一、單選題
1．設(shè)全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．
C．D．
2．化簡等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)參加100米比賽，決出第1名到第5名的名次．比賽結(jié)束后甲說：“我不是第1名”，乙說：“我不是第5名”．根據(jù)以上信息，這5人的名次排列情況種數(shù)為（ ）
A．72B．78C．96D．120
5．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
6．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c互不相等，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，（其中為自然常數(shù)），則、、的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
8．將方程的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列，記，則=（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法正確的是（ ）
A．若對，，有，則數(shù)列一定是等差數(shù)列
B．若對，，有，則數(shù)列一定是等比數(shù)列
C．已知，則一定是等差數(shù)列
D．已知，則一定是等比數(shù)列
10．已知 的內(nèi)角 所對的邊分別為 ， 下列四個命題中， 正確的命題是（ ）
A．在中，若，則
B．若，則是等腰三角形
C．若在線段 AB 上，且，則的面積為8
D．若 ，動點(diǎn)在所在平面內(nèi)且 ，則 動點(diǎn)的軌跡的長度為
11．已知矩形，，，將沿對角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐，在翻折的過程中下列結(jié)論成立的是（ ）
A．三棱錐的體積最大值為
B．三棱錐的外接球體積不變
C．異面直線與所成角的最大值為
D．與平面所成角的余弦值最小值為
三、填空題
12．盒中有個紅球，個黑球，今隨機(jī)地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是 ．
13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，，若與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
14．已知函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，其中則的值為 .
四、解答題
15．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時，．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列bn滿足，且，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式．
16．如圖，、、為圓錐三條母線，.
(1)證明：；
(2)若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求平面和平面所成角的余弦值．
17．已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程；
(2)不過點(diǎn)的動直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)．
18．已知函數(shù).
(1)若的極大值為，求的值；
(2)當(dāng)時，若使得，求的取值范圍.
19．法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：
①當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，滿足的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)；
②當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).
請用以上知識解決下面的問題：
已知的內(nèi)角所對的邊分別為，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，且.
(1)求；
(2)若，求的最大值；
(3)若，求實(shí)數(shù)的最小值.
參考答案：
1．C
【分析】求出集合A，由圖可知陰影部分表示的集合為，根據(jù)并集的定義即可得解.
【詳解】解：，，
圖中陰影部分表示的集合為，且.
故選：C.
2．A
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，結(jié)合三角函數(shù)值的符號，化簡所求表達(dá)式.
【詳解】依題意，原式
①.
由于，所以，故①可化為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查誘導(dǎo)公式，考查三角函數(shù)值在各個象限的符號，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.
3．B
【分析】計(jì)算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，滿足，
所以，
又，故，
故選：B
4．B
【分析】討論甲是否在第5名，根據(jù)排列組合公式計(jì)算即可.
【詳解】當(dāng)甲是第5名時，共有種；
當(dāng)甲不是第5名時，共有種；
綜上，共有78種.
故選：B
5．D
【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D
6．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，根據(jù)結(jié)合函數(shù)的對稱性可得及的范圍，從而求解的范圍.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖：

