微專題54 數(shù)列求和問(wèn)題數(shù)列求和問(wèn)題是高考數(shù)列中的一個(gè)易考類型，在已知通項(xiàng)公式的前提下，要通過(guò)觀察通項(xiàng)公式（或者項(xiàng)）的特點(diǎn)決定選擇哪種方法進(jìn)行求和。考查學(xué)生的觀察能力與辨析能力。所以在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要抓住每種求和方法相對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式特點(diǎn)，并在練習(xí)中熟悉解法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)求和：（1）等差數(shù)列求和公式：                         （2）等比數(shù)列求和公式： （3）錯(cuò)位相減法：通項(xiàng)公式特點(diǎn)：等差等比，比如，其中代表一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的一次函數(shù)），代表一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯(cuò)位相減法方法詳解：以為例，設(shè)其前項(xiàng)和為 ① 先將寫成項(xiàng)和的形式 ② 兩邊同時(shí)乘以等比部分的公比，得到一個(gè)新的等式，與原等式上下排列  ，發(fā)現(xiàn)乘完公比后，對(duì)比原式項(xiàng)的次數(shù)，新等式的每項(xiàng)向后挪了一位。③ 然后兩式相減： 除了首項(xiàng)與末項(xiàng)，中間部分呈等比數(shù)列求和特點(diǎn)，代入公式求和，再解出即可        所以 對(duì)“錯(cuò)位相減法”的深層理解：通項(xiàng)公式的特點(diǎn)在錯(cuò)位相減法的過(guò)程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過(guò)解題過(guò)程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項(xiàng)的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時(shí)實(shí)現(xiàn)了“錯(cuò)位”的效果。而等差的部分錯(cuò)位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進(jìn)行等比數(shù)列求和。體會(huì)到“錯(cuò)位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進(jìn)行數(shù)列求和（4）裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式特點(diǎn)：的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多方法詳解：以為例① 裂項(xiàng)：考慮（這里），在裂項(xiàng)的過(guò)程中把握兩點(diǎn)：一是所裂兩項(xiàng)要具備“依序同構(gòu)”的特點(diǎn)，比如這里的結(jié)構(gòu)相同，且分母為相鄰的兩個(gè)數(shù)；二是可以先裂再調(diào)：先大膽的將分式裂成兩項(xiàng)的差，在將結(jié)果通分求和與原式進(jìn)行比較并調(diào)整（調(diào)整系數(shù)），比如本題中，在調(diào)整系數(shù)使之符合通項(xiàng)公式即可② 求和：設(shè)前項(xiàng)和為 ，求和的關(guān)鍵在于確定剩下的項(xiàng)。通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)正項(xiàng)中沒(méi)有消去，負(fù)項(xiàng)中沒(méi)有消去。所以一般來(lái)說(shuō)，裂開(kāi)的項(xiàng)中有個(gè)正項(xiàng)，個(gè)負(fù)項(xiàng)，且由于消項(xiàng)的過(guò)程中是成對(duì)消掉。所以保留項(xiàng)中正負(fù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該相同。(5）分類求和：如果通項(xiàng)公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。例： 可知通項(xiàng)公式為，那么在求和的過(guò)程中可拆成3部分：分別求和后再相加    2、根據(jù)項(xiàng)的特點(diǎn)求和：    如果數(shù)列無(wú)法求出通項(xiàng)公式，或者無(wú)法從通項(xiàng)公式特點(diǎn)入手求和，那么可以考慮觀察數(shù)列中的項(xiàng)，通過(guò)合理的分組進(jìn)行求和（1）利用周期性求和：如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按某個(gè)周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時(shí)可將一個(gè)周期內(nèi)的項(xiàng)歸為一組求和，再統(tǒng)計(jì)前項(xiàng)和中含多少個(gè)周期即可（2）通項(xiàng)公式為分段函數(shù)（或含有 ，多為奇偶分段。若每段的通項(xiàng)公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項(xiàng)一組，偶數(shù)項(xiàng)一組分別求和，但要注意兩點(diǎn)：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時(shí)會(huì)影響公差公比），二是要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論（可見(jiàn)典型例題）；若每段的通項(xiàng)公式無(wú)法直接求和，則可以考慮相鄰項(xiàng)相加看是否存在規(guī)律，便于求和（3）倒序相加：若數(shù)列中的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和具備規(guī)律，在求和時(shí)可以考慮兩項(xiàng)為一組求和，如果想避免項(xiàng)數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點(diǎn)，即：   兩式相加可得： 二、典型例題例1：已知函數(shù)，求： 思路：觀察可發(fā)現(xiàn)頭尾的自變量互為倒數(shù)，所以考慮其函數(shù)值的和是否具備特點(diǎn)。