1．（4分）如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（ ）
A．＝B．＝﹣C．＝D．＝
2．（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測(cè)得A、B兩地間的圖上距離為5cm，則A、B兩地間的實(shí)際距離為（ ）
A．10mB．25mC．100mD．10000m
3．（4分）若兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4，則它們的最長(zhǎng)邊的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：16D．無(wú)法確定
4．（4分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）
5．（4分）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE＝BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△AEH∽△DAH；④AE?AD＝AH?AF；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）cs30°＝ ．
8．（4分）把長(zhǎng)度為4cm的線段進(jìn)行黃金分割，則較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)是 cm．
9．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4，那么它們的周長(zhǎng)之比是 ．
10．（4分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2+2mx+1的圖象開(kāi)口向下，那么m的取值范圍是 ．
11．（4分）將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為 ．
12．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則m的值為 ．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝ ．（結(jié)果用α的銳角三角函數(shù)表示）
14．（4分）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，那么與相等的向量是 ．
15．（4分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與直線AC交于點(diǎn)H．如果PH＝AH，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ．
16．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，AF＝2FD，直線BF與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如果BE＝2，那么EG的長(zhǎng)是 ．
17．（4分）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，點(diǎn)E、F分別在線段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么ct∠ABD＝ ．
18．（4分）如圖，已知在矩形ABCD中，連接AC，，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A′、D′處，邊A′B′、A′C分別與邊AD交于點(diǎn)M、N，MN﹣AM＝5，那么線段MN的長(zhǎng)為 ．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計(jì)算：．
20．（10分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BC＝2AD，OD＝1．
（1）求BD的長(zhǎng)：
（2）如果，，試用、表示向量．
21．（10分）如圖所示，BA和CD表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，即圖中AC大于等于CD，小明想測(cè)量一下他家所著AB樓與前面CD樓是否符合規(guī)定，于是他在AC間的點(diǎn)M處架了測(cè)角儀，測(cè)得CD樓頂D的仰角為45°，已知AM＝4米，測(cè)角儀距地面MN＝1.5米．
（1）問(wèn)：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說(shuō)出你的理由；
（2）為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里（點(diǎn)P處），用測(cè)角儀再次測(cè)得CD樓頂D的仰角為α，如果AP＝7.5米，sinα＝0.6，請(qǐng)你來(lái)計(jì)算一下CD樓的高度．
22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：y＝﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（2，2）、點(diǎn)B（0，2），頂點(diǎn)為點(diǎn)C，拋物線M的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．
（1）直接寫(xiě)出拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)△AOP與△ACD相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)M在邊BC上，且∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD?BC．
（1）求證：BM＝CM；
（2）作BE⊥DM，垂足為點(diǎn)E，并交CD于點(diǎn)F．求證：2AD?DM＝DF?DC．
24．（12分）已知，如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．
（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)Q落在y軸上，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線y＝x﹣，若平移后的拋物線與直線y＝x﹣2交于M、N兩點(diǎn)．
①求：MN的長(zhǎng)度；
②結(jié)合（2）的條件，直接寫(xiě)出△QMN的周長(zhǎng)的最小值 ．
25．（14分）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)H是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在DH上，滿足AE＝AB，延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F．
