滬教版 九年級(jí) 期中真題必刷基礎(chǔ)60題（18個(gè)考點(diǎn)專練）（含答案） 2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（滬教版）

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1．（2023秋?浦東新區(qū)期中）在中，中線、相交于點(diǎn)，且，則的面積是
A．30B．20C．15D．5
【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度等于到對(duì)邊中點(diǎn)的長(zhǎng)度的2倍可得，再根據(jù)等高的三角形的面積等于底邊的比求出的面積，然后等底等高的三角形的面積相等求解即可．
【解答】解：如圖，中線、相交于點(diǎn)，
是的重心，
，
，
，
，
是中線，
的面積．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，三角形的重心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度等于到對(duì)邊中點(diǎn)的長(zhǎng)度的2倍，等高的三角形的面積等于底邊的比以及等底等高的三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋?普陀區(qū)期中）已知在中，是中線，是重心，如果，那么 6 ．
【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．
【解答】解：是的重心，且是中線，
．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形重心性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．
3．（2022秋?嘉定區(qū)期中）如圖，已知點(diǎn)是的重心，聯(lián)結(jié)、、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，分別用、表示向量、．
【分析】利用三角形法則求出，再根據(jù)，可求得，，再由重心定理得，求得，再利用三角形法則求得．
【解答】解：，，
，
，
，，
點(diǎn)是的重心，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，三角形的重心，關(guān)鍵是掌握三角形的重心定理，三角形法則．
二．*平面向量（共4小題）
4．（2023秋?崇明區(qū)期中）已知是單位向量，與方向相同，且，那么 4 ．
【分析】根據(jù)是單位向量可得，再根據(jù)與方向相同，且，得出結(jié)論．
【解答】解：是單位向量，
，
與方向相同，且，
，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，關(guān)鍵是掌握平行向量和向量的模．
5．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）已知、為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么或
D．如果為單位向量，且，那么
【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)解答．
【解答】解：、如果，那么兩向量是共線向量，則，故本選項(xiàng)不符合題意．
、如果，那么兩向量為共線向量，則，故本選項(xiàng)不符合題意．
、，只能說明兩個(gè)向量的模相等，無法判定方向，故本選項(xiàng)符合題意．
、根據(jù)向量模的定義知，，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
6．（2023秋?崇明區(qū)期中）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，，那么可以用含、的式子表示為 ．
【分析】先由中點(diǎn)的性質(zhì)求出，再由三角形法則求得即可．
【解答】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量，掌握三角形法則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，已知兩個(gè)不平行的向量、．
先化簡(jiǎn)，再求作：．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的向量）
【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)平面向量三角形法則作出圖形即可．
【解答】解：
，
如圖所示，即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，熟記平面向量的三角形運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
三．比例的性質(zhì)（共3小題）
8．（2023秋?崇明區(qū)期中）已知，下列各選項(xiàng)中一定正確的是
A．，B．C．D．
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、由可知，不一定能得到，，故本選項(xiàng)不符合題意；
、由，可得，所以，故本選項(xiàng)符合題意；
、由可知，不一定能得到，故本選項(xiàng)不符合題意；
、由，可得，所以，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵．
9．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）若，則 ．
【分析】根據(jù)等比性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：由等比性質(zhì)，得
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等比性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)、、滿足，且．求的值．
【分析】設(shè)，，，根據(jù)，得，，，，即可求出答案．
【解答】解：，
設(shè)，，，
，
，
，
，，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的基本性質(zhì)，根據(jù)已知條件列方程是關(guān)鍵．
四．比例線段（共3小題）
11．（2021秋?浦東新區(qū)期中）甲、乙兩地的實(shí)際距離是40千米，在比例尺為的地圖上，甲乙兩地的距離是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)實(shí)際距離比例尺圖上距離，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【解答】解：40千米厘米，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺靈活計(jì)算，注意單位的換算問題．
12．（2022秋?嘉定區(qū)期中）長(zhǎng)為3、4的線段的比例中項(xiàng)長(zhǎng)是 ．
【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：兩條線段的長(zhǎng)為3和4，
則這兩條線段的比例中項(xiàng)，
（負(fù)值舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例中項(xiàng)的定義．解題的關(guān)鍵是熟記比例中項(xiàng)的定義．
13．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知線段，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
【分析】（1）由比例的性質(zhì)對(duì)比例式進(jìn)行變形，然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)可得到；
（2）由比例的性質(zhì)對(duì)比例式進(jìn)行變形從而得到，然后分解得．
【解答】解：（1）由得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，
．
（2）由得：，
整理得：．
．
或．
或（舍去）．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是比例的性質(zhì)、因式分解、將分解為是解題的關(guān)鍵．
五．黃金分割（共3小題）
14．已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得到，然后把代入計(jì)算即可．
