數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合是數(shù)列高考中的熱點(diǎn)問題，難度較大，求數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合問題時(shí)會(huì)滲透多種數(shù)學(xué)思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強(qiáng)，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個(gè)類型的特點(diǎn)即可.在考試中時(shí)常會(huì)考查一些壓軸小題，如數(shù)列中的恒成立問題、數(shù)列中的最值問題、數(shù)列性質(zhì)的綜合問題、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題、數(shù)列與其他知識(shí)綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進(jìn)行分析.
二．解題策略
類型一 數(shù)列中的恒成立問題
【例1】【安徽省毛坦廠中學(xué)2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考】已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由題意得，則，等差數(shù)列的公差，
.
由，
得，

則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，
而，
問題等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立.
設(shè)，，
則，即，
解得或.
故選:A.
【指點(diǎn)迷津】對(duì)于數(shù)列中的恒成立問題，仍要轉(zhuǎn)化為求最值的問題求解，解答本題的關(guān)鍵是由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而由遞推關(guān)系可得，借助裂項(xiàng)相消法得到，又，問題等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立.
【舉一反三】已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
類型二 數(shù)列中的最值問題
【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模擬】已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】C
【解析】
令,則,所以，從而，
因?yàn)?所以數(shù)列單調(diào)遞增，
設(shè)當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),
所以當(dāng)時(shí)，，，
從而,
因此,
選C.
【指點(diǎn)迷津】本題利用數(shù)列的遞推公式,確定數(shù)列的單調(diào)性，令,利用裂項(xiàng)相消法得，再根據(jù)范圍求正整數(shù)的最小值.在解題時(shí)需要一定的邏輯運(yùn)算與推理的能力，其中確定數(shù)列單調(diào)性是解題的關(guān)鍵
【舉一反三】【河南省許昌市、洛陽市2019屆高三三?！恳阎獢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，，，若恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．49D．
【答案】B
【解析】
當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減并化簡(jiǎn)得，由于，所以，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.則，故 ，
由于是單調(diào)遞增數(shù)列，，.
故的最小值為，故選B.
類型三 數(shù)列性質(zhì)的綜合問題
【例3】【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三下學(xué)期3月月考】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若1≤≤3，3≤≤6，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
在等差數(shù)列中，，
∴，
又，
∴．
由得．
∴，即，
∴．
即的取值范圍是．
故答案為：．
【指點(diǎn)迷津】1.本題先根據(jù)求出的取值范圍，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可得所求結(jié)果.
2.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)常用的方法有：（1）累加法（相鄰兩項(xiàng)的差成等差、等比數(shù)列）；累乘法（相鄰兩項(xiàng)的積為特殊數(shù)列）；（3）構(gòu)造法，形如的遞推數(shù)列求通項(xiàng)往往用構(gòu)造法，即將利用待定系數(shù)法構(gòu)造成的形式，再根據(jù)等比數(shù)例求出的通項(xiàng)，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式.
【舉一反三】【廣東省汕尾市2019年3月高三檢測(cè)】已知數(shù)列的首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和若恒成立，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
數(shù)列的首項(xiàng)，
則：常數(shù)
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
則：首項(xiàng)符合通項(xiàng)．
故：，
，
，
由于數(shù)列的前n項(xiàng)和恒成立，
故：，
則：t的最小值為，
故答案為：．
類型四 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題
【例4】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，恒成立，若數(shù)列滿足（）且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，
取x＝y(tǒng)＝0，則f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．
當(dāng)f（0）＝0時(shí)，，得余題意不符，故舍去.
所以f（0）＝1．
取y＝﹣x＜0，則f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），
設(shè)x1＜x2，則f（x1﹣x2）＝f（x1）?f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
∵數(shù)列{}滿足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．
∴0，∵a1＝f（0）＝1，
∴，＝﹣2，＝1，，……．
∴＝．
∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．
∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．
∴f（）＞f（）．
而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），
f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），
因此只有：C正確．
故選：C．
【指點(diǎn)迷津】(1)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.
(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對(duì)稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實(shí)現(xiàn)去“f”，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系, 對(duì)稱性可得到兩個(gè)對(duì)稱的自變量所對(duì)應(yīng)函數(shù)值關(guān)系.
【舉一反三】【浙江省杭州第十四中學(xué)2019屆高三9月月考】已知數(shù)列 中， ，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由題，
即
由累加法可得：
即
對(duì)于任意的，不等式恒成立
即
令
可得且
即
可得或
故選B
類型五 數(shù)列與其他知識(shí)綜合問題
【例5】將向量組成的系列稱為向量列，并定義向量列的前項(xiàng)和．若，則下列說法中一定正確的是（ ）
A. B. 不存在，使得
C. 對(duì)，且，都有 D. 以上說法都不對(duì)
【答案】C
【解析】 由，則，所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，又當(dāng)時(shí)， ，
所以當(dāng)，且時(shí)， 是成立的，故選C.
【例6】斐波那契數(shù)列滿足： .若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
,所以B正確；對(duì)于C, 時(shí)， ；C錯(cuò)誤；對(duì)于D, ,D正確.故選C.
【指點(diǎn)迷津】這類題型往往出現(xiàn)在在填空題最后兩題，綜合性較強(qiáng)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋稽c(diǎn)知識(shí)掌握不牢就導(dǎo)致本題“全盤皆輸”，解答這類問題首先不能慌亂更不能因貪快而審題不清，其次先從最有把握的命題入手，最后集中力量攻堅(jiān)最不好理解的命題.
【舉一反三】1.如圖所示，矩形的一邊在軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，記矩形的周長(zhǎng)為，則（ ）
A. 220 B. 216 C. 212 D. 208
【答案】B
2.將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有， ， 三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的，我們稱為12的最佳分解.當(dāng)（且）是正整數(shù)的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)，例如.數(shù)列的前100項(xiàng)和為__________．
【答案】
【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ， ，故答案為.
類型六 數(shù)列與基本不等式結(jié)合的問題
【例7】【山東省濟(jì)寧市2019屆高三一?！恳阎?xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，，，
所以，，，
所以，，，，，
因?yàn)椋?，?br>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，
所以的最小值為，故選A.
【指點(diǎn)迷津】本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)以及基本不等式的相關(guān)性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是，等比中項(xiàng)，基本不等式有，考查公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
【舉一反三】【甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2019屆高三第四次聯(lián)考】已知函數(shù)，若 ，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由題可知：
令
又
于是有
因此
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
本題正確選項(xiàng)：
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
一、選擇題
1．【安徽省宣城市2019屆高三第二次調(diào)研】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足 ，若存在兩項(xiàng)，，使得，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】
解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），
∵a9＝a8+2a7，
∴a7q2＝a7q+2a7，
∴q2﹣q﹣2＝0，
∴q＝2或q=-1（舍），
∵存在兩項(xiàng)am，an使得，
∴ ，
∴
故選C.
2.【2019年3月2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】
由，得，且，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
則，
即，
令，得，又，，由，
則的最小值為.
故選：B．
3.【四川省成都市外國語學(xué)校2019屆高三一診】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．則滿足的最大正整數(shù)的值為（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【解析】
解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，
∴.
∵，
解可得，或（舍），
∴，
∵，
∴.
整理可得，，
∴，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，
故選：C．
4.若數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，且，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
，故
當(dāng)n為奇數(shù)，-a

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