?2021-2022學年浙江省杭州市拱墅區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）若，則等于（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（3分）二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣1的頂點是（　?。?br /> A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
3．（3分）在一個不透明的盒子中裝有20個黃、白兩種顏色的乒乓球，除顏色外其它都相同，小明進行了多次摸球試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白色乒乓球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，由此可知盒子中黃色乒乓球的個數(shù)可能是（　?。?br /> A．2個 B．4個 C．18個 D．16個
4．（3分）已知⊙O的半徑為5，一條弦的弦心距為3，則此弦的長為（　?。?br /> A．6 B．4 C．8 D．1
5．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）為二次函數(shù)y＝﹣（x+2）2+k的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
6．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC＝20°，則∠D的度數(shù)是（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°
7．（3分）如圖，已知BD是⊙O的直徑，BD⊥AC于點E，∠AOC＝100°，則∠OCD的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．25° C．30° D．40°
8．（3分）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝（s﹣1）x2+（t﹣6）x+1，當1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，則st的最大為（　?。?br /> A．4 B．6 C．8 D．
10．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠BDC＝3∠ACD，AD＝2，DB＝1，則AC的值為（　?。?br />
A．1+ B．3 C．2+ D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共2分請把答案填在題中的橫線上
11．（4分）已知y＝2x2﹣3x+1，當x＝1時，函數(shù)值為 　 　．
12．（4分）一枚質(zhì)地均勻的骰子，每個面標有的點數(shù)是1～6，拋擲骰子，點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 　 　．
13．（4分）一塊直角三角板的30°角的頂點A落在⊙O上，兩邊分別交⊙O于B、C兩點，若弦BC＝1，則⊙O的半徑為 　 ?。?br />
14．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，D、E分別是邊AC和AB上的點，且∠ADE＝∠B，若AD?BC的值為10，則DE的長為 　 ?。?br />
15．（4分）如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點M為上任意一點（點M不與點A、點B重合），連結(jié)MB、MO，取BC的中點D，取OM的中點E，連結(jié)DE，若∠OED＝α，則∠MBC的度數(shù)為 　 ?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）

16．（4分）如圖，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC、CD上，DE與AF相交于點P．已知DF＝6，AP＝5．若將矩形ABCD沿AF折疊后，點D恰好與點E重合，則PF＝　 ??；△ABE的面積為 　 　．

三、解答題（本大題共7小題，共66分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程成演算步
17．（6分）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中項，求c．
（2）如圖，C是AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB＝4，求AC的長．

18．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+a過點（1，1）．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）把函數(shù)圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象與x軸交于A，B兩點，求線段AB的長．
19．（8分）“雙十一”購物日中不乏沖動消費者，某數(shù)學興趣小組對消費行為進行調(diào)查．按購物數(shù)量x（件）分為以下4類：A（x≤3），B（x＝4），C（x＝5），D（x≥6），根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了兩圖統(tǒng)計圖（不完整），已知購買4件商品的消費者中，理性購物人數(shù)所占比例為80%．
根據(jù)圖中信息回答下列問題：
（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 　 　人；
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）小張在“雙十一”共購進7件商品，其中4件服裝購自“天貓商城”，3件電子產(chǎn)品購自“京東商城”，由于沖動消費，小張決定從服裝和電子產(chǎn)品中各隨機選擇1件進行退貨，已知“天貓商城”購買的4件服裝中僅1件支持退貨，“京東商城”購買的電子產(chǎn)品中僅2件支持退貨．請用列表或樹狀圖的方法，求小張選出的2件商品均能退貨的概率．

20．（10分）某農(nóng)場擬建一個梯形飼養(yǎng)場ABCD，其中AD，CD分別靠現(xiàn)有墻DM，DN，其余用新墻砌成，墻DM長為9米，墻DN足夠長，兩面墻形成的角度為135°，新墻DE將飼養(yǎng)場隔成△CDE和矩形ABED兩部分．已知新建墻體總長為30米．設(shè)AB＝x米，梯形飼養(yǎng)場ABCD的面積為S米2．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）當x為何值時，飼養(yǎng)場ABCD的面積最大，并求出最大面積．