【解答】解：根據(jù)題意得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項(xiàng)（即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)．其中，并且線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．
15．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)在線段上，滿足，如果，那么 ．
【分析】由黃金分割點(diǎn)的定義，知是較長(zhǎng)線段，再由黃金分割的公式計(jì)算即可．
【解答】解：滿足，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，熟記黃金比的值是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）為線段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為 ．
【分析】根據(jù)黃金比值為計(jì)算即可．
【解答】解：是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念，熟記黃金比值為 是解題的關(guān)鍵．
六．平行線分線段成比例（共4小題）
17．（2021秋?黃浦區(qū)期中）在中，點(diǎn)、分別在邊、上，如果，，那么由下列條件能夠判斷的是
A．B．C．D．
【分析】先求出比例式，再根據(jù)相似三角形的判定得出，根據(jù)相似推出，根據(jù)平行線的判定得出即可．
【解答】解：
只有選項(xiàng)正確，
理由是：，，，
，
，
，
，
，
根據(jù)選項(xiàng)、、的條件都不能推出，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
18．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，，，若，則的長(zhǎng)為 7.2 ．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
【解答】解：，
，
，，
，
解得：，
故答案為：7.2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
19．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線一點(diǎn)，交于點(diǎn)，下列各式中可能錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：，
，所以選項(xiàng)不符合題意；
，
，
，
，所以選項(xiàng)不符合題意；
，
，
，
，
，所以選項(xiàng)不符合題意；
，
，
，所以選項(xiàng)符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
20．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）如圖：，分別交、、于點(diǎn)、、，已知，，，，求、的長(zhǎng)．
【分析】在中，根據(jù)平行線分線段成比例求出，在中，根據(jù)平行線分線段成比例求出，即可求出．
【解答】解：中，，
，
，，，
，
，
中，，
，
，，，
，
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
七．相似圖形（共3小題）
21．（2023秋?金山區(qū)校級(jí)期中）下列兩個(gè)圖形一定相似的是
A．兩個(gè)菱形B．兩個(gè)矩形C．兩個(gè)正方形D．兩個(gè)等腰梯形
【分析】根據(jù)相似圖形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形一定相似，結(jié)合選項(xiàng)，用排除法求解．
【解答】解：、兩個(gè)菱形，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；
、兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意；
、兩個(gè)正方形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，一定相似，故符合題意；
、兩個(gè)等腰梯形同一底上的角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似形的定義，熟悉各種圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）下列圖形中一定相似的一組是
A．鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)平行四邊形
B．有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)菱形
C．腰長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形
D．有一條邊相等的兩個(gè)矩形
【分析】利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等分析．
【解答】解：、鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)平行四邊形，對(duì)應(yīng)的角不一定相等，因而不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、有一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形相似，故本選項(xiàng)正確；
、腰長(zhǎng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成比例的等腰三角形不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、有一條邊相等的兩個(gè)矩形不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似的判定，難度不大，判定兩個(gè)圖形相似的依據(jù)是：對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等．兩個(gè)條件必須同時(shí)具備．
23．（2018秋?嘉定區(qū)期中）已知兩個(gè)三角形是相似形，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為、，則另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為 ．
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出一個(gè)三角形的最大內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出另一個(gè)三角形最大內(nèi)角度數(shù)．
【解答】解：一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為、，
第三個(gè)角，即最大角為，
兩個(gè)三角形相似，
另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理及相似三角形的性質(zhì)．
八．相似三角形的性質(zhì)（共3小題）
24．（2023秋?閔行區(qū)期中）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比為，那么它們的對(duì)應(yīng)中線之比為
A．B．C．D．
【分析】?jī)蓚€(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比相等，都等于相似比，據(jù)此解答．
【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的相似比與對(duì)應(yīng)中線的比相等，
所以它們對(duì)應(yīng)中線之比為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比相等是關(guān)鍵．
25．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）若兩個(gè)相似三角形的面積比為，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為 ．
【分析】根據(jù)兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，則面積比等于相似比平方即可得出答案．
【解答】解：兩個(gè)相似三角形的面積比為，
三角形的相似比為，
兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，
兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（2022秋?楊浦區(qū)期中）如果兩個(gè)相似三角形的面積比為，那么它們對(duì)應(yīng)高之比為 ．
【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比解答．
【解答】解：兩個(gè)相似三角形的面積之比為，
相似比是，
又相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，
對(duì)應(yīng)高線的比為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．
九．相似三角形的判定（共4小題）
27．（2022秋?奉賢區(qū)期中）在中，點(diǎn)、分別在邊、上，聯(lián)結(jié)，那么下列條件中不能判斷和相似的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由相似三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．
【解答】解：如圖，
、，
，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、，，
，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、，，
，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、不能使和相似，故本選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的幾種判定定理．
28．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）在和△中，有下列條件：①，②，③，④，⑤，如果從中任取兩個(gè)條件組成一組，那么能判斷△的有
A．4組B．5組C．6組D．7組
【分析】題目所給的五組條件分別是邊的比和角相等，若選角相等，則任選兩組即可；若選邊成比例且角相等，則角必須是對(duì)應(yīng)邊的夾角；若都選邊的比相等，則要證兩個(gè)三角形的三邊都對(duì)應(yīng)成比例；可由此進(jìn)行判斷．
【解答】解：選①②，可得：，由可判定兩個(gè)三角形相似；
選①④或②⑤，可通過判定兩個(gè)三角形相似；
若選③④、③⑤或④⑤，可通過判定兩個(gè)三角形相似；
所以共有6組；故選．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
29．如圖，中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn) （點(diǎn)不與、重合） ，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似， 則線段 6 或 ．
【分析】由中，，，，是邊的中點(diǎn)， 即可求得與的值， 又由以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似， 可得或，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例， 即可求得的值 ．
【解答】解：中，，，，
，
是邊的中點(diǎn)，
，
以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，
或，
（1） 若，則，
，
，
則；
（2） 若，則，
，
即，
．
綜上所述：或．
故答案為： 6 或．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì) ． 解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 ．
30．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，，連接、、，那么下列結(jié)論中：①與相似；②與相似；③與相似：④與相似；⑤；其中錯(cuò)誤的有 個(gè)．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定逐一判斷即可．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，
為中點(diǎn)，，
，，，
四邊形是正方形，
，
，，，
，
為直角三角形，，故⑤正確；
，
，
，
，
，故①正確；
，
，故②正確；
，
和不相似，故③錯(cuò)誤；
④正確；
正確的有：①②④⑤，錯(cuò)誤的有1個(gè)，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
一十．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）
31．（2022秋?嘉定區(qū)期中）在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，那么 6 ．
【分析】由，，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的值．
【解答】解：，，
，
，
，，，
，
．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
32．（2023秋?虹口區(qū)期中）如圖，四邊形是平行四邊形，的平分線交于，交于，交的延長(zhǎng)線于．那么下列結(jié)論正確的是
A．B．C．D．
【分析】解答此題的關(guān)鍵是利用平行四邊形證明出，，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答此題．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
即．
所以選項(xiàng)正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生利用平行四邊形的性質(zhì)證明三角形相似以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．
33．（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，，與交于點(diǎn)，下列各式正確的是
A．B．C．D．
【分析】因?yàn)?，所以，得，通過比較可知選項(xiàng)正確；再將這個(gè)式子與選項(xiàng)比較，可知該選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，可得、，分別與選項(xiàng)、比較，可得出結(jié)論．
【解答】解：，
，
，
所以選項(xiàng)正確；
將選項(xiàng)與正確結(jié)論比較，可知選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，可得，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，可得，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是由三角形的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理先得到正確的比例，再與每個(gè)選項(xiàng)比較，得出結(jié)論．
34．（2023秋?楊浦區(qū)期中）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，分別交延長(zhǎng)線、邊于點(diǎn)、，，交于點(diǎn)，，求證：．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【解答】證明：，
，，
，，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
一十一．相似三角形的應(yīng)用（共3小題）
35．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)6米的位置上，則球拍擊球的高度為
A．B．1C．D．
【分析】易得圖中的兩三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得的值．
【解答】解：，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答．本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出拍擊球的高度，體現(xiàn)了方程的思想．
36．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，有一所正方形的學(xué)校，北門（點(diǎn)和西門（點(diǎn)各開在北、西面圍墻的正中間．在北門的正北方30米處（點(diǎn)有一顆大榕樹．如果一個(gè)學(xué)生從西門出來，朝正西方走750米（點(diǎn)，恰好見到學(xué)校北面的大榕樹，那么這所學(xué)校占地 90000 平方米．
