1．（3分）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是
A．B．C．D．
2．（3分）把一枚均勻的骰子拋擲一次，朝上面的點(diǎn)數(shù)為6的概率是
A．0B．C．D．1
3．（3分）關(guān)于二次函數(shù)的最值，下列敘述正確的是
A．當(dāng)時(shí)，有最小值0B．當(dāng)時(shí)，有最大值0
C．當(dāng)時(shí)，有最小值1D．當(dāng)時(shí)，有最大值1
4．（3分）如圖，直線，則
A．B．C．D．
5．（3分）如圖，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)的角度為
A．B．C．D．
6．（3分）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，若，，則下列說法正確的是
A．的長為B．的長為3C．的長為12D．的長為10
7．（3分）為了解某市九年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該市100名九年級(jí)男生，他們的身高統(tǒng)計(jì)如下：
根據(jù)以上結(jié)果，全市約有3萬名男生，估計(jì)全市男生的身高不高于的人數(shù)是
A．28500B．17100C．10800D．1500
8．（3分）已知二次函數(shù)，它的圖象可能是
A．B．
C．D．
9．（3分）如圖，已知，，，四邊形的面積為12，若經(jīng)過的重心，則的面積為
A．25B．26C．27D．28
10．（3分）如圖，已知是的直徑，半徑，點(diǎn)在劣弧上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），與交于點(diǎn)．設(shè)，，則
A．B．C．D．
二、填空題（共6題，每題4分，24分）
11．（4分）有一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為．任意拋擲這枚骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)為3的概率是 ．
12．（4分）已知，那么的值為 ．
13．（4分）已知拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線表達(dá)式為 ．
14．（4分）如圖，、是的直徑，弦，交于點(diǎn)，，則 ．
15．（4分）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)、、三個(gè)點(diǎn)，則不等式的解是 ．
16．（4分）如圖，是半圓的直徑，是半圓的弦，沿弦折疊交直徑于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，則的長為 ；
（2）當(dāng)，時(shí)，則的長為 ．
三、解答題（共8題，66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值．
18．游戲者用下面兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤做游戲，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形．讓兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次．
（1）求兩次數(shù)字之和為4的概率；
（2）若兩次數(shù)字之積大于2，則游戲者獲勝，請(qǐng)求出游戲者獲勝的概率．
19．如圖，某零件的截面為弓形．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出該弓形的圓心；
（2）若，弓形的高為1．求弓形的半徑．
20．如圖，已知．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
21．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上且，連接，．
（1）求證：．
（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，，的面積為50，求的面積．
22．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，，
（1）求證：．
（2）作于點(diǎn)，若的半徑為5，，求的長．
23．已知函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中．
（1）若經(jīng)過點(diǎn)，求的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若經(jīng)過點(diǎn)，判斷與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，說明理由．
（3）若經(jīng)過點(diǎn)，，且對(duì)任意，都有，請(qǐng)利用圖象求的取值范圍．
24．已知鈍角三角形內(nèi)接于，、分別為、的中點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，求證：．
（2）如圖2，當(dāng)、、不在同一條直線上時(shí)，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．
①求證：是等腰三角形；
②如圖3，連并延長交于點(diǎn)，連接．求證：．
2023-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)上海世界外國語中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10題，每題3分，30分）
1．（3分）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是
A．B．C．D．
【分析】利用二次函數(shù)定義進(jìn)行分析即可．
【解答】解：、不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
、是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
、不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
、不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．
2．（3分）把一枚均勻的骰子拋擲一次，朝上面的點(diǎn)數(shù)為6的概率是
A．0B．C．D．1
【分析】根據(jù)概率公式即可得．
【解答】解：任意拋擲一次骰子共有6種等可能結(jié)果，其中朝上面的點(diǎn)數(shù)恰為6的只有1種，
朝上面的點(diǎn)數(shù)恰為6的概率是，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
3．（3分）關(guān)于二次函數(shù)的最值，下列敘述正確的是
A．當(dāng)時(shí)，有最小值0B．當(dāng)時(shí)，有最大值0
C．當(dāng)時(shí)，有最小值1D．當(dāng)時(shí)，有最大值1
【分析】由拋物線解析式可求得開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求得答案．
【解答】解：，
拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，有最大值1；
正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在中，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
4．（3分）如圖，直線，則
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理得到或，然后利用比例的性質(zhì)得到，于是可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：，
或，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
5．（3分）如圖，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)的角度為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可求解．
【解答】解：將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，
，
，
，，
，
，
即旋轉(zhuǎn)的角度為，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，若，，則下列說法正確的是
A．的長為B．的長為3C．的長為12D．的長為10
【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，求出和，再根據(jù)勾股定理求出，再得出答案即可．