21．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，E是AD上的一點，EC∥AB，EB∥DC．
（1）△ABE與△ECD相似？為什么？
（2）設(shè)△ABE的邊BE上的高為h1，△ECD的邊CD上的高為h2，△ABE的面積為3，
△ECD的面積為1，求的值及△BCE的面積．

22．（12分）已知二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，這里a、b、c為常數(shù)，且a＞0，c＜0，a+c≠0．
（1）若b＝0，令y＝y(tǒng)1+y2，求y的函數(shù)圖象與x軸的交點數(shù)；
（2）若x＝x0時，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范圍；
（3）已知二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx+c的頂點是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m為正整數(shù)，求m的值．
23．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點M是AB邊上一點（點M不與點A，B重合），DM的延長線交⊙O于點E，DN⊥DE，且交BC于點N，連結(jié)EB，MN．
（1）求證：點D是AC的中點；
（2）若∠EBA＝30°，求∠NMB的度數(shù)；
（3）若AM＝2，MB＝4，求DE的長．


2021-2022學年浙江省杭州市拱墅區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）若，則等于（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】設(shè)a＝5k，b＝8k，再把a＝5k，b＝8k代入求出即可．
【解答】解：∵＝，
∴設(shè)a＝5k，b＝8k，
∴＝＝，
故選：A．
2．（3分）二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣1的頂點是（　?。?br /> A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點式，可以直接寫出該函數(shù)的頂點坐標，本題得以解決．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣1，
∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為（﹣2，﹣1），
故選：C．
3．（3分）在一個不透明的盒子中裝有20個黃、白兩種顏色的乒乓球，除顏色外其它都相同，小明進行了多次摸球試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白色乒乓球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，由此可知盒子中黃色乒乓球的個數(shù)可能是（　　）
A．2個 B．4個 C．18個 D．16個
【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解．
【解答】解：設(shè)袋中有黃球x個，由題意得＝0.2，
解得x＝16．
故選：D．
4．（3分）已知⊙O的半徑為5，一條弦的弦心距為3，則此弦的長為（　?。?br /> A．6 B．4 C．8 D．1
【分析】畫出圖形，連接OA，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC，再求出答案即可．
【解答】解：如圖所示：連接OA，

∵弦AB的弦心距OC＝3，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，OC過圓心O，
∴AC＝BC＝4，
∴AB＝4+4＝8，
故選：C．
5．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）為二次函數(shù)y＝﹣（x+2）2+k的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】求得拋物線對稱軸為直線x＝﹣2，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得到答案．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x+2）2+k，
∴拋物線的開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，
∴當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小，
∵A（﹣4，y1）與點（0，y1）關(guān)于直線x＝﹣2對稱，且﹣2＜﹣1＜0＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故選：C．
6．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC＝20°，則∠D的度數(shù)是（　?。?br />
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】連接BC，∠D是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個角，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，只要求出∠B即可，根據(jù)AB是直徑，則△ABC是直角三角形，根據(jù)內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】解：連接BC，

∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
故選：C．
7．（3分）如圖，已知BD是⊙O的直徑，BD⊥AC于點E，∠AOC＝100°，則∠OCD的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】由垂徑定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根據(jù)圓周角定理可得答案．
【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，BD⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
則∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠BDC＝25°．
故選：B．
8．（3分）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由GE∥BD、GF∥AC利用平行線分線段成比例，可得出＝，，進而可得出，此題得解．
【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴＝，，
∴．
故選：C．
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝（s﹣1）x2+（t﹣6）x+1，當1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，則st的最大為（　?。?br /> A．4 B．6 C．8 D．
【分析】由二次函數(shù)解析式求出對稱軸直線方程，分類討論拋物線開口向下及開口向上的s，t的取值范圍，將st轉(zhuǎn)化為含一個未知數(shù)的整式求最值．
【解答】解：拋物線y＝（s﹣1）x2+（t﹣6）x+1，的對稱軸為直線x＝，
①當s＞1時，拋物線開口向上，
∵1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴≥2，即2s+t≤8．
解得t≤8﹣2s，
∴st≤s（8﹣2s），
∵s（8﹣2s）＝﹣2（s﹣2）2+8，
∴st≤8．
②當0≤s＜1時，拋物線開口向下，
∵1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴≤1，即s+t≤7，
解得s≤7﹣t，
∴st≤t（7﹣t），
t（7﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
當s＝t＝時，st有最大值，
∵0≤s＜1，
∴此情況不存在．
綜上所述，st最大值為8．
故選：C．
10．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠BDC＝3∠ACD，AD＝2，DB＝1，則AC的值為（　?。?br />
A．1+ B．3 C．2+ D．
【分析】延長BA至E，使AE＝AC，連接CE，設(shè)AE＝AC＝a，通過證明△CDA∽△EDC，列比例式可求得CD2＝4+2a，利用勾股定理可得CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2，即可得關(guān)于a的方程，解方程可求解a值，即可求得AB的長．
【解答】解：延長BA至E，使AE＝AC，連接CE，