【分析】延長(zhǎng)、相交于，則由于，可得是直角三角形，再根據(jù)可得，，再根據(jù)相似三角形的相似比解答即可．
【解答】解：延長(zhǎng)、相交于，
，可得是直角三角形，
四邊形是正方形，
，，
設(shè)，則，
，，
，
即，
解得，，
．
．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，再利用相似三角形的相似比解答．
37．（寶山區(qū)期中）如圖，是一塊銳角三角形余料，，，，要把它加工成兩鄰邊：矩形零件，使矩形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上．求矩形的周長(zhǎng)．
【分析】首先根據(jù)四邊形是矩形證得，從而得到，然后根據(jù)，設(shè)，則，從而得到，求得后即可求得周長(zhǎng)．
【解答】解：四邊形是矩形，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
解得：，
周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠從實(shí)際問題中抽象出相似三角形，難度不大．
一十二．銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）
38．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在中，，，，那么等于
A．B．C．D．
【分析】直接利用余切的定義求解．
【解答】解：，，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問題的關(guān)鍵．
39．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）在中，，，，那么的值是
A．B．C．D．2
【分析】根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，然后進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握正弦，余弦，正切的定義是解題的關(guān)鍵．
40．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知在中，，，，那么下列各式中正確的是
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)正弦、余弦、正切和余切的定義求出的四個(gè)三角函數(shù)值，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：，，，
，
，，，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：正確理解正弦、余弦、正切和余切的定義是解決問題的關(guān)鍵．
41．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在中，，，，那么 ．
【分析】先根據(jù)余弦的定義計(jì)算出，然后利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)．
【解答】解：，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角的三角函數(shù)的定義：正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．
一十三．特殊角的三角函數(shù)值（共4小題）
42．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）在中，、都是銳角，且，，則是
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．鈍角三角形
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可解答．
【解答】解：，，
，，
，
是等邊三角形，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
43．（2022秋?閔行區(qū)期中）若是銳角，，那么銳角等于
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值先得出，再求出即可．
【解答】解：，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的前提．
44．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）若，則 ．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出，再求出答案即可．
【解答】解：，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，注意：．
45．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
一十四．解直角三角形（共4小題）
46．（2023秋?寶山區(qū)期中）已知平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)射線與軸正半軸的夾角為，點(diǎn)在射線上，如果，且，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是
A．B．C．D．
【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，構(gòu)建直角，利用余弦函數(shù)的定義可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
可假設(shè)，則，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)可能是，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念．在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．
47．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）在銳角中，如果各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大2倍，那么的余弦值
A．?dāng)U大2倍B．縮小2倍C．大小不變D．不能確定
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，再根據(jù)各邊擴(kuò)大2倍后，可得答案．
【解答】解：如圖，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
當(dāng)各邊都擴(kuò)大2倍后，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
48．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，的正切值等于2，直尺的一邊與重合，另一邊分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)，，，處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬的長(zhǎng)為 1 ．
【分析】由銳角的正切定義，相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角的正切定義，相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握并靈活應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)．
49．（2021秋?徐匯區(qū)期中）等腰三角形中，如果腰與底邊之比為，那么底角的余弦值為 ．
【分析】過作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，再求出底角的余弦值即可．
【解答】解：過作，垂足為，如圖，
腰與底邊之比為，
設(shè)，，
是等腰三角形，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和余弦函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
一十五．解直角三角形的應(yīng)用（共3小題）
50．（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖，一塊矩形木板斜靠在墻邊，點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)），已知，，，則點(diǎn)到的距離等于
A．B．
C．D．
【分析】作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在直角三角形和直角三角形中解直角三角形可求出點(diǎn)到的距離．