【解答】解：連接，
，
，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，，
，
即只有選項(xiàng)正確，選項(xiàng)、選項(xiàng)、選項(xiàng)都錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記勾股定理是解此題的關(guān)鍵．
7．（3分）為了解某市九年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該市100名九年級(jí)男生，他們的身高統(tǒng)計(jì)如下：
根據(jù)以上結(jié)果，全市約有3萬名男生，估計(jì)全市男生的身高不高于的人數(shù)是
A．28500B．17100C．10800D．1500
【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中男生的身高不高于的人數(shù)所占比例即可．
【解答】解：估計(jì)全市男生的身高不高于的人數(shù)是（名，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻數(shù)（率分布表和用樣本估計(jì)總體，從一個(gè)總體得到一個(gè)包含大量數(shù)據(jù)的樣本，我們很難從一個(gè)個(gè)數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息．這時(shí)，我們用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，從而去估計(jì)總體的分布情況．
8．（3分）已知二次函數(shù)，它的圖象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的圖象是否正確，本題得以解決．
【解答】解：二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
即該函數(shù)的圖象過點(diǎn)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
該函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象開口向上，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象開口向下，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
9．（3分）如圖，已知，，，四邊形的面積為12，若經(jīng)過的重心，則的面積為
A．25B．26C．27D．28
【分析】設(shè)重心為，則，根據(jù)三角形相似的判定與性質(zhì)可得，，，列出方程組并求解即可．
【解答】解：經(jīng)過的重心，
，，
，，
，
，
，，
設(shè)的面積為，則的面積為，的面積為，
四邊形的面積為，
，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是重心的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，得到面積的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，已知是的直徑，半徑，點(diǎn)在劣弧上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），與交于點(diǎn)．設(shè)，，則
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用表示，進(jìn)而由圓心角與圓周角關(guān)系，用表示，最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是用表示．
二、填空題（共6題，每題4分，24分）
11．（4分）有一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為．任意拋擲這枚骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)為3的概率是 ．
【分析】由題意知，共有6種等可能的結(jié)果，其中朝上面的點(diǎn)數(shù)為3的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．
【解答】解：由題意知，共有6種等可能的結(jié)果，其中朝上面的點(diǎn)數(shù)為3的結(jié)果有1種，
任意拋擲這枚骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)為3的概率是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
12．（4分）已知，那么的值為 ．
【分析】利用比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）已知拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線表達(dá)式為 ．
【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移法則即可解決問題．
【解答】解：因?yàn)閽佄锞€的解析式為，
則將此拋物線向右平移2個(gè)單位所得拋物線的表達(dá)式為，
再向上平移1個(gè)單位后所得拋物線的表達(dá)式為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的平移法則是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，、是的直徑，弦，交于點(diǎn)，，則 ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件求出，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．
【解答】解：弦，，
，
對(duì)的圓周角是，圓心角是，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注意：一條弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．
15．（4分）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)、、三個(gè)點(diǎn)，則不等式的解是 或 ．
【分析】利用函數(shù)圖象，寫出拋物線在雙曲線上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：當(dāng)或時(shí)，拋物線在雙曲線上方，
所以不等式的解集為或．
故答案為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組：對(duì)于二次函數(shù)、、是常數(shù)，與不等式的關(guān)系可以利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，利用交點(diǎn)直觀求解．
16．（4分）如圖，是半圓的直徑，是半圓的弦，沿弦折疊交直徑于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，則的長為 ；
（2）當(dāng)，時(shí)，則的長為 ．
【分析】（1）連接、，由圓周角定理得，則，，再由直角三角形的性質(zhì)得，則，然后由勾股定理求解即可；
（2）連接、，由圓周角定理得，則，過點(diǎn)作于，則，再證，求出，然后由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）連接、，如圖1所示：
根據(jù)折疊的性質(zhì)，弧所對(duì)的圓周角是，
，
，
，
是半圓的直徑，
，
，
，，
，
，
故答案為：；
（2）連接、，如圖2所示：
根據(jù)折疊的性質(zhì)，弧所對(duì)的圓周角是，
，
，
，
過點(diǎn)作于，
則，
，
是半圓的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，正確找出輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共8題，66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值．
【分析】求得拋物線對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可求得．
【解答】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，
對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，則函數(shù)值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對(duì)稱性，求得對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．