設(shè)AE＝AC＝a，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠CDB＝∠CAD+∠ACD＝2∠E+∠ACD＝3∠ACD，
∴∠ACD＝∠E，
∵∠CDA＝∠EDC，
∴△CDA∽△EDC，
∴CD：ED＝AD：CD，
∴CD2＝ED?AD＝2（2+a）＝4+2a，
在Rt△CBD中，CB2＝CD2﹣BD2，
在Rt△ACB中，CB2＝AC2﹣AB2，
∴CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2，
∴4+2a﹣1＝a2﹣32，
解得a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），
∴AB＝1+，
故選：A．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共2分請把答案填在題中的橫線上
11．（4分）已知y＝2x2﹣3x+1，當x＝1時，函數(shù)值為 　0?。?br /> 【分析】根據(jù)函數(shù)值的求法，直接將x＝1代入函數(shù)關(guān)系式得出即可．
【解答】解：y＝2x2﹣3x+1，
當x＝1時，y＝2×12﹣3×1+1＝0．
故答案為：0．
12．（4分）一枚質(zhì)地均勻的骰子，每個面標有的點數(shù)是1～6，拋擲骰子，點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 　?。?br /> 【分析】共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點數(shù)是3的倍數(shù)有3和6，從而利用概率公式可求出向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率．
【解答】解：擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的有3，6，
故骰子向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是＝．
故答案為：．
13．（4分）一塊直角三角板的30°角的頂點A落在⊙O上，兩邊分別交⊙O于B、C兩點，若弦BC＝1，則⊙O的半徑為 　1?。?br />
【分析】連接OB、OC，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝60°，則可判斷△OBC為等邊三角形，從而得到OB＝1．
【解答】解：連接OB、OC，如圖，
∵∠A與∠BOC都對，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∵BC＝1，
∴OB＝BC＝1，
即⊙O的半徑為1．
故答案為：1．

14．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，D、E分別是邊AC和AB上的點，且∠ADE＝∠B，若AD?BC的值為10，則DE的長為 　2?。?br />
【分析】根據(jù)題意，得∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，可求證△ADE∽△ABC，可得，即AD?BC＝AB?DE，即可求解．
【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即AD?BC＝AB?DE，
∵AB＝5，AD?BC＝10，
∴DE＝2．
故答案為：2．
15．（4分）如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點M為上任意一點（點M不與點A、點B重合），連結(jié)MB、MO，取BC的中點D，取OM的中點E，連結(jié)DE，若∠OED＝α，則∠MBC的度數(shù)為 　60°+α?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）

【分析】連接OD，并反向延長，利用垂徑定理及其推論可得OD⊥BC，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可得DO的延長線經(jīng)過點A；利用等邊三角形的內(nèi)心與外心重合，可得∠OBD＝30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得OD＝OB，利用已知條件可判定△OED為等腰三角形，利用三角形內(nèi)角和定理的推論可得∠AOM＝2α，利用圓周角定理可求∠ABM，結(jié)論可求．
【解答】解：連接OD，并反向延長，如圖，

