一、選擇題
1．雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作其中一條漸近線的垂線，垂足為P.已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為( )
A.B.C.D.
2．若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°,所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是( )
A.B.C.D.
3．已知雙曲線的離心率為,其中一條漸近線與圓交于A,B兩點(diǎn),則( )
A.B.C.D.
4．已知橢圓，，為兩個焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則( )
A.B.C.D.
5．對于一段曲線C,若存在M點(diǎn),使得對于任意的,都存在,使得,則稱曲線C為“自相關(guān)曲線”.現(xiàn)有如下兩個命題:①任何橢圓都是“自相關(guān)曲線”;②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”,則下列正確的是( )
A.①成立②不成立B.①不成立②成立C.①成立②成立D.①不成立②不成立
6．已知點(diǎn),直線,動點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)P,則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.點(diǎn)P的軌跡方程是
B.直線是“最遠(yuǎn)距離直線”
C.平面上有一點(diǎn),則的最小值為5
D.點(diǎn)P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（即沒有交點(diǎn)）
7．已知曲線是雙紐線,則下列結(jié)論正確的是( )
A.曲線C的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱
B.曲線C經(jīng)過4個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
C.若直線與曲線C只有一個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
D.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3
二、多項選擇題
8．在平面上,定點(diǎn)、之間的距離.曲線C是到定點(diǎn)、距離之積等于的點(diǎn)的軌跡.以點(diǎn)、所在直線為軸,線段的中垂線為軸,建立直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)是曲線C上一點(diǎn),下列說法中正確的有( )
A.曲線C是中心對稱圖形
B.曲線C上有兩個點(diǎn)到點(diǎn)、距離相等
C.曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是
D.曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為
9．到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知兩定點(diǎn),,動點(diǎn)滿足,設(shè)P的軌跡為曲線C,則下列命題錯誤的是( )
A.曲線C過原點(diǎn)B.P的橫坐標(biāo)最大值是2
C.P的縱坐標(biāo)最大值是D.
10．某學(xué)習(xí)小組用函數(shù)圖象:,和拋物線部分圖象圍成了一個封閉的“心形線”,過焦點(diǎn)F的直線l交（包含邊界點(diǎn)）于A,B兩點(diǎn),P是或上的動點(diǎn),下列說法正確的是( )
A.拋物線的方程為
B.的最小值為4
C.的最大值為
D.若P在上,則的最小值為
11．曲線被稱為“幸運(yùn)四葉草曲線”（如圖所示）.給出下列四個結(jié)論,正確的有( )
A.曲線C關(guān)于直線交于不同于原點(diǎn)O的,兩點(diǎn),則
B.存在一個以原點(diǎn)為中心、邊長為1的正方形,使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）;
C.存在一個以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓,使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）;
D.曲線C上存在一個點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離之積大于.
三、填空題
12．已知圓的面積為,則________.
13．已知直線與交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足“面積為”的m的一個值________.
14．在空間直角坐標(biāo)系下,由方程所表示的曲面叫做橢球面（或稱橢圓面）.如果用坐標(biāo)平面,,分別截橢球面,所得截面都是橢圓（如圖所示）,這三個截面的方程分別為,,上述三個橢圓叫做橢球面的主截線（或主橢圓）.已知橢球面的軸與坐標(biāo)軸重合,且過橢圓與點(diǎn),則這個橢球面的方程為________.
四、解答題
15．設(shè)拋物線,直線與C交于A,B兩點(diǎn),且.
（1）求p;
（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F,M,N為C上兩點(diǎn),,求面積的最小值.
16．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,,右焦點(diǎn)為F,已知.
（1）求橢圓的方程和離心率;
（2）點(diǎn)P在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)）,直線交y軸于點(diǎn)Q,若三角形的面積是三角形面積的二倍,求直線的方程.
17．已知拋物線,在上有一點(diǎn)A位于第一象限,設(shè)A的縱坐標(biāo)為.
（1）若A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,求a的值;
（2）當(dāng)時,若x軸上存在一點(diǎn)B,使AB的中點(diǎn)在拋物線上,求到直線AB的距離;
（3）直線,拋物線上有一異于點(diǎn)A的動點(diǎn)P,P在直線l上的投影為點(diǎn)H,直線AP與直線l的交點(diǎn)為Q.若在P的位置變化過程中,恒成立,求a的取值范圍.
18．在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離,記動點(diǎn)P的軌跡為W.
（1）求W的方程;
（2）已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上,證明:矩形ABCD的周長大于.
19．在平面內(nèi),若直線將多邊形分為兩部分,多邊形在l兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線l的距離之和相等,則稱為多邊形的一條“等線”,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,E的離心率為2,點(diǎn)為右支上一動點(diǎn),直線m與曲線E相切于點(diǎn)P,且與E的漸近線交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)軸時,直線為的等線.