【解答】解：如圖，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)、點(diǎn)到的距離相等，
點(diǎn)到的距離等于，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是作輔助線將點(diǎn)到的距離轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)．
51．（上海校級(jí)期中）如圖，一條細(xì)繩系著一個(gè)小球在平面內(nèi)擺動(dòng)、已知細(xì)繩的長(zhǎng)度為20厘米，當(dāng)小球擺動(dòng)到最高位置時(shí)，細(xì)繩偏轉(zhuǎn)的角度為，那么小球在最高位置與最低位置時(shí)的高度差為 厘米（用所給數(shù)據(jù)表示即可）．
【分析】當(dāng)小球在最高位置時(shí)，過小球作小球位置最低時(shí)細(xì)繩的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，可根據(jù)偏轉(zhuǎn)角的度數(shù)和細(xì)繩的長(zhǎng)度，求出小球最低位置時(shí)的鉛直高度，進(jìn)而可求出小球在最高位置與最低位置時(shí)的高度差．
【解答】解：如圖：過作于．
中，厘米，，
．
．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角函數(shù)的基本概念，主要是余弦概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．
52．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖1是小區(qū)常見的漫步機(jī)，當(dāng)人踩在踏板上，握住扶手，像走路一樣抬腿，就會(huì)帶動(dòng)踏板連桿繞軸旋轉(zhuǎn)，如圖2，從側(cè)面看，立柱高1.8米，踏板靜止時(shí)踏板連桿與上的線段重合，長(zhǎng)為0.2米，當(dāng)踏板連桿繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處時(shí)，測(cè)得，此時(shí)點(diǎn)距離地面的高度為0.45米，求和的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】過點(diǎn)作于，得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，設(shè)，求得，，，根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：過點(diǎn)作于，
則四邊形是矩形，
，
設(shè)，
，
，，
在中，，，
，
解得：，
米，米，
答：和的長(zhǎng)分別為1.25米，0.35米．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
一十六．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共3小題）
53．（2023秋?閔行區(qū)期中）如圖，某幢樓的樓梯每一級(jí)臺(tái)階的高度為20厘米，寬度為30厘米，那么斜面的坡度為 ．
【分析】根據(jù)坡度的概念計(jì)算，得到答案．
【解答】解：斜面的坡度為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．
54．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知一個(gè)斜坡的坡度，那么該斜坡的坡角的度數(shù)是 30 度．
【分析】坡度坡角的正切值，據(jù)此直接解答．
【解答】解：，
坡角．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度及坡角的理解及掌握．
55．（2021秋?徐匯區(qū)期中）某小山坡的坡長(zhǎng)為200米，山坡的高度為100米，則該山坡的坡度 ．
【分析】根據(jù)坡度的定義，豎直距離與水平距離的比．
【解答】解：由勾股定理得：米，
坡度．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，以及勾股定理．
一十七．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）
56．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，飛機(jī)在目標(biāo)的正上方處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)的俯角，如果地面目標(biāo)、之間的距離為6千米，那么飛機(jī)離地面的高度等于 千米．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，再由特殊角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：如圖所示：
，
，
，
，
（米，
即飛機(jī)離地面的高度等于米，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
57．（虹口區(qū)校級(jí)期中）如圖，河對(duì)岸有古塔，小明在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫橄蛩斑M(jìn)10米到達(dá)，在處測(cè)得的仰角為，則塔高 米．
A．B．C．D．
【分析】設(shè)米，在中與在中解直角三角形即可求出答案．
【解答】解：在中，
，
．
在中，
，
．
設(shè)米，
，
．
，
解得：．
即鐵塔的高為米．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形俯角、仰角問題，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結(jié)論．
58．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）小明在山坡頂向下看一座農(nóng)舍的俯角為，如果農(nóng)舍與山坡底部相距50米，那么山坡的高為 米．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理解得即可．
【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，點(diǎn)代表山坡，點(diǎn)代表農(nóng)舍，
由題意知，，
，
，
在中，，
，
解得．
故答案為：米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．
一十八．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）
59．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖，甲、乙兩船同時(shí)從港口出發(fā)，其中甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，已知兩船的航行速度相同，如果1小時(shí)后甲、乙兩船分別到達(dá)點(diǎn)、處，那么點(diǎn)位于點(diǎn)的
A．南偏西B．南偏西C．南偏西D．南偏西
【分析】由甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，得出的度數(shù)，由兩船的航行速度相同，得出，
得出，以及求出的度數(shù)，得出點(diǎn)位于點(diǎn)的方向．
【解答】解：甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，兩船的航行速度相同，
，，，
，
，
點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角問題，關(guān)鍵是由已知得出各角的度數(shù)，進(jìn)而得出所求問題中度數(shù)．
60．（浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，小明為了測(cè)量其所在位置點(diǎn)到河對(duì)岸點(diǎn)之間的距離，沿著與垂直的方向走了10米，到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，那么的長(zhǎng)為
A．米B．米C．米D．米
【分析】在直角中，已知及其鄰邊，求的對(duì)邊，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解．
【解答】解：在直角中，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，難度不大，注意掌握三角函數(shù)的基本概念，及正切的概念和運(yùn)算．