∵D為BC的中點，
∴OD⊥BC．
∵△ABC是等邊三角形，
∴DO的延長線經(jīng)過點A．
∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴點O既是三角形的外心也是三角形的內(nèi)心，
∴OB平分∠ABC．
∴∠OBC＝×60°＝30°．
∵OD⊥BC，
∴OD＝OB，
∵點E是OM的中點，
∴OE＝OM．
∵OM＝OB，
∴OE＝OD，
∴∠ODE＝∠OED＝α．
∴∠AOM＝∠OED+∠ODE＝2α．
∵∠ABM＝∠AOM，
∴∠ABM＝α．
∴∠MBC＝∠ABM+∠ABC＝α+60°．
故答案為：60°+α．
16．（4分）如圖，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC、CD上，DE與AF相交于點P．已知DF＝6，AP＝5．若將矩形ABCD沿AF折疊后，點D恰好與點E重合，則PF＝　??；△ABE的面積為 　20　．

【分析】先證明△DFP∽△AFD，可求PF＝，AF＝6，在Rt△ADF中，求出AD＝6，再證△CEF∽△BAE，得到BE＝CF，在Rt△BAE中，由勾股定理得（6）2＝（6+CF）2+（CF）2，求出CF＝4，即可求AB＝10，EB＝4，所以S△AEB＝×AB×EB＝20．
【解答】解：由折疊可知，DP⊥AF，EF＝DF，AE＝AD，
∵∠ADF＝90°，
∴∠FDP+∠ADP＝90°，∠ADP+∠DAP＝90°，
∴∠FDP＝∠DAP，
∴△DFP∽△AFD，
∴＝，
∵DF＝6，AP＝5，
∴＝，
∴PF＝，
∴AF＝6，
在Rt△ADF中，AD＝＝＝6，
∴AD＝AE＝6，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠EFC＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠EFC＝∠EAB，
∴△CEF∽△BAE，
∴＝，
∵EF＝6，
∴＝，
∴BE＝CF，
在Rt△BAE中，AE2＝AB2+BE2，
∴（6）2＝（6+CF）2+（CF）2，
∴CF＝4，
∴AB＝10，EB＝4，
∴S△AEB＝×AB×EB＝×10×4＝20．
故答案為：，20．
三、解答題（本大題共7小題，共66分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程成演算步
17．（6分）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中項，求c．
（2）如圖，C是AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB＝4，求AC的長．

【分析】（1）由c是a，b的比例中項，得到c2＝ab，代入即可求出答案；
（2）由黃金分割點的定義進行計算即可．
【解答】解：（1）∵c是 a，b的比例中項，
∴c2＝ab＝4.5×2＝9，
∴c1＝3，c2＝﹣3，
∴c為3或﹣3；
（2）∵C是AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB＝4，
∴AC＝AB＝×4＝2﹣2．
18．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+a過點（1，1）．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）把函數(shù)圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象與x軸交于A，B兩點，求線段AB的長．
【分析】（1）把（1，1）代入y＝x2﹣2x+a即可得答案；
（2）將函數(shù)y＝x2﹣2x+2圖象向下平移2個單位后得y＝x2﹣2x，可解得A（0，0）、B（2，0）或B（0，0）、A（2，0），故AB＝2．
【解答】解：（1）把（1，1）代入y＝x2﹣2x+a得：
1＝1﹣2+a，解得a＝2，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x+2；
（2）將函數(shù)y＝x2﹣2x+2圖象向下平移2個單位后所得函數(shù)為：y＝x2﹣2x+2﹣2，
即y＝x2﹣2x，
在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x2﹣2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
∴A（0，0）、B（2，0）或B（0，0）、A（2，0），
∴AB＝2．
19．（8分）“雙十一”購物日中不乏沖動消費者，某數(shù)學興趣小組對消費行為進行調(diào)查．按購物數(shù)量x（件）分為以下4類：A（x≤3），B（x＝4），C（x＝5），D（x≥6），根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了兩圖統(tǒng)計圖（不完整），已知購買4件商品的消費者中，理性購物人數(shù)所占比例為80%．
根據(jù)圖中信息回答下列問題：
（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 　60　人；
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）小張在“雙十一”共購進7件商品，其中4件服裝購自“天貓商城”，3件電子產(chǎn)品購自“京東商城”，由于沖動消費，小張決定從服裝和電子產(chǎn)品中各隨機選擇1件進行退貨，已知“天貓商城”購買的4件服裝中僅1件支持退貨，“京東商城”購買的電子產(chǎn)品中僅2件支持退貨．請用列表或樹狀圖的方法，求小張選出的2件商品均能退貨的概率．

