一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 下列說法正確的是（ ）
A. 若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
B. 兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C. 若，，則
D. 向量與向量的長度相等
【答案】D
【解析】單位向量是指模等于的向量.若兩個(gè)單位向量平行，它們的方向可能相同或相反.
當(dāng)方向相反時(shí)，這兩個(gè)單位向量并不相等.所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長度相等的向量，它們的方向不一定相同.向量由大小和方向共同決定，方向不同時(shí)，終點(diǎn)也不同.
比如，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，長度都為的向量，一個(gè)沿軸正方向，一個(gè)沿軸正方向，它們的終點(diǎn)顯然不同.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意向量和，都有且，但與不一定平行.
因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都平行.所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
向量與向量是方向相反的向量，但它們的長度是相等的，
因?yàn)橄蛄康拈L度只與向量的大小有關(guān)，與方向無關(guān).所以D選項(xiàng)正確.
故選：D.
2. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】由于為純虛數(shù)，
所以且，
解得.
故選：C.
3. 下列各式中不能化簡為的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A：，不符合題意；
B：因?yàn)?，?br>若，即，可得，
即點(diǎn)與點(diǎn)重合，顯然這不一定成立，
所以與不一定相等，符合題意；
C：，不符合題意；
D：，不符合題意.
故選：B.
4. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.
故選：B．
5. 已知向量，，，若點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得，，
若點(diǎn)三點(diǎn)共線，則點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，
即，解得：，所以的值為.
故選：B.
6. 已知平面向量滿足，且，則（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由，得，則，
由，得，因此，
所以.
故選：A.
7. 設(shè)非零向量滿足，，則四邊形ABCD形狀（ ）
A. 平行四邊形B. 矩形C. 正方形D. 菱形
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>根據(jù)平行四邊形法則，所以四邊形ABCD是菱形，
又因?yàn)?，所以，所以四邊形ABCD是正方形.
故選：C.
8. 在中，點(diǎn)D在BC上，且滿足，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
由三點(diǎn)共線可得，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分.）
9. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中真命題是（ ）
A. B.
C. 的共軛復(fù)數(shù)為 D. 的虛部為
【答案】ABCD
【解析】，
，故A正確；
，故B正確；
的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；
的虛部為，故D正確.
故選：ABCD.
10. 已知向量，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 與的夾角為
C. 若，則D. 存在，使得
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，由題可知，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，，故與的夾角為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，若，則，則當(dāng)時(shí)，可以使，故D正確.
故選：ACD.
11. 在正方形中，，點(diǎn)E滿足，則下列說法不正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，B. 當(dāng)時(shí)，
C. 存在t，使得D. 的最小值為2
【答案】BC
【解析】由題可以A為原點(diǎn)，AB、AD分別為和軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則由題意，故，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則由可知，
所以，又，
故，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，則由可知，
所以，，
所以，
故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由可得，故，，
則，
故不存在t，使得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由C得，
故，
又，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D正確.
故選：BC.
三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 若向量，，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則的取值范圍為____________.
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄?，，能作為平面?nèi)所有向量的一組基底，
所以，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以若，則，即的取值范圍為.
13. 已知，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
點(diǎn)在線段的延長線上，且，，
即，．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
14. 在山腳A測得山頂P的仰角，沿傾斜角的公路向上走600m到達(dá)B處，在B處測得山頂P的仰角，如圖，若在山高的處的點(diǎn)S位置建造下山索道，則此索道離地面的高度為______m.
【答案】
【解析】過B作，垂足為，
因?yàn)椋?br>在中，可得，
在中，則，
由正弦定理可得，
在中，可得，
則山的高度，所以索道離地面的高度為（m）.
四、解答題（共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．
（1）若，求證：三點(diǎn)共線；
（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值，并指出與反向共線時(shí)k的取值.
解：（1）由，
得，
，
所以，且有公共點(diǎn)B，所以三點(diǎn)共線.
（2）由與共線，
則存在實(shí)數(shù)，使得，即，
又是不共線的兩個(gè)非零向量，因此，
解得，或，實(shí)數(shù)k的值是.
當(dāng)時(shí)，與反向共線.
16. 已知向量與夾角，且，．
（1）求，，在上的投影向量；
（2）求向量與夾角的余弦值．
解：（1），所以，
，所以，
在上的投影向量為：
（2），
設(shè)向量與夾角為，則.
17. 在中，角的對(duì)邊分別是，已知.
（1）求；
（2）若，且周長為，求.
解：（1）在中，由及正弦定理得，而，
則，又，所以或.
（2）由的周長為，，得，
在中，由余弦定理得，即，
則，當(dāng)時(shí)，，
于是，，此方程無解；
當(dāng)時(shí)，，于是，解得或，
所以當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，或.
18. 在中，角 的對(duì)邊分別是，．
（1）求C；
（2）若，的面積是，求的周長．
解：（1）由題意在中，，
即，故，由于，所以.
（2）由題意的面積是，，即，
由，得，
故的周長為.
19. 如圖，已知中，，D是邊BC上一點(diǎn)，且．
（1）設(shè)，，試用，表示．
（2）若，求的大小．
解：（1）因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）因?yàn)椋?br>由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>，
在中，，所以，
則，所以，
又因?yàn)闉殇J角，所以的大小為.

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