（1）求：sin∠FED；
（2）點(diǎn)M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，已知點(diǎn)P在線段MN上，連結(jié)AP、BP，此時(shí)∠APB＝90°，求：ct∠ABP；
（3）連結(jié)CE．如果△CEF是以CE為腰的等腰三角形，求∠FBC的正切值．
2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)上寶中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．（4分）如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（ ）
A．＝B．＝﹣C．＝D．＝
【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可分別設(shè)出x和y，分別代入各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)x＝2k，y＝3k．通過(guò)代入計(jì)算，
進(jìn)行約分，A，B，C都正確；
D不能實(shí)現(xiàn)約分，故錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)未知數(shù)，把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)約分．
2．（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測(cè)得A、B兩地間的圖上距離為5cm，則A、B兩地間的實(shí)際距離為（ ）
A．10mB．25mC．100mD．10000m
【分析】設(shè)A、B兩地間的實(shí)際距離為xm，根據(jù)比例線段得＝，然后解方程即可．
【解答】解：設(shè)A、B兩地間的實(shí)際距離為xm，
根據(jù)題意得＝，
解得x＝100．
所以A、B兩地間的實(shí)際距離為100m．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．
3．（4分）若兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4，則它們的最長(zhǎng)邊的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：16D．無(wú)法確定
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出答案即可．
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4，
∴它們的最長(zhǎng)邊的比是1：2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解此題的關(guān)鍵．
4．（4分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）
【分析】已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，知道A的坐標(biāo)為（0，3），由函數(shù)的對(duì)稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：由題意可知拋物線的y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），且AB與x軸平行，
可知A、B兩點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱性．
5．（4分）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接連接DC，得出CD⊥AB，再結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案
【解答】解：連接DC，
由網(wǎng)格可得：CD⊥AB，
則DC＝，AC＝，
故sinA＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
6．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE＝BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△AEH∽△DAH；④AE?AD＝AH?AF；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由菱形ABCD中，AB＝AC，易證得△ABC是等邊三角形，則可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可證得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性質(zhì)可得∠FHC＝∠B，可判斷①②，由點(diǎn)A，H，C，D四點(diǎn)共圓，可得∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH＝∠BAF，可證△AEH∽△DAH，可判斷③，通過(guò)證明△AEH∽△CEA，可得，可得AE?AD＝AH?AF，可判斷④，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等邊三角形，
同理：△ADC是等邊三角形
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，
∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，
∴∠FHC＝∠B，
故①正確，②正確；
∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，
∴點(diǎn)A，H，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH＝∠BAF，
∴∠AHD＝∠FHC＝∠AHE＝60°，
∴△AEH∽△DAH，故③正確；
∵∠ACE＝∠BAF，∠AEH＝∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
∴，
∴AE?AC＝AH?EC，
∴AE?AD＝AH?AF，
故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）cs30°＝ ．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【解答】解：cs30°＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】考查了特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)題目，比較簡(jiǎn)單．
