廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學（紅嶺教育集團）2025屆高三第五次統(tǒng)一考試數(shù)學試題（附答案解析）-試卷下載-教習網

一、單選題
1．已知集合，，則（）
A．B．C．D．
2．在二項式的展開式中，含項的系數(shù)為（）
A．B．C．D．
3．某正四棱錐的底面邊長為2，側棱與底面的夾角為60°，則該正四棱錐的體積為（）
A．B．C．D．
4．為了給地球減負，提高資源利用率，2025年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經成為新時尚。某市2025年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元，在此基礎上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．2028年B．2029年C．2030年D．2031年
5．已知，且，則（）
A．B．C．D．
6．已知直線與圓相交于兩點．若圓上存在一點，使得四邊形為菱形，則實數(shù)的值是（）
A．B．C．D．
7．設是各項均正且不相等的等比數(shù)列的前n項和，命題，命題為等比數(shù)列，則命題p是q的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．已知函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列說法正確的是（）
A．若，，，則事件相互獨立
B．已知隨機變量，則
C．數(shù)據(jù)2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位數(shù)為11
D．已知隨機變量，若，則
10．已知，是復數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．若為實數(shù)，則z是實數(shù)B．若為虛數(shù)，則z是虛數(shù)
C．若，則是實數(shù)D．若，則
11．正方形的邊長為1，、分別為邊、上的動點，則（）

A．若，則的周長有最大值為
B．若，則點到直線的距離有最小值為
C．若的周長為定值2，則的值可以為
D．若的周長為定值2，則點到直線的距離為定值
三、填空題
12．設，為單位向量，且，則 .
13．已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為 .
14．雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為．
四、解答題
15．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)設BC的中點為D，且，求的取值范圍．
16．在三棱錐中，，，，為的中點，為靠近的三等分點.

(1)求證：平面平面；
(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成的角.
17．某大學有甲、乙兩個運動場.假設同學們可以任意選擇其中一個運動場鍛煉，也可選擇不鍛煉，一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運動場.若同學們每次鍛煉選擇去甲或乙運動場的概率均為，每次選擇相互獨立.設王同學在某個假期的三天內去運動場鍛煉的次數(shù)為，已知的分布列如下：（其中，）
記事件表示王同學假期三天內去運動場鍛煉次，事件表示王同學在這三天內去甲運動場鍛煉的次數(shù)大于去乙運動場鍛煉的次數(shù).
(1)當時，求的值；
(2)是否存在實數(shù)，使得？若存在，求的值：若不存在，請說明理由.
18．已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點和坐標原點，點為橢圓上異于的一動點，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)過橢圓的右焦點的直線與交于兩點，記的面積為，過線段的中點作直線的垂線，垂足為，設直線的斜率分別為.
①求的取值范圍；
②求證：為定值.
19．若函數(shù)的導函數(shù)是以為周期的函數(shù)，則稱函數(shù)具有“性質”．
(1)試判斷函數(shù)和是否具有“性質”，并說明理由；
(2)已知函數(shù)，其中具有“性質”，求函數(shù)在上的極小值點；
(3)若函數(shù)具有“性質”，且存在實數(shù)使得對任意都有成立，求證：為周期函數(shù)．
（可用結論：若函數(shù)的導函數(shù)滿足，則（常數(shù)）．）
0
1
2
3
《廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學（紅嶺教育集團）2025屆高三第五次統(tǒng)一考試數(shù)學試題》參考答案
1．D
【分析】根據(jù)并集的定義即可選出答案.
【詳解】因為，，所以.
故選：D.
2．D
【分析】寫出二項展開式通項公式，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.
【詳解】二項式的展開式通項為，
令，解得，所以，展開式中含項的系數(shù)為.
故選：D.
3．A
【分析】利用線面角求出正四棱錐的高，再利用其體積.
【詳解】在正四棱錐中，令，連接，平面，
則，由，得，
所以該正四棱錐的體積為.
故選：A.
4．D
【分析】根據(jù)題意設未知數(shù)并列出不等式，根據(jù)參考數(shù)據(jù)解不等式即可.
【詳解】設2025年后第年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元，
則，即，
則，
即.
所以，即2031年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元.
故選：D.
5．C
【分析】應用兩角和差正弦公式計算，再結合二倍角余弦公式計算即可.
【詳解】已知，且，
則，所以，
則.
故選：C.
6．C
【分析】由四邊形為菱形，得到到的距離等于1，由點到線的距離公式列出等式求解即可；
【詳解】