【分析】（1）由A類的理性購物人數(shù)除以它所占的百分比得到理性購物人數(shù)的總?cè)藬?shù)為40人，再由B類理性購物人數(shù)所占的百分比可計算出B類理性購物人數(shù)為16人，利用購買4件商品的消費者中，理性購物人數(shù)所占比例為80%可計算出B類購物人數(shù)，然后把四類購物人數(shù)相加即可得到本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)即可；
（2）補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出2件商品均能退貨的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）理性購物的總?cè)藬?shù)為12÷30%＝40（人），
則B類理性購物人數(shù)為40×40%＝16，
∴B類購物人數(shù)為16÷80%＝20（人），
本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為15+20+15+10＝60（人），
故答案為：60；
（2）補全條形統(tǒng)計圖為：

（3）用1、2、3、4表示購自“天貓商城的4件服裝，且4為支持退貨的服裝；3件電子產(chǎn)品用5、6、7表示，且6、7為支持退貨的電子產(chǎn)品，
畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中小張選出的2件商品均能退貨的結(jié)果有2種，
∴小張選出的2件商品均能退貨的概率＝＝．
20．（10分）某農(nóng)場擬建一個梯形飼養(yǎng)場ABCD，其中AD，CD分別靠現(xiàn)有墻DM，DN，其余用新墻砌成，墻DM長為9米，墻DN足夠長，兩面墻形成的角度為135°，新墻DE將飼養(yǎng)場隔成△CDE和矩形ABED兩部分．已知新建墻體總長為30米．設(shè)AB＝x米，梯形飼養(yǎng)場ABCD的面積為S米2．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）當x為何值時，飼養(yǎng)場ABCD的面積最大，并求出最大面積．

【分析】（1）根據(jù)矩形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB＝DE＝CE＝x米，AD＝BE＝30﹣3x米，再由矩形和三角形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）由墻DM長為9米得出x的取值范圍，再將函數(shù)解析式配方成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值情況．
【解答】解：（1）∵四邊形ABED是矩形，
∴AB＝CE＝x米，∠ADE＝∠DEC＝90°，
∵∠ADC＝135°，
∴∠EDC＝∠DCE＝45°，
∴CE＝DE＝x米，
∴BE＝（30﹣3x）米，
∴S＝x（30﹣3x）+x2＝﹣x2+30x；

（2）∵30﹣3x≤9，
∴x≥7，
S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣6）2+90，
∵當x＞6時，S隨x的增大而減小，
∴當x＝7時，Smax＝87.5，
答：當x＝7時，飼養(yǎng)場ABCD的面積最大，最大面積為87.5平方米．
21．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，E是AD上的一點，EC∥AB，EB∥DC．
（1）△ABE與△ECD相似？為什么？
（2）設(shè)△ABE的邊BE上的高為h1，△ECD的邊CD上的高為h2，△ABE的面積為3，
△ECD的面積為1，求的值及△BCE的面積．