8．（4分）把長(zhǎng)度為4cm的線段進(jìn)行黃金分割，則較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)是 （2﹣2） cm．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)＝×4，然后進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可．
【解答】解：較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)＝×4＝（2﹣2）cm．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．
9．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4，那么它們的周長(zhǎng)之比是 1：4 ．
【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比為1：4，
∴那么它們的周長(zhǎng)之比是1：4．
故答案為：1：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、周長(zhǎng)的比等于相似比．
10．（4分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2+2mx+1的圖象開(kāi)口向下，那么m的取值范圍是 m＜1 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)m﹣1＜0，然后解一元一次不等式即可求出m的取值范圍．
【解答】解：∵拋物線y＝（m﹣1）x2+2mx+1的圖象開(kāi)口向下，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1．
故答案為：m＜1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，明確二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方法有二次項(xiàng)系數(shù)決定是解題的基礎(chǔ)．
11．（4分）將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為 y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 ．
【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則即可得出結(jié)論．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2單位后，所得二次函數(shù)的解析式為y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故答案為：y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．
12．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則m的值為 ﹣1 ．
【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可求解．
【解答】解：把點(diǎn)（﹣2，7）（﹣1，2），（0，﹣1）代入y＝bx+c，得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣1，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝m＝22﹣2×2﹣1＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，那么BC＝ 2csα ．（結(jié)果用α的銳角三角函數(shù)表示）
【分析】根據(jù)余弦的定義可得BC＝AB?csB＝2csα．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AB＝2，
∵csB＝，
∴BC＝AB?csB＝2csα．
故答案為：2csα．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，那么與相等的向量是 和 ．
【分析】由點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可得DF∥AC，DF＝CE＝EA＝CA，從而可得與相等的向量．
【解答】解：∵D、F分別是BC、BA的中點(diǎn)，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥AC，DF＝CE＝EA＝CA，
故與相等的向量是和．
故答案為：和．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量及三角形的中位線定理，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)及向量相等的含義．
15．（4分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與直線AC交于點(diǎn)H．如果PH＝AH，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ．
【分析】用待定系數(shù)法可得，由A（﹣4，0），C（0，3）可得直線AC解析式為，，設(shè)，可得，由△AHG∽△ACO，可得，故，即可解得P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：把A（﹣4，0），C（0，3）代入得：
，
解得，
∴；
如圖：
設(shè)直線AC解析式為y＝px+q，由A（﹣4，0），C（0，3）可得：
，
解得，
∴直線AC解析式為，
，
設(shè)，則，
∴，，
∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，
∴△AHG∽△ACO，
∴，
即，
∴，
∵PH＝AH，
∴，
解得或m＝﹣4（與A重合，舍去），
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．
16．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，AF＝2FD，直線BF與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如果BE＝2，那么EG的長(zhǎng)是 3 ．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，再證△AEF∽△CEB，求出EF的長(zhǎng)，然后證△GFD∽△GBC，求出GF的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AF＝2FD，
∴AF＝AD＝BC，DF＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝，
∴EF＝EB＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴△GFD∽△GBC，
∴＝＝，
即＝，
解得：GF＝，