因為圓上存在一點，使得四邊形為菱形，
所以到的距離等于,
即，
解得：，
故選：C.
7．C
【分析】先根據(jù)若等比數(shù)列，分析為等比數(shù)列是否成立，再分析當為等比數(shù)列時是否滿足即可
【詳解】由題意，因為各項均正且不相等的等比數(shù)列滿足，故公比為，此時，故為等比數(shù)列.
當為等比數(shù)列時，設公比為，且.則為等比數(shù)列.故為常數(shù)，即為常數(shù)，故，即，故.
綜上有命題p是q的充要條件
故選：C
8．B
【分析】設，先轉化問題為在上恒成立，進而結合導數(shù)分析函數(shù)的單調性得到對恒成立，進而得到對恒成立，即，，再構造函數(shù)，，進而結合導數(shù)求解即可.
【詳解】因為，所以，
因為當時，不等式恒成立，
即當時，不等式恒成立，
所以當時，不等式恒成立，
即當時，不等式恒成立，
即當時，不等式恒成立，
即當時，不等式恒成立，
設，，則，
所以函數(shù)在上單調遞增，
所以在上恒成立，
可以轉化為在上恒成立，
即對恒成立，
即對恒成立，即，.
設，，則，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，又，，顯然，
所以，所以，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是觀察原不等式的特點，將問題轉化為在上恒成立，再結合導數(shù)進行求解即可.
9．ABD
【分析】對于A，根據(jù)對立事件的概率公式求出，由結合事件相互獨立的定義即可判斷；對于B，根據(jù)二項分布的方差公式求解即可；對于C，根據(jù)百分位數(shù)的定義，求值判斷即可；對于D，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可判斷.
【詳解】對于A，，則，所以事件相互獨立，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，將數(shù)據(jù)按從小到大排序為：.共有8個數(shù)據(jù)，所以第75百分位數(shù)為第6，7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為，故C錯誤；
對于D，隨機變量，且，則，所以，故D正確.
故選：ABD.
10．BC
【分析】對于AB，設，由復數(shù)概念以及乘法即可判斷；對于CD，設，由復數(shù)概念以及乘法即可判斷.
【詳解】對于A，B，設，則，
若為實數(shù)，則，但這不一定能得到，比如，
這個時候滿足為實數(shù)，但不是實數(shù)，故A錯誤；
若為虛數(shù)，則，這一定能得到，此時是虛數(shù)，故B正確；
對于C，D，設，
若，這表明，
所以是實數(shù)，故C正確；
若，
這表明，
但不一定等于0，
比如，這個時候有，
但，故D錯誤.
故選：BC.
11．AD
【分析】選項A，B：設，，若，結合基本不等式計算判斷；選項C，D：設線段、的長度分別為、，應用兩角和正切公式計算判斷C，根據(jù)距離公式可得距離為判斷D.
【詳解】選項A：設，，若，又因為，
所以的周長為，
當且僅當時取等號，所以的周長有最大值為，A選項正確；
選項B：設，，若，又設點到直線的距離為，
所以，所以，
又因為，，當時取等號，則點到直線的距離有最大值為，B選項不正確；
選項C：設線段、的長度分別為、，，則，，
因為的周長為定值，所以．
則由勾股定理得，即，
又因為，，于是
因為，所以，即，故C錯誤；
選項D：