設(shè)，且，
則函數(shù)與直線的三個交點(diǎn)從左到右依次為，，，
則點(diǎn)與在函數(shù)上，而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，由得，
若滿足，則，所以，
所以，即的取值范圍是.
故選：A.
7．D
【分析】將變形，得，，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可得，，再根據(jù)可得答案.
【詳解】，，，
設(shè)，則，
令，得，令，得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)?，所以，所以，所以?br>所以，即，
因?yàn)?，所以?br>綜上所述：.
故選：D
8．C
【分析】利用三角恒等變形和輔助角公式化歸為正弦值求角，由于不是特殊值，這里借助反三角函數(shù)來表示所求的角，然后組成數(shù)列，并依次計(jì)算，利用周期性可得知數(shù)列an是一個周期數(shù)列，從而易求得結(jié)果.
【詳解】由方程變形得：，
所以或，，
即或，，
因?yàn)?，根?jù)所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列
所以，，
，，，
即，
則，此時；
同理，
則，此時；
同理可計(jì)算得，這樣數(shù)列an就是一個周期為2的數(shù)列，
所以，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
關(guān)鍵點(diǎn)一：因?yàn)椴皇翘厥庵等呛瘮?shù)方程求角的集合，所以需要用到反三角表示正數(shù)角的數(shù)列；
關(guān)鍵點(diǎn)二：有了角的集合才可以依次求出數(shù)列，從而可得到周期數(shù)列an，即可求指定的和.
9．AC
【分析】利用等差，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及等差，等比數(shù)列的前項(xiàng)和的形式，可逐一判斷.
【詳解】由和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，
可得數(shù)列是等差數(shù)列，即A正確；
當(dāng)時，由和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，
可得數(shù)列是等比數(shù)列，即B不正確；
由等差數(shù)列前項(xiàng)和，
得可看成的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)，則C正確；
由等比數(shù)列前項(xiàng)和，
若，則，所以，
則此時數(shù)列不是等比數(shù)列，則D錯.
故選：AC
10．ACD
【詳解】利用正弦定理結(jié)合三角形中大邊對大角，可判斷A；化簡條件得到，求得或，可判定B；設(shè)，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，結(jié)合面積公式，可判定C；根據(jù)題意得到點(diǎn)在以為弦的一個圓上，結(jié)合正弦定理和圓的性質(zhì)，以及弧長公式，可判定D．
【分析】對于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正確；
對于B中，由，
可得，
整理得，
由正弦定理得，可得，
因?yàn)椋傻没?，即或?br>所以是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；
對于C，由在線段上，且，，，，
則，設(shè)，
在中，利用余弦定理，
整理得，解得或（舍去），
所以，
在中，可得，則，
所以的面積為，故C正確；
對于D，在中，因?yàn)椋?br>則點(diǎn)在以為弦的一個圓上，
由正弦定理可得外接圓的直徑為，即，
當(dāng)點(diǎn)在外部時，如圖所示，
因?yàn)?，可得，所以?br>所以的長度為，
同理，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時，可得對應(yīng)的弧長也是，
所以動點(diǎn)的軌跡的長度為，故D正確．
故選：ACD.
11．ABD
【分析】對于A， 當(dāng)平面平面時，三棱錐的高最大，再棱錐體積公式計(jì)算即可；
對于B，設(shè)的中點(diǎn)為，則由知，，所以為三棱錐外接球的球心，其半徑為，再用球的體積公式計(jì)算即可；
對于C，若，由，，平面，平面，可得平面，得到，因?yàn)?，直角三角形斜邊最長，知道不成立;
對于Ｄ, 因?yàn)槭嵌ㄖ担瑒t只需到面的距離最大時，與平面 所成角最大，當(dāng)平面平面時，到面的距離最大為，再用銳角三角函數(shù)和同角三角函數(shù)關(guān)系分析計(jì)算即可.
【詳解】解：對于A，，
當(dāng)平面平面時，三棱錐的高最大，
此時體積最大值為，故A正確；
對于B，設(shè)的中點(diǎn)為，則由知，，
所以為三棱錐外接球的球心，其半徑為，
所以外接球體積為，即三棱錐的外接球體積不變，故B正確；
對于C，若，由，，平面，平面，
可得平面，因?yàn)槠矫?，則，
因，根據(jù)直角三角形斜邊最長，知道不成立，故C錯誤；
對于D，因?yàn)槭嵌ㄖ担瑒t只需到面的距離最大時，與平面 所成角最大，
當(dāng)平面平面時，到面的距離為，
設(shè)與平面 所成角為，此時，
因?yàn)闉殇J角，所以，
即與平面 所成角的余弦值最小值為，故D正確．
故選：ABD
12．/
【分析】根據(jù)，由全概率公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；
，；，，
.
故答案為：.
13．
【分析】利用中位線的性質(zhì)得到，且，根據(jù)得到，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到雙曲線方程.
【詳解】因?yàn)椋?，且為中點(diǎn)，
所以，且，，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
直線的方程為，所以，則，
在直角三角形中利用勾股定理得，
解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.

