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，與BC的垂線CE相交于點(diǎn)E，則BD:DE為（ ）
A．3:2B．5:3C．4:3D．2:1
【答案】A
【分析】過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由勾股定理得AC=8，再由角平分線的性質(zhì)得DA=DF，進(jìn)而由面積法求出DF=3，則CD=AC?DA=5，然后由勾股定理得CF=4，則BF=6，最后由平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．
【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵∠A=90°，AB=6，BC=10，
∴DA⊥BA，AC=BC2?AB2=102?62=8，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，
∴DA=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴12AB?AC=12AB?DA+12BC?DF，
∴6×8=6DF+10DF，
解得：DF=3，
∴DA=3，
∴CD=AC?DA=8?3=5，
∴CF=CD2?DF2=52?32=4，
∴BF=BC?CF=10?4=6，
∵DF⊥BC，CE⊥BC，
∴DF∥CE，
∴BDDE=BFCF=64=32，
即BD:DE=3:2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形面積，平行線的判定及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理、角平分線的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵
【變式10-2】（23-24九年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，G，F(xiàn)是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，EG∥AD，連接FC．
(1)求EF的長(zhǎng)．
(2)試判斷EF與FC之間的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)5
(2)EF⊥FC，理由見解析
【分析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，勾股定理的逆定理等：
（1）過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BC于點(diǎn)N，先證四邊形MBNF為正方形，根據(jù)EG∥AD得出BEME=BGGF=1，最后由勾股定理解Rt△MFE即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理證明△EFC為直角三角形，即可得出EF⊥FC．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BC于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴FM=FN
又∵∠ABC=∠BMF=∠BNF=90°，
∴四邊形MBNF為正方形，
∴BD=32+32=32，
∵點(diǎn)F為三等分點(diǎn)，
∴BF=22，
∴MF=MB=BN=2，
又∵G為FB中點(diǎn)，EG∥AD，
∴BEME=BGGF=1，
∴ME=BE=12MB=1，
在Rt△MFE中，EF=ME2+MF2=12+22=5．
（2）解：EF⊥FC，
理由：連接EC，
在Rt△BEC中，EC2=EB2+BC2=12+32=10，
由（1）知EF=5，
∴EF2=5，
在Rt△FNC中，F(xiàn)C2=NC2+FN2=1+4=5，
∴EC2=EF2+FC2，
∴△EFC為直角三角形，
∴EF⊥FC．
【變式10-3】（23-24九年級(jí)·廣東佛山·期中）如圖，在四邊形ACBD中，對(duì)角線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠ACB=90°，BD=CD=10，BC=16，若∠DAB=2∠ABC，則ADAB的值為 ．

【答案】12/0.5
【分析】過D作DE⊥BC于E，交AB于F，設(shè)∠ABC=α，∠ABD=β，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明∠ADC=β=∠FBD，∠ACD=90°?α+β=∠FDB，再證△DAC≌△BFDASA，推出BF=AD，根據(jù)AC∥DE推出BECE=BFFA=1，進(jìn)而可證ADAB=BFAB=12．
【詳解】解：過D作DE⊥BC于E，交AB于F，

設(shè)∠ABC=α，∠ABD=β，
∴∠DAB=2∠ABC=2α，∠DBC=α+β，
∵BD=CD，DE⊥BC，
∴∠DCB=∠DBC=α+β，CE=BE，
在△DAO和△BCO中，由三角形內(nèi)角和定理可知∠ADO+2α=α+β+α，
∴∠ADC=β=∠FBD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+α+β=90°，
∴∠ACD=90°?α+β=∠FDB，
在△DAC和△BFD中，
∠ACD=∠FDBBD=CD∠ADC=∠FBD，
∴△DAC≌△BFDASA，
∴BF=AD，
∵AC⊥CB，DE⊥CB，
∴AC∥DE，則BECE=BFFA=1，
∴F是AB的中點(diǎn)，
∴ADAB=BFAB=12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等，正確作出輔助線，證明△DAC≌△BFDASA是解題的關(guān)鍵．

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