∴EG＝EF+GF＝+＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出EF和GF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
17．（4分）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，點(diǎn)E、F分別在線段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么ct∠ABD＝ ．
【分析】過(guò)B作BG⊥AD于G，交AE于點(diǎn)H，證明△BGF∽△ADE，即可得，設(shè)BG＝2t，則AB＝AD＝3t，由勾股定理可得，最后求出ct∠ABD的值即可．
【解答】解：如圖，過(guò)B作BG⊥AD于G，交AE于點(diǎn)H，
∵BG⊥AD，AE⊥BF，
∴∠BOA＝∠BGA＝90°，
∵∠BHO＝∠AHG，
∴∠GBF＝∠DAE，
又∵∠BGF＝∠ADE．
∴△BGF∽△ADE．
∴，
設(shè)BG＝2t，則AB＝AD＝3t，
∴，
∴，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．
18．（4分）如圖，已知在矩形ABCD中，連接AC，，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A′、D′處，邊A′B′、A′C分別與邊AD交于點(diǎn)M、N，MN﹣AM＝5，那么線段MN的長(zhǎng)為 15 ．
【分析】連接BD，作A′E⊥AD于E，設(shè)AB＝CD＝3x，AD＝BC＝4x，則AC＝5x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：B′C＝BC＝4x，A′B′＝AB＝3x，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，證明△B′AM∽△DAC，得出，由勾股定理得出，推出，證明△AMB′∽△A′ME，求出，，得到，證明△A′EN∽△CDN，得出，求出，結(jié)合MN﹣AM＝5得到關(guān)于x的方程，求出x的值即可得解．
【解答】解：如圖，連接BD，作A′E⊥AD于E，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵，
∴設(shè)AB＝3x，AD＝4x，
∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝4x，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：B′C＝BC＝4x，A′B′＝AB＝3x，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，
∴AB′＝AC﹣B′C＝x，∠AB′M＝180°﹣∠A′B′C＝90°，
∵∠B′AM＝∠DAC，
∴△B′AM∽△DAC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵A′E⊥AD，
∴∠A′EM＝∠AB′M＝90°，
∵∠AMB′＝∠A′ME，
∴△AMB′∽△A′ME，
∴，
∴，，
∴，
∵∠A′EN＝∠CDN＝90°，∠A′N(xiāo)E＝∠CND，
∴△A′EN∽△CDN，
∴，
∴，
∴，
∵M(jìn)N﹣AM＝5，
∴，
∴x＝8，
∴，
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計(jì)算：．
【分析】先將各個(gè)特殊角度的銳角三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
20．（10分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BC＝2AD，OD＝1．
（1）求BD的長(zhǎng)：
（2）如果，，試用、表示向量．
【分析】（1）由題意可得△AOD∽△COB，則，即可得OB＝2，根據(jù)BD＝OB+OD可得答案．
（2）由題意得，＝，則＝，由（1）知，OB＝，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵OD＝1，
∴OB＝2，
∴BD＝OB+OD＝3．
（2）∵，BC＝2AD，
∴＝，
∴＝，
由（1）知，OB＝，
∴＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形法則、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖所示，BA和CD表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，即圖中AC大于等于CD，小明想測(cè)量一下他家所著AB樓與前面CD樓是否符合規(guī)定，于是他在AC間的點(diǎn)M處架了測(cè)角儀，測(cè)得CD樓頂D的仰角為45°，已知AM＝4米，測(cè)角儀距地面MN＝1.5米．
（1）問(wèn)：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說(shuō)出你的理由；
（2）為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里（點(diǎn)P處），用測(cè)角儀再次測(cè)得CD樓頂D的仰角為α，如果AP＝7.5米，sinα＝0.6，請(qǐng)你來(lái)計(jì)算一下CD樓的高度．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)N作NG⊥DC于點(diǎn)G，在Rt△DNG中，由∠DNG＝45°得到NG＝DG，比較AM+NG與DG+GC即可；
（2）延長(zhǎng)DP，GN交于H，由sinα＝0.6，可得tanα＝，由正切函數(shù)可求得HJ，設(shè)NG＝DG＝x，則HG＝8+4+x＝12+x，tanα＝，列方程可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)N作NG⊥DC于點(diǎn)G，
在Rt△DNG中，∵∠DNG＝45°
∴NG＝DG，
∵AC＝AM+NG，DC＝DG+GC，AM＝4m，MN＝1.5m，
AC＞DC，
∴兩樓的間距符合規(guī)定；
（2）延長(zhǎng)DP，GN交于H，
則∠H＝α，PJ＝AP﹣MN＝7.5m﹣1.5m＝6m，
∵sinα＝0.6，
∴tanα＝，
∴HJ＝＝8m，
設(shè)NG＝DG＝x，則HG＝8+4+x＝12+x，
∵tanα＝，
∴＝，
解得+x＝36，即DG＝36m，
∴DC＝DG+GC＝36+1.5＝37.5（米），
∴CD樓的高度為37.5米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，題目中涉及到了仰俯角和坡度角的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．