18．游戲者用下面兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤做游戲，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形．讓兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次．
（1）求兩次數(shù)字之和為4的概率；
（2）若兩次數(shù)字之積大于2，則游戲者獲勝，請(qǐng)求出游戲者獲勝的概率．
【分析】（1）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之和為4的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之積大于2的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之和為4的結(jié)果有2種，
兩次數(shù)字之和為4的概率為；
（2）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之積大于2的結(jié)果有3種，
游戲者獲勝的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．如圖，某零件的截面為弓形．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出該弓形的圓心；
（2）若，弓形的高為1．求弓形的半徑．
【分析】（1）在弧上任取點(diǎn)，分別作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為該弓形的圓心．
（2）設(shè)線段的垂直平分線交弧于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，．設(shè)弓形的半徑為，則，．由勾股定理得，，代入求出的值即可．
【解答】解：（1）如圖，在弧上任取點(diǎn)，分別作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，
則點(diǎn)即為所求．
（2）設(shè)線段的垂直平分線交弧于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
則，．
設(shè)弓形的半徑為，
則，．
由勾股定理得，，
即，
解得，
弓形的半徑為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
20．如圖，已知．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【分析】（1）根據(jù)兩對(duì)角相等的三角形相似，即可得到三角形與三角形相似；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
，
（負(fù)值舍去）．
答：的長為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及一元二次方程的解法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
21．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上且，連接，．
（1）求證：．
（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，，的面積為50，求的面積．
【分析】（1）由已知得出，由，即可得出：．
（2）設(shè)，則，，由已知求出，得出，得出，由三角形面積關(guān)系即可得出答案．
【解答】（1）證明：，
，
，
．
（2）解：點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
的面積為50，
的面積．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積關(guān)系等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，，
（1）求證：．
（2）作于點(diǎn)，若的半徑為5，，求的長．
【分析】（1）利用等角的余角相等證明即可；
（2）利用勾股定理求出，，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【解答】（1）證明：是直徑，
，
，
，
，，
；
解法二：，是直徑，
，
．
（2）解：如圖，連接．
在中，，
在中，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．
23．已知函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中．
（1）若經(jīng)過點(diǎn)，求的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若經(jīng)過點(diǎn)，判斷與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，說明理由．
（3）若經(jīng)過點(diǎn)，，且對(duì)任意，都有，請(qǐng)利用圖象求的取值范圍．
【分析】（1）將代入可得的值，從而得到答案，
（2）將代入得到，再聯(lián)立、判斷解的個(gè)數(shù)從而得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
（3）將點(diǎn)，代入可得的值，再聯(lián)立、求出圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的值，觀察圖象得到無交點(diǎn)時(shí)的范圍即得答案．
【解答】解：
（1）將代入得：
，解得，，
時(shí)，，
時(shí)，，
的函數(shù)表達(dá)式為：，
故答案為：；
（2）將點(diǎn)代入得：
，解得，
，
由得，
△，
，
△，當(dāng)時(shí)△，當(dāng)時(shí)△，
總有實(shí)數(shù)解，時(shí)有一組解，當(dāng)時(shí)有兩組解，
與圖象總有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，
故答案為：1或2；
（3）將點(diǎn)，代入可得，
，，
由得，
△，
若△，則只有一組解，即、圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，解得或，
如圖，如果、圖象沒有交點(diǎn)，則對(duì)任意，都有，
由圖象可知此時(shí)或，
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)一次函數(shù)、二次函數(shù)表達(dá)式及圖象的交點(diǎn)，關(guān)鍵是判斷△的符號(hào)，從而得出交點(diǎn)情況．
24．已知鈍角三角形內(nèi)接于，、分別為、的中點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，求證：．
（2）如圖2，當(dāng)、、不在同一條直線上時(shí)，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．
①求證：是等腰三角形；
②如圖3，連并延長交于點(diǎn)，連接．求證：．
【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理證明，然后根據(jù)三角形的中位線解答即可；
（2）①由中位線的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義可得，，從而得到，由圖知：，可證；
②延長交于點(diǎn)，連接，，，，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證：，進(jìn)而可證，利用平行線判定定理即可證得結(jié)論．
【解答】解：（1）證明：是的中點(diǎn)，點(diǎn)、、在同一條直線上，
，
，
，
、分別為、的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
．
（2）①、分別為、的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
②延長交于點(diǎn)，連接，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)三角形中位線的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，以及圓周角定理等重要知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．組別
人數(shù)
15
42
38
5
組別
人數(shù)
15
42
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