y＝－4(x2－20x＋102－102) ＝－4(x－10)2＋400當(dāng)x＝10時(shí)，y最大值＝400
利用配方法求函數(shù) y＝－4x2＋80x 的最大值．
求二次函數(shù)的最大值（或最小值）
(1) 當(dāng)自變量x為全體實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的最值是多少？
(2) 當(dāng)自變量x有限制時(shí)，二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的最值如何確定？
求下列函數(shù)的最大值與最小值.
(1) y＝x2＋3x－2 (－3≤x≤1)
當(dāng)x＝1時(shí)，y最大值＝1＋3－2＝2.
函數(shù)的值隨著x的增大而減小.
當(dāng)自變量的范圍有限制時(shí)，二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的最值可以根據(jù)以下步驟來(lái)確定：(1) 配方，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸.(2) 畫(huà)出函數(shù)圖象，標(biāo)明對(duì)稱軸，并在橫坐標(biāo)上標(biāo)明x的取值范圍.(3) 判斷x的取值范圍與對(duì)稱軸的位置關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)有最大或最小值．然后根據(jù)x的值，求出函數(shù)的最值.
用二次函數(shù)解決圖形面積最優(yōu)值
如圖，用長(zhǎng)20米的籬笆，一面靠墻(墻長(zhǎng)不限)圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的園子，怎么圍才能使園子的面積最大？最大面積是多少？
解：設(shè)與墻垂直的一邊為x米，園子面積為S平方米，由題意得 S＝x(20－2x) ＝－2x2＋20x ＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)．∵－2＜0，∴當(dāng)x＝5(在0＜x＜10的范圍內(nèi))時(shí)，園子面積S的最大值為50平方米．
如圖，有長(zhǎng)為 30 m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為 10 m)，圍成中間隔有一道籬笆 (平行于AB)的矩形花圃．設(shè)花圃的一邊AB為 x m，面積為 y m2. (1) 求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2) y是否有最大值？如果有， 請(qǐng)求出y的最大值．
解：(1)由題意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.
(2)由題意得：0＜30－3x≤10，即 ≤x＜10.對(duì)稱軸為x＝ ＝－ ＝5，∵當(dāng)x＞5時(shí)，y隨x的增大而減?。喈?dāng)x＝ m時(shí)面積最大， 最大面積為 m2.
二次函數(shù)解決幾何面積最值問(wèn)題的方法：(1) 求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；(2) 配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值；(3) 檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi).
用二次函數(shù)解決拱橋類(lèi)問(wèn)題
如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋．當(dāng)水面寬為4 m時(shí)，拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面2 m，水面下降1 m時(shí)，水面寬度為多少米？
解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)，其中O點(diǎn)為拱頂，CD長(zhǎng)為4 (m)，AB的長(zhǎng)度即為所求的水面寬度.設(shè)拋物線解析式為y＝ax2(a≠0)，由題意知D坐標(biāo)為(2，－2)，代入y＝ax2，得－2＝4a，a＝－ ，∴y＝－ x2，B點(diǎn)縱坐標(biāo)為－3，當(dāng)y＝－3時(shí)，－ x2＝－3，解得x＝± ，∴A(－ ，－3)，B( ，－3)，AB＝2 ，∴當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面寬度為2 米．
懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接．已知兩端主塔之間的水平距離為900 m，兩主塔塔頂距橋面的高度為81.5 m，主懸鋼索最低點(diǎn)離橋面的高度為0.5 m.
解：根據(jù)題意，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，0.5)，對(duì)稱軸為y軸，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋0.5.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (450，81.5)，代入上式，得81.5＝a·4502＋0.5.
(1)若以橋面所在直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
解得 a＝ ＝故所求表達(dá)式為y＝ x2＋0.5 (－450≤x≤450)
(2)計(jì)算距離橋兩端主塔分別為100 m，50 m處垂直鋼索的長(zhǎng).
解：當(dāng)x＝450－100＝350 (m)時(shí)，得
當(dāng)x＝450－50＝400 (m)時(shí)，得
1．用一段長(zhǎng)為 15 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)為18 m，這個(gè)矩形菜園的最大面積是_______.
2．某菜農(nóng)搭建一個(gè)橫截面為拋物線的大棚，有關(guān)尺寸如圖所示，若菜農(nóng)身高為1.6米，則他在不彎腰的情況下在大棚內(nèi)活動(dòng)的范圍是______米．
3．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB向B以2 cm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始BC以4 cm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）.如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)_____秒，四邊形APQC的面積最小.
4．有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為 20 m，拱頂距離水面 4 m．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出這條拋物線表示的函數(shù)的解析式；
解：設(shè)該拱橋形成的拋物線的解析式為y＝ax2.∵該拋物線過(guò)(10，－4),∴－4＝100a，a＝－0.04∴y＝－0.04x2
5．如圖1，三孔橋截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB＝20米，頂點(diǎn)M距水面6米(即MO＝6米)，小孔頂點(diǎn)N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．當(dāng)水位上漲剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，借助圖2中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF.
解：設(shè)大孔對(duì)應(yīng)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y＝ax2＋6.依題意，得B(10，0)，代入102a＋6＝0.解得a＝－0.06，得y＝－0.06x2＋6.當(dāng)y＝4.5時(shí)，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5.∴DF＝5，EF＝10，即水面寬度為10米．

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21.4 二次函數(shù)的應(yīng)用

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