22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：y＝﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（2，2）、點(diǎn)B（0，2），頂點(diǎn)為點(diǎn)C，拋物線M的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．
（1）直接寫(xiě)出拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)△AOP與△ACD相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)△OAP∽△CAD時(shí)，則，即，即可求解；當(dāng)△OAP∽△CDA時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）由題意得：
，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴頂點(diǎn)C（1，3）；
（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
又∵拋物線M的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，如圖，
∴點(diǎn)D（1，0），
∵A（2，2）、B（0，2），C（1，3），D（1，0），
∴，CD＝3，，，∠AOD＝∠DCA＝45°，
又∵△AOP與△ACD相似，
∴點(diǎn)O與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，
分兩種情況討論：
當(dāng)△OAP∽△CAD時(shí)，
則，即，
解得：OP＝6，
即點(diǎn)P（6，0）；
當(dāng)△OAP∽△CDA時(shí)，
則，即，
解得：，
則點(diǎn)，
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（6，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)M在邊BC上，且∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD?BC．
（1）求證：BM＝CM；
（2）作BE⊥DM，垂足為點(diǎn)E，并交CD于點(diǎn)F．求證：2AD?DM＝DF?DC．
【分析】（1）首先證明BM＝DM，再根據(jù)已知條件證明△ADB∽△DBC，由相似的性質(zhì)可得∠BDC＝∠A＝90°，進(jìn)而證明DM＝CM，所以BM＝CM；
（2）由（1）可知M是BC的中點(diǎn)，所以DM是三角形BDC斜邊上的中線，由直角三角形的性質(zhì)可知BC＝2DM，證明Rt△DFB∽R(shí)t△DBC可得，所以BD2＝DF?DC，又因?yàn)锽D2＝AD?BC，所以BD2＝AD?BC＝AD?（2DM）＝2AD?DM．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠MDB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠MDB，∠A＝90°，
∴BM＝DM，
又∵BD2＝AD?BC，即，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠BDC＝∠A＝90°，
∴∠C＝∠MDC＝90°﹣∠DBC，
∴DM＝CM，
∴BM＝CM，
（2）∵∠MDC+∠DFB＝90°，
∴∠DFB＝∠DBC，
∴Rt△DFB∽R(shí)t△DBC，
∴，
∴DF?DC＝BD2
∵BD2＝AD?BC＝AD?（2DM）＝2AD?DM，
∴2AD?DM＝DF?DC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及比例式的證明，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不?。?br>24．（12分）已知，如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．
（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)Q落在y軸上，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線y＝x﹣，若平移后的拋物線與直線y＝x﹣2交于M、N兩點(diǎn)．
①求：MN的長(zhǎng)度；
②結(jié)合（2）的條件，直接寫(xiě)出△QMN的周長(zhǎng)的最小值 4+2 ．
【分析】（1）求出A，C點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c，即可得解；
（2）先求出∠OCA＝45°，再由對(duì)稱性可知PC⊥y軸，即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，最后利用二次函數(shù)的解析式求出結(jié)果；
（3）①先求出平移后的拋物線，再利用（x﹣m）2+m﹣＝x﹣2，得出x1+x2＝2m﹣4，x1?x2＝m2﹣4m+3，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；
②作KQ⊥MN，連接MK，MP，先求出KM+MP的最小值，即KP的長(zhǎng)，最后根據(jù)△QMN的周長(zhǎng)的最小值，即KQ+KP，得解．
【解答】解：（1）在y＝x﹣2中，令y＝0，得x＝2，令x＝0，得y＝﹣2，
∴A（2，0），C（0，﹣2）；
拋物線y＝x2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣2；
（2）如圖，
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝45°，
∵點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)Q在y軸上，
∴∠OCA＝∠PCA＝45°，
∴PC⊥y軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣2，
令x2+x﹣2＝﹣2，
解得x＝6或x＝0（舍去），
∴P（6，﹣2）；
（3）①設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為（m，m﹣），
∴平移后的拋物線的解析式為：y＝（x﹣m）2+m﹣，
令（x﹣m）2+m﹣＝x﹣2，
整理得x2+（4﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2＝2m﹣4，x1?x2＝m2﹣4m+3，
∴MN＝＝＝＝2，
∴MN的長(zhǎng)度為2；
②如圖，作KQ∥MN，并令KQ＝MN，連接MK，MP，由題可知，P（6，﹣2），Q（0，4），KQ＝MN＝2，則只需要求QM+QN的最小值即可．
∵KQ∥MN，KQ＝MN，
∴KM＝QN即KM+MP的最小值，即KP的長(zhǎng)，
∴K（﹣2，2），
∴KP＝4，
∴△QMN的周長(zhǎng)的最小值為4+2．
故答案為：4+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形是解題關(guān)鍵．