即，所以考慮第個(gè)與倒數(shù)第個(gè)放在一起求和，可用倒序相加法解：       小煉有話說(shuō)：此類問(wèn)題要抓自變量之間的聯(lián)系，并嘗試發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值的和是否有特點(diǎn)（常數(shù)或者與相關(guān)），本題求和的項(xiàng)就呈現(xiàn)出倒數(shù)關(guān)系。另外在求和過(guò)程中倒序相加的方法可以有效地避免項(xiàng)數(shù)的奇偶討論。例2：設(shè)數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和 解：（1）            （2）思路：由（1）可得：，盡管整個(gè)通項(xiàng)公式不符合任何一種求和特征，但可以拆成，在求和的過(guò)程中分成三組分別求和，再匯總到一起。解：     例3：已知數(shù)列滿足，且對(duì)于，設(shè)的前項(xiàng)和為，則_________思路：原遞推公式很難再有變化，考慮向后再寫一個(gè)式子進(jìn)行變形。，兩式相減可得： ，由可得：，為周期是3的數(shù)列，所以求和時(shí)可先求出一個(gè)周期中項(xiàng)的和，再看中含多少周期即可。解：①②①②得：   為周期是3的數(shù)列    在①中令  解得： 而 答案： 例4：已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列，且（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式（2）記，求證： 解：（1）設(shè)的公差為，的公比為則  即，解得： （2）思路：雖然所涉及數(shù)列通項(xiàng)公式不是“”形式，但觀察到中的項(xiàng)具備“等差等比”的特點(diǎn)，所以考慮利用錯(cuò)位相減法求出 ，再證明等式即可解：   ①       ②②①         所證恒等式左邊 右邊  即左邊右邊所以不等式得證例5：已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，數(shù)列 （1）求的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和 解：（1）   （2）思路：由（1）可得：，所以在求和時(shí)首先要考慮項(xiàng)數(shù)是否大于5，要進(jìn)行分類討論，其次當(dāng)，求和可分成組分別求和再匯總解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，                                         例6：（2014，桐鄉(xiāng)市校級(jí)期中）：設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和 解：（1）時(shí)， 時(shí)，符合上式 為等比數(shù)列    設(shè)的公比為，則 而 解得：或單調(diào)遞增       （2）思路：由（1）可得：，觀察到分母為兩項(xiàng)乘積，且具備“依序同構(gòu)”的特點(diǎn)，所以聯(lián)想到進(jìn)行裂項(xiàng)相消，考慮，剛好為，所以直接裂項(xiàng)然后相消求和即可解：     例7：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和為 （1）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和 （2）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍（1）思路：先利用已知條件求出的通項(xiàng)公式，然后用錯(cuò)位相減法求和解：成等比數(shù)列，代入可得： 由可得：   ①   ②①②        （2）思路：雖然不知道的通項(xiàng)公式，但根據(jù)其等差數(shù)列特征可得： 所以，從而可將不等式的左邊通過(guò)裂項(xiàng)相消求和，然后根據(jù)不等式恒成立解的范圍即可解： 對(duì)一切均成立  設(shè)，由可得：為增函數(shù) 例8：已知數(shù)列，其中相鄰的兩個(gè)被隔開(kāi)，第對(duì)之間有個(gè)，則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為__________思路：本題求和的關(guān)鍵是要統(tǒng)計(jì)一共有多少個(gè)1，多少個(gè)2相加。那么首先應(yīng)該確定第的位置，（即位于第幾對(duì)1中的第幾個(gè)2），可將1個(gè)與之后個(gè)劃為一組，則第組數(shù)中含有個(gè)數(shù)。即，可估算出，所以即該數(shù)列的第項(xiàng)位于第組第10個(gè)數(shù)。可分析前48組中含有48個(gè)1，含有個(gè)，在第49組中有1個(gè)1，9個(gè)2，所以前項(xiàng)和為 答案：2419小煉有話說(shuō)：對(duì)于這種“規(guī)律性”（不含通項(xiàng)公式）的數(shù)列，首先要抓住此數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律確定出所求和的最后一項(xiàng)的位置。再將求和中的項(xiàng)進(jìn)行合理分組使之可以進(jìn)行求和，再匯總即可。例9：已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）   ①   ②①②可得： 即為的等比數(shù)列（2）思路：若要求和，需要先求出的通項(xiàng)公式。