（1）求E的方程;
（2）若是四邊形的等線,求四邊形的面積;
（3）設(shè),點(diǎn)G的軌跡為曲線,證明:在點(diǎn)G處的切線n為的等線
參考答案
1．答案：D
解析：不妨取漸近線，此時直線的方程為，與聯(lián)立并解得即.因?yàn)橹本€與漸近線垂直，所以的長度即為點(diǎn)到直線（即）的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得，所以.因?yàn)椋?，且直線的斜率為，所以，化簡得，又，，所以，整理得，即，解得.所以雙曲線的方程為，故選D.
2．答案：A
解析：由“對偶橢圓”定義得:短半軸長b與半焦距c相等的橢圓是“對偶橢圓”,
對于A,,即,A是“對偶橢圓”;
對于B,,即,B不是“對偶橢圓”;
對于C,,即,C不是“對偶橢圓”;
對于D,,即,D不是“對偶橢圓”.
故選:A
3．答案：D
解析：圓的圓心,半徑,
由雙曲線的離心率為,得,解得,
于是雙曲線的漸近線方程為,即,
當(dāng)漸近線為時,點(diǎn)到此直線距離,即直線與已知圓相離,不符合要求,
當(dāng)漸近線為時,點(diǎn)到此直線距離,則直線與已知圓相交,
所以弦長.
故選:D
4．答案：B
解析：由題意橢圓，，為兩個焦點(diǎn)，可得，，，
則①，即，
由余弦定理得，
，故，②
聯(lián)立①②，解得：，，
而，所以，
即，
故選：B
5．答案：A
解析：由于橢圓是封閉的,則總可以找到滿足題意的M點(diǎn),使得成立,
不妨設(shè)橢圓方程為,取點(diǎn),
由橢圓性質(zhì)可知,橢圓上的任意點(diǎn)P,總有,
若,則,
由,得,
整理得,
所以在橢圓上必存在點(diǎn)Q,使得成立,①成立;
在雙曲線中,假定存在M點(diǎn),顯然的最大值趨于正無窮大,的最小值是定值,
即的最小值是定值,設(shè),則,
由,顯然,不妨令,取,則,
與矛盾,②不成立.
故選:A
6．答案：D
解析：設(shè),因?yàn)閯狱c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半,
所以,整理得,A說法正確;
聯(lián)立可得,解得,
所以存在點(diǎn),直線是“最遠(yuǎn)距離直線”,B說法正確;
過P作PB垂直于直線,垂足為B,
由題意得,則,
由圖可知的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離5,C說法正確;
由得,圓C圓心為,半徑為1,
易得點(diǎn)P的軌跡與圓C交于點(diǎn),D說法錯誤;
故選:D
7．答案：D
解析：對于A,結(jié)合曲線,將代入,
方程不變,即曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,A錯誤;
對于B,令,則,解得,
令,則,解得,
令,則,解得,
故曲線C經(jīng)過的整點(diǎn)只能是,,,B錯誤;
對于C,直線與曲線必有公共點(diǎn),
因此若直線與曲線C只有一個交點(diǎn),則只有一個解,
即只有一個解為,即時,無解,
故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為,C錯誤,
對于D,由,可得,時取等號,
則曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為,即都不超過3,D正確,
故選:D
8．答案：ACD
解析：對A:由題意可得,,設(shè)點(diǎn)是曲線C上任意一點(diǎn),
則有,
顯然,,
即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)在曲線C上,
因此曲線C是中心對稱圖形,故A正確;
對B:曲線C上點(diǎn)P滿足,則點(diǎn)P在y軸上,
由得,解得,
因此曲線C上只有一個點(diǎn)到點(diǎn)、距離相等,故B錯誤;
對C:當(dāng)時,,
即,當(dāng)且僅當(dāng),
由直線三角形中線性質(zhì)可得,
亦即,時取等號,此時,
而點(diǎn)在曲線C上,即成立,因此,
曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是,故C正確;
對D:因?yàn)?
則,
當(dāng)時,由余弦定理得,
于是得,
當(dāng)時,或,有或,
因此曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為,故D正確.
故選:ACD.
9．答案：BC
解析：由題意知動點(diǎn)滿足,,,
故,
即,
即,則,
對于A,當(dāng)時,,即曲線C過原點(diǎn),A正確;
對于B,由,得,
則,解得,即P的橫坐標(biāo)最大值是,B錯誤;
對于C,因?yàn)?
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即P的縱坐標(biāo)最大值是1,C錯誤;
對于D,若,即,
令,則,即,
設(shè),,
即在上單調(diào)遞增,故,即成立,
故成立,D正確,
故選:BC
10．答案：ACD
解析：可變形為,
表示以為圓心,2為半徑的圓的上半部分;
可變形為,
表示以為圓心,2為半徑的圓的上半部分.
對于A選項,拋物線過點(diǎn),解得,
,故A選項正確;
對于B選項,拋物線的準(zhǔn)線為,
過點(diǎn)B作,垂足為,
則,則,
故B選項不正確;
對于C選項,不妨設(shè),顯然離l最遠(yuǎn)的點(diǎn)在上,
且,
聯(lián)立,消去y整理得,
,
則,,
則,
由對稱性只考慮情況,B在E點(diǎn)時,,所以,
所以
,
設(shè),易得在上單調(diào)遞增,
所以的最大值為,故C選項正確;
對于D選項,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,
聯(lián)立,消去y整理得,
則,,
,,
,
所以,,
,
最小,即最大,也即最小,
又AB的中點(diǎn)M位于圓心的左側(cè),
故當(dāng)P在位置時,最小,最小,
所以
,
故D選項正確.