25．（14分）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)H是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在DH上，滿足AE＝AB，延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F．
（1）求：sin∠FED；
（2）點(diǎn)M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，已知點(diǎn)P在線段MN上，連結(jié)AP、BP，此時(shí)∠APB＝90°，求：ct∠ABP；
（3）連結(jié)CE．如果△CEF是以CE為腰的等腰三角形，求∠FBC的正切值．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得 AB＝AD，∠BAD＝90°，則AE＝AD＝AB，所以∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，則2∠AEB+2∠ADE+90°＝360°，所以∠AEB+∠ADE＝135°，進(jìn)而得到∠FED＝45°，即可得到sin∠FED的值；
（2）連接AC交MN于點(diǎn)O，作ME⊥AP，MF⊥BP，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
根據(jù)題意可得到，△MAN為等腰直角三角形，所以AM＝AN＝1，由直角三角形中線的性質(zhì)可得AM＝MP＝BM＝1，在Rt△AOM中，由勾股定理得：，可求出，在Rt△AOP中，由勾股定理求出，進(jìn)而得到，在Rt△AEM中，由勾股定理求出，由平行線的性質(zhì)得到∠AME＝∠ABP，從而得到，代入即可得到答案；
（3）分兩種情況：①FE＝CE，則∠EFC＝∠ECF，可推出∠EBC＝∠ECB，所以BE＝CE＝FE，作EL⊥AD于點(diǎn)L，可證明AL＝DL，所以AE＝DE＝AD，則∠EAD＝60°，可求得∠CBF＝15°，在BC上取一點(diǎn)K，連接FK，使FK＝BK，則∠CKF＝∠KFB+∠CBF＝30°，所以FK＝BK＝2CF，，；②CF＝CE，則∠CEF＝∠CFE，可證明點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，則∠BAE＝∠DAE＝45°，求得∠ABE＝∠ADE＝67.5°，則∠CBF＝∠CDP＝22.5°，進(jìn)而證明△BCF≌△DCP（ASA），得到CF＝CP，可證明∠PFB＝∠CBF＝22.5°，則，即可求得．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，AE＝AB，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴AE＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，
∵∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD＝360°，
∴2∠AEB+2∠AED+90°＝360°，
∴∠AEB+∠AED＝135°，
∴∠BED＝135°，
∴∠FED＝180°﹣135°＝45°，
∴．
（2）由題可得，連接AC交MN于點(diǎn)O，作ME⊥AP，MF⊥BP，如圖：
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∵點(diǎn)M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，
∴△MAN為等腰直角三角形，
∴AM＝AN＝1，∠AMO＝45°，
∵∠APB＝90°，
∴AM＝MP＝BM＝1，
∵∠AMO＝∠MAO＝45°，
∴AO⊥MN，
∴在Rt△AOM中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：，
∵M(jìn)E⊥AP，AP⊥BP，
∴∠AME＝∠ABP，
∴．
（3）由題可得，①當(dāng)△CEF是等腰三角形，且FE＝CE，如圖：
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BCF＝90°，
∴∠EBC+∠EFC＝90°，∠ECB+∠ECF＝90°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴BE＝CE＝FE，
作EL⊥AD于點(diǎn)L，則∠ELD＝∠BAD＝90°，
∴EL∥AB∥CD，
∴，
∴AL＝DL，
∴AE＝DE＝AD，
∴∠EAD＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴∠CBF＝90°﹣75°＝15°，
在BC上取一點(diǎn)K，連接FK，使FK＝BK，則∠KFB＝∠CBF＝15°，
∴∠CKF＝∠KFB+∠CBF＝15°+15°＝30°，
∴FK＝BK＝2CF，
∴，
∴，
∴，
②△CEF是等腰三角形，且CF＝CE，如圖：
∴∠CEF＝∠CFE，
∵CD∥AB，
∴∠CFE＝∠ABE＝∠AEB，
∴∠CEF＝∠AEB，
∴∠CEB+∠AEB＝∠CEB+∠CEF＝180°，
∴點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，
∵AB＝AD＝BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BCA＝∠DCA＝45°，
∴，
∴∠CBF＝∠CDP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵CB＝CD，∠BCF＝∠DCP，
∴△BCF≌△DCP（ASA），
∴CF＝CP，
∴∠CPF＝∠CFP＝45°，
∴∠PFB＝∠CPF﹣∠CBF＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠PFB＝∠CBF，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：∠FBC的正切值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線分線段成比例定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)與解直角三角形，數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
7
2
﹣1
﹣2
m
2
7
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
7
2
﹣1
﹣2
m
2
7

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2020-2021學(xué)年上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

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