以為軸正向，為軸正向建立平面直角坐標系，
又選項C可知：，，，，
則直線的方程為，即，
即，
則C點到直線的距離
，故D正確．
故選：AD.
12．
【分析】根據(jù)，是單位向量以及，求出的值，通過求解即可得到的值.
【詳解】解：由題意，，為單位向量，且
∴
解得：
∵
∴
故答案為：.
13．
【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導數(shù)求切線斜率，由點斜式可得切線方程.
【詳解】因為，所以，
聯(lián)立可解得，所以，
所以.
所以曲線在點處的切線方程為，
故所求的切線方程為.
故答案為：.
14．/
【分析】由圓的切線性質及雙曲線定義，可得關系式，
，從而解出、，利用勾股定理可解.
【詳解】內切圓Q分別與，，，軸切于點S，T，N，P
則四邊形、都為正方形，
設內切圓半徑為，由圓的切線性質，
則，則，①
又因為，②
且雙曲線定義得，，③
由①、②、③得，
所以，
從而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案為：
15．(1)
(2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求角C；
（2）設，由正弦定理，把表示成的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質求取值范圍.
【詳解】（1）中，，由正弦定理得．
所以，
即，
所以；
又，則，所以，
則有，又因為，則，即；
（2）設，則中，由可知，
由正弦定理及可得，
所以，，
所以，
由可知，，，
所以．
即的取值范圍.
16．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用勾股定理結合余弦定理證得利用線面垂直的判定定理證得平面，再證明面面垂直即可；
（2）根據(jù)題意找出二面角的平面角，利用勾股定理結合余弦定理證得兩組線線垂直，從而得到平面，由此找出直線與平面所成的角的平面角并求出角的大小.
【詳解】（1）在中，，，，則，
所以
在中，，，
根據(jù)余弦定理，，
解得，則有，所以
同理，在中，，，，則，
所以
在中，，，
根據(jù)余弦定理，，
解得，則有，所以
由且平面，
平面.
又平面，
平面平面.
（2）由（1）可知，
則即為二面角的平面角，即，
又，，
由余弦定理，，
在中，，所以
又為的中點，，
則，所以
又平面，
平面.
則即為直線與平面所成角的平面角，且，
所以，直線與平面所成角為.
17．(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）利用分布列的性質求得，再計算出，代入全概率公式計算即得；
（2）先由得到；再按照均值定義得出，消去得出方程，分析函數(shù)得其最小值為正，方程無解，即不存在值，使得.
【詳解】（1）當時，，
則，解得.
由題意，得.
由全概率公式，得
（2）由，得.
假設存在，使.
將上述兩式左右分別相乘，得，化簡得：（*）.
設，則.
由，得，由，得，
則在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，
即方程（*）無解，故不存在值，使得.
18．(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構造方程解方程可得的方程為；
（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達式，利用對勾函數(shù)單調性即可求得的取值范圍為；
②利用中點坐標公式求得，得出斜率表達式即可得，可得為定值.
【詳解】（1）由題意知，解得，
所以的方程為；
（2）①易知，
設直線方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，消去可得，
所以，
且，
可得，
令，
可得，由對勾函數(shù)性質可得在時單調遞增；
所以可得；
即的取值范圍為.
②易知，
可得；
所以
；
因此為定值.
19．(1)不具有“性質”，具有“性質”，理由見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)所給定義計算可得；
（2）法一：依題意可得可得對恒成立，再令、求出、的值，再利用導數(shù)求出函數(shù)的極小值點；法二：依題意可得，所以且，即可求出、的值，再利用導數(shù)求出函數(shù)的極小值點；
（3）令，則，從而得到（為常數(shù)），法一：分、、三種情況討論；法二：分和兩種情況討論，當時，不妨令，記，推出矛盾即可得解.
【詳解】（1）不具有“性質”．理由是：，，；
具有“性質”．理由是：，．
（2）法一：，則，
由可得對恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，從而恒成立，
即有且．
由得，所以，當時，令可得，列表如下：
函數(shù)在的極小值點為．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，當時，令可得，列表如下：
函數(shù)在的極小值點為．
（3）令，因為具有“”性質
，
，
（為常數(shù)），
法一：
① 若，是以為周期的周期函數(shù)；
②若，由，
當時，，這與矛盾，舍去；
③若，由，
當時，，這與矛盾，舍去．
綜上，．，所以是周期函數(shù)．
法二：
當時，，所以是周期函數(shù)．
當時，不妨令，記，其中表示不大于的最大整數(shù)．（同理可證），
若存在，這．
這與矛盾．
若存在，這．
這與矛盾．
若不存在，使得或，則，此時，與矛盾，故舍去．
綜上，．，所以是周期函數(shù)．
【點睛】方法點睛：函數(shù)新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
D
C
C
C
B
ABD
BC
題號
11

答案
AD

x
+
0
0
+
極大值
極小值
x
+
0
0
+
極大值
極小值

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