故選:ACD.
11．答案：AC
解析：因?yàn)橛煽傻?所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱,
又直線過原點(diǎn),所以與兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,
所以,所以A正確;
由,所以,
即:①,當(dāng)取等號,此時,點(diǎn)在曲線上,
而,所以不可能在一個以原點(diǎn)為中心、邊長為1的正方形內(nèi),所以B錯誤,
點(diǎn)可以在一個以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓上,故C正確,
由①式知,所以D錯誤.
故答案為:AC.
12．答案：
解析：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:,
圓的面積為,圓的半徑為,
,解得.
故答案為:.
13．答案：2（2,,,中任意一個皆可以）
解析：設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d,由弦長公式得,
所以,解得:或,
由,所以或,解得:或.
故答案為:2（2,,,中任意一個皆可以）.
14．答案：
解析：設(shè)橢球面的方程為:,
橢球面過點(diǎn),,解得:,
橢球面的方程為:.
故答案為:.
15．答案：（1）2
（2）
解析：（1）設(shè),,
由,可得,
所以,,
所以,
即,因?yàn)?解得;
（2）由（1）得拋物線,
因?yàn)?顯然直線的斜率不可能為零,
設(shè)直線,,,
由,可得,所以,,
,
因?yàn)?所以,
即,
亦即,
將,代入得,
,,
所以,且,解得或,
設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d,則,
,
所以的面積,
而或,
所以當(dāng)時,的面積.
16．答案：（1）橢圓的方程為,離心率為.
（2）.
解析：（1）如圖,
由題意得,解得,所以,
所以橢圓的方程為,離心率為.
（2）由題意得,直線斜率存在,由橢圓的方程為可得,
設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立方程組,消去y整理得:,
由韋達(dá)定理得,所以,
所以,.
所以,,,
所以,
所以,即,
解得,所以直線的方程為.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）拋物線的準(zhǔn)線為,由于A到拋物線準(zhǔn)線的距離為3,
則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,則,解得;
（2）當(dāng)時,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,則,
設(shè),則AB的中點(diǎn)為,
由題意可得,解得,
所以,則,
由點(diǎn)斜式可得,直線AB的方程為,即,
所以原點(diǎn)O到直線AB的距離為;
（3）如圖,
設(shè),,,則,
故直線AP的方程為,令,可得,
即,
則,依題意,恒成立,
又,則最小值為,
即,即,
則,解得,
又當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
而,即當(dāng)時,也符合題意.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
18．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）設(shè),則,兩邊同平方化簡得,
故.
（2）法一:設(shè)矩形的三個頂點(diǎn),,在W上,且,易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在,且不為0,
則,,令,
同理令,且,則,
設(shè)矩形周長為C,由對稱性不妨設(shè),,
則,易知
則令,
令,解得,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,
當(dāng),,此時單調(diào)遞增,
則,
故,即.
當(dāng)時,,,且,即時等號成立,矛盾,故,
得證.
法二:不妨設(shè)A,B,D在W上,且,
依題意可設(shè),易知直線BA,DA的斜率均存在且不為0,
則設(shè)BA,DA的斜率分別為和,由對稱性,不妨設(shè),
直線AB的方程為,
則聯(lián)立得,
,則
則,
同理,
令,則,設(shè),
則,令,解得,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,
當(dāng),,此時單調(diào)遞增,
則,
,
但,此處取等條件為,與最終取等時不一致,故.
法三:為了計算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.
設(shè),,,根據(jù)對稱性不妨設(shè).
則,,由于,則.
由于,,且介于,之間,
則.令,
,,則,,
從而
故
①當(dāng)時,
②當(dāng)時,由于,從而,
從而又,
故,由此
,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故,故矩形周長大于.
.
19．答案：（1）
（2）12
（3）證明見解析
解析：（1）由題意知,,,顯然點(diǎn)P在直線的上方,
因?yàn)橹本€為的等線,所以,,,
解得,,所以E的方程為
（2）設(shè),切線,代入得:
故,
該式可以看作關(guān)于k的一元二次方程,
所以,即m方程為
當(dāng)m的斜率不存在時,也成立
漸近線方程為,不妨設(shè)A在B上方,
聯(lián)立得,故,
所以P是線段AB的中點(diǎn),因?yàn)?到過O的直線距離相等,
則過O點(diǎn)的等線必定滿足:A,B到該等線距離相等,
且分居兩側(cè),所以該等線必過點(diǎn)P,即OP的方程為,
由,解得,故.
所以,
所以,
所以,所以
（3）
設(shè),由,所以,
故曲線的方程為
由（*）知切線為n,也為,即,即
易知A與在n的右側(cè),在n的左側(cè),分別記,,A到n的距離為,,,
由（2）知,,
所以
由得
因?yàn)?
所以直線n為的等線.

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