考生注意：
1.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
3.本卷命題范圍：集合、邏輯、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、平面向量及應(yīng)用、復(fù)數(shù)、數(shù)列、立體幾何初步.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（）對應(yīng)的點在直線上，則（ ）
A.1B.C.D.
3.在中，若，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知，則的值為（ ）
A.B.C.D.
5.如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線與所成的角為（ ）
A.90°B.60°C.45°D.30°
6.在中，，，所對的邊分別為，，.若是，的等差中項，，，則該三角形外接圓的半徑為（ ）
A.B.C.D.
7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，已知數(shù)列為“斐波那契數(shù)列”，則（ ）
A.2023B.2024C.1D.2
8.已知函數(shù)滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知平行四邊形中，，將沿著翻折使點到達(dá)點且不在平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.直線可能與直線垂直B.直線可能與直線垂直
C.直線可能與直線垂直D.直線不可能與直線垂直
10.已知等比數(shù)列首項，公比為，前項和為，前項積為，函數(shù)，若，則（ ）
A.為單調(diào)遞增的等差數(shù)列B.
C.為單調(diào)遞增的等比數(shù)列D.使得成立的的最大值為6
11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.函數(shù)存在兩個不同的零點
B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值
C.當(dāng)時，方程有且只有兩個實根
D.若時，，則的最小值為2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.寫出“”的一個充分不必要條件______.
13.已知函數(shù)（）在上有最小值沒有最大值，則的取值范圍是______.
14.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為6的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面積.
16.（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，平面，底面為平行四邊形，，分別為，的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，，，求點到平面的距離.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)的圖象如圖所示.
（1）寫出函數(shù)的關(guān)系式；
（2）已知，，.若，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）
已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.
（1）求的通項公式；
（2）令，記數(shù)列的前項和為，若對任意的，均有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
19.（本小題滿分17分）
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，為的導(dǎo)函數(shù).若是上的減函數(shù)，則稱為上的“上凸函數(shù)”；反之，若為上的“上凸函數(shù)”，則是上的減函數(shù).
（1）判斷函數(shù)在上是否為“上凸函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)是其定義域上的“上凸函數(shù)”，求的范圍；
（3）已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，為曲線上的任意一點.求證：除點外，曲線上每一點都在點處切線的下方.
2024～2025學(xué)年度上學(xué)期高三10月月考試卷?數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評分細(xì)則
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
1. D 因為，，且，
所以，故選D.
2. B 在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)（）對應(yīng)的點為，
所以，，故選B.
3. A .
4. C ∵，∴，得，
∴，故選C.
5. B 把展開圖還原成正方體如圖所示，由于且相等，
故異面直線與所成的角就是和所成的角，
故（或其補(bǔ)角）為所求，再由是等邊三角形，可得.故選B.
6. A 因為，所以，
由余弦定理可得，
故，
解得，，
因為，所以.
7. C 由題意得，，
，，…，
，
所以，所以.故選C.
8. A 令得；令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得.綜上只有A正確.
9. AB 當(dāng)平面與平面垂直時，由可得平面，此時，，A正確，D錯誤；當(dāng)時，在翻折過程中，可以取從0°到的范圍，而，即直線與直線所成角為，所以存在點，使得，B正確；由可得，所以為銳角，為銳角，所以C錯誤，故選AB.
10. BCD 令，則，
∴，∴，
因為是等比數(shù)列，所以，即，
∵，∴，B正確；
∵，∴是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯誤；
∵，
∴是首項為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；
∵，，，∴時，，時，，
∴時，，
∵，∴時，，
又，，所以使得成立的的最大值為6，D正確.故選BCD.
11. ABC A項，，則，解得，所以A正確；
B項，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，或，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是.
所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確.
C項，當(dāng)時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，
故當(dāng)時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；
D項，，也符合要求，所以D不正確.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.（答案不唯一） ，
∵的一個充分不必要條件只需是的真子集.
13. ，
當(dāng)時，，若在上有最小值沒有最大值，
則，所以.
14. 因為棱長為的正四面體的高為，
所以截角四面體上下底面距離為，
設(shè)其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，
易知外接球球心在線段上，且垂直于平面與平面，則
，
所以，解得，
所以該截角四面體的外接球的表面積為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.解：（1）在中，由正弦定理可得，
所以，所以.
又，所以.
又，所以，所以.
（2）若，則，
在中，由余弦定理可得，
解得，
所以的面積為.
16.（1）證明：取的中點，連接，.
因為為的中點，所以，且.
又為的中點，所以，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以.
又平面，平面，
故平面.
（2）解：在中，，，
由正弦定理得，則.
因為平面，所以，，
在中，，
在中，，
在等腰中，上的高為，
所以.
設(shè)點到平面的距離為，
由得，
解得，即點到平面的距離為.
17.解：（1）由圖可得，，，，
設(shè)函數(shù)，將點代入得，結(jié)合圖象解得，
所以.
（2），，
則
.
由題意知函數(shù)在內(nèi)的最小值大于等于函數(shù)的最大值.
∵，∴，∴，在上，函數(shù).
∵，，∴，
，∴，∴.
18.解：（1）因為，
當(dāng)時，有，
兩式相減得，
化簡得.
因為，所以，
在中，當(dāng)?shù)茫?br>所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故.
（2）由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴.
由題意，對任意的，均有恒成立，
∴，即恒成立.
設(shè)，
所以.
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即，
所以的最大值為，
所以，故的取值范圍是.
19.（1）解：在上是“上凸函數(shù)”，理由如下：
，
令，
所以，
因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上為“上凸函數(shù)”.
（2）解：的定義域為，
，令，
由題意（）.
因為函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以（）恒成立，即（）恒成立.
設(shè)（），
①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，只需，無解；
②當(dāng)時，只需，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.9分
（3）證明：已知函數(shù)是定義在上的“上凸函數(shù)”，所以是上的減函數(shù)，
設(shè)，則在上.
設(shè)，則曲線在點處的切線方程為，
設(shè)，則.
令，則，
所以在上單調(diào)遞減.
又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，，所以，
所以除點外，曲線上每一點都在點處切線的下方.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
B
A
C
A
題號
9
10
11
答案
AB
BCD
ABC

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