【分析】（1）利用平行可得到∠A＝∠CED，∠BEA＝∠D，可證明△ABE∽△ECD；
（2）利用面積可求得相似比，再利用相似三角形對應(yīng)邊上的比等于相似比可求得，再根據(jù)△ABE和△BEC同底，可知其面積比等于，可求得△BCE的面積．
【解答】解：（1）相似，證明如下：
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠CED，
∵BE∥CD，
∴∠BEA＝∠D，
∴△ABE∽△ECD；
（2）∵△ABE∽△ECD，
∴＝＝＝，
∵S△ABE＝BE?h1，S△BCE＝BE?h2，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BCE＝．
22．（12分）已知二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，這里a、b、c為常數(shù)，且a＞0，c＜0，a+c≠0．
（1）若b＝0，令y＝y(tǒng)1+y2，求y的函數(shù)圖象與x軸的交點數(shù)；
（2）若x＝x0時，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范圍；
（3）已知二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx+c的頂點是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m為正整數(shù)，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)題意可得：當b＝0時，y＝（a+c）x2+（a+c），由于△＝﹣4＜0，可得拋物線y＝（a+c）x2+（a+c）與x軸沒有交點；
（2）分兩種情況：當b＜0時，如圖1，若m＞n，則x0＜﹣1或x0＞1，當b≥0時，如圖2，若m＞n，則x0＜﹣1或x0＞1，即可得出答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx+c的頂點是（﹣1，﹣4a），可得y1＝ax2﹣bx+c＝a（x+1）2+4a＝ax2+2ax﹣3a，可得出a（m﹣2）≤0，運用不等式性質(zhì)即可求得答案．
【解答】解：（1）當b＝0時，y＝y(tǒng)1+y2＝（a+c）x2+（a+c），
令y＝0，則（a+c）x2+（a+c）＝0，
∵a+c≠0，
∴x2+1＝0，
∵△＝﹣4＜0，
∴方程x2+1＝0沒有實數(shù)根，即拋物線y＝（a+c）x2+（a+c）與x軸沒有交點；
（2）∵a＞0，c＜0，a+c≠0，
∴拋物線y1＝ax2﹣bx+c的開口向上，拋物線y2＝cx2﹣bx+a，開口向下，
當x＝1時，y1＝a﹣b+c，y2＝c﹣b+a，
∴y1＝y(tǒng)2，
當x＝﹣1時，y1＝a+b+c，y2＝c+b+a，
∴y1＝y(tǒng)2，
當b＜0時，如圖1，若p＞q，即y1＞y2，則x＜﹣1或x＞1，
即x0＜﹣1或x0＞1，
當b≥0時，如圖2，若p＞q，即y1＞y2，則x＜﹣1或x＞1，
即x0＜﹣1或x0＞1，
綜上所述，若p＞q，則x0的取值范圍為x0＜﹣1或x0＞1；
（3）∵二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx+c的頂點是（﹣1，﹣4a），
∴y1＝ax2﹣bx+c＝a（x+1）2﹣4a＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵（m﹣1）a﹣b+c≤0，
∴（m﹣1）a+2a﹣3a≤0，
∴a（m﹣2）≤0，
∵a＞0，
∴m﹣2≤0，
∴m≤2，
∴m的最大值為2．


23．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點M是AB邊上一點（點M不與點A，B重合），DM的延長線交⊙O于點E，DN⊥DE，且交BC于點N，連結(jié)EB，MN．
（1）求證：點D是AC的中點；
（2）若∠EBA＝30°，求∠NMB的度數(shù)；
（3）若AM＝2，MB＝4，求DE的長．

【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADE＝∠ABE＝30°，求得∠BDN＝∠ADM＝30°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM＝DN，求得∠DMN＝45°，于是得到答案；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝BN，根據(jù)勾股定理得到MN＝＝2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴AD＝CD，
∴點D是AC的中點；
（2）解：∵∠EBA＝30°，
∴∠ADE＝∠ABE＝30°，
∵DN⊥DE，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠MDN﹣∠MDB＝∠AD﹣∠MDB，
即∠BDN＝∠ADM＝30°，
∵∠A＝∠DBN＝45°，AD＝BD，
∴△ADM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∵∠MDN＝90°，∠BDN＝30°，
∴∠BDM＝60°，
∴∠BMD＝180°﹣∠BDM﹣∠MBD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BMN＝30°；
（3）解：∵△ADM≌△BDN，
∴AM＝BN，
∵AM＝2，
∴BN＝2．
∴MN＝＝2，
∵△MDN為等腰直角三角形，∠MDN＝90°，
∴DN＝MN＝×2＝，
∵∠E＝∠A，∠EMB＝∠AMD，
∴△EMB∽△AMD，
∴＝，
∴EM＝＝，
∴DE＝EM+DM＝+＝．



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