14．1
【分析】令，則原函數(shù)會轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程的根，通過韋達(dá)定理確定根的情況，同時研究內(nèi)層函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合研究零點(diǎn)的范圍.
【詳解】設(shè)，
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且時，；時，，
∴，
作出的圖象，如圖
要使有三個不同的零點(diǎn)，其中
令，則需要有兩個不同的實(shí)數(shù)根（其中）
可得，
∵，∴，則
∴，則，且
∴，
故答案為：1.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的思想來確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，以及零點(diǎn)之間的關(guān)系，再利用韋達(dá)定理化簡進(jìn)而求得結(jié)果。
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)結(jié)合題意可得是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)累加法與錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）由，得，
因?yàn)?，所以?br>所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，
所以，當(dāng)時，，
當(dāng)時，也滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由知：
當(dāng)時，，
①，
則②，
由得：，
化簡得：，
當(dāng)時，也滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，則，故可得面，從而得到.
（2）利用向量法可求面、面的法向量，計(jì)算出它們的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.
【詳解】（1）
取中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椤?、為圓錐三條母線，，
所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所?
（2）因?yàn)闉橹睆?，故為底面圓的圓心，故平面，而，
故以為原點(diǎn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)閳A錐側(cè)面積為為底面直徑，，
所以底面半徑為1，母線長為，
所以，
則可得，
故，
設(shè)為面的一個法向量，
則，
令，則，所以，
設(shè)為面的法向量，
則，
令，則，所以，
則，
所以平面和平面所成角的余弦值為.
17．(1)；
(2)證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得；
（2）對直線的斜率分等于0和不等于0討論，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得.
【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，
解得，
由三角形面積為，得，則，，
所以的方程是.
（2）由（1）知，點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時，設(shè)直線，
則，，且，即，
，不合題意；
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去x得：，
則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當(dāng)時，直線過點(diǎn)，不符合題意，因此，
直線：恒過定點(diǎn).

18．(1)2
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，令，解得或，分類討論，求得函數(shù)單調(diào)性和極大值，即可求解；
（2）當(dāng)時，由（1）得到的單調(diào)性，分別求得和，結(jié)合題意，分類討論，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，可得，
因?yàn)?，令，解得或?br>當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以的極大值為，不符合題意；
當(dāng)時，即時，f′x≥0，在上單調(diào)遞增，無極大值；
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以極大值為，解得.
（2）解：當(dāng)時，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，
當(dāng)時，即時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，
又因?yàn)楫?dāng)時，，
因?yàn)?，所以，?dāng)時，使得，
當(dāng)時，即時，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，
若滿足題意，只需，即，
當(dāng)時，即時，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
所以函數(shù)的最小值為，
所以，
又因?yàn)闀r，，
若滿足題意，只需，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)時，不存在使得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)倍角公式得到，由正弦定理得到，從而；
（2）根據(jù)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)得到，再由及三角形面積公式得到，因?yàn)榧熬挡坏仁剑?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
（3）設(shè)，所以，在三個小三角形中分別用余弦定理表示出、、AB再結(jié)合得到，從而由均值不等式得，從而得到的最小值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，即，
由正弦定理得.
所以.
（2）

由（1）知，所以的三個角都小于，
因?yàn)辄c(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，所以.
由得：
，
整理得.
又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以，
所以的最大值為.
（3）由（2）知.
設(shè)，
由得.
由余弦定理得：
在中，，
在中，，
在中，，
因?yàn)?，所以?br>整理得.
因?yàn)閙+n+2=mn≤m+n22，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，整理得，解得或者（舍去），
所以實(shí)數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：新定義問題的解法
根據(jù)題干所給定義，轉(zhuǎn)化成所學(xué)知識，從而解決問題.
在本題中，給出了當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法，即“滿足的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)”，由（1）知為直角三角形，再結(jié)合點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)知，從而解決（2）（3）兩個小題.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
B
D
A
D
C
AC
ACD
題號
11









答案
ABD









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2024屆廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學(xué)高三上學(xué)期第二次統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題含答案

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紅嶺中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題及解析

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