所以先利用（1）構(gòu)造等比數(shù)列求出，從而得到，對(duì)于，處理方式既可以將進(jìn)行奇偶分類，進(jìn)而分組求和，也可放入到通項(xiàng)公式中進(jìn)行求和解：由（1）可得：令代入     方法一：直接求和 設(shè)小煉有話說(shuō)：本題雖然可以直接求和，但是過(guò)程和結(jié)果相對(duì)形式比較復(fù)雜方法二：分組求和當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)  小煉有話說(shuō)：本題在分組求和時(shí)要注意以下幾點(diǎn)（1）相鄰兩項(xiàng)一組，如果項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，那么會(huì)留出一項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，那么剛好分組。所以要對(duì)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行奇偶的分類討論（2）在項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的求和過(guò)程中要注意的取值變化不再是，而是所以求和時(shí)的公比和求和的項(xiàng)數(shù)會(huì)對(duì)應(yīng)發(fā)生改變。（3）在項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的求和中可利用前面的結(jié)論，簡(jiǎn)化求和過(guò)程方法三：分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)分別求和當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：                                同理：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)  例10：已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式（2）令，求數(shù)列的的前項(xiàng)和解：（1）成等比數(shù)列    即解得：    （2）思路：由第（1）問(wèn)可得：，考慮相鄰項(xiàng)作和觀察規(guī)律：為偶數(shù)時(shí)，，然后再進(jìn)行求和即可解：為偶數(shù)時(shí)，              為奇數(shù)時(shí)：       綜上所述：小煉有話說(shuō)：本題還可以直接從入手：盡管裂開(kāi)不是兩項(xiàng)作差，但依靠在求和過(guò)程中也可達(dá)到相鄰項(xiàng)相消的目的。進(jìn)而根據(jù)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行討論求和。  三、歷年好題精選1、把等差數(shù)列依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)……，循環(huán)分為則第個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為（    ）A.                   B.               C.             D.  2、數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為（     ）A.                B.                C.              D.  3、（2016，山東青島12月月考）設(shè)，則在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（     ）A.                 B.               C.                D.  4、（2016，長(zhǎng)沙一中月考）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和。若（為正偶數(shù)），則的值為（     ）A.               B.              C.             D.  5、若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為____6、（2015，新課標(biāo)II）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則____7、（2015，江蘇）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前 項(xiàng)和為_________8、在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，公比為，且（1）求（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和9、（2015，廣東文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)時(shí)， （1）求的值（2）證明：為等比數(shù)列（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式10、（2015，天津）已知數(shù)列滿足，，且成等差數(shù)列（1）求的值和的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和11、（2014，湖南）已知數(shù)列滿足 （1）若是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值（2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式12、（2014，全國(guó)卷）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知為整數(shù)，且 （1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 13、（2015，山東）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14、（2016，山東濰坊中學(xué)高三期末）在數(shù)列，中，已知，，且，，成等差數(shù)列，，，也成等差數(shù)列．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．15、定義數(shù)列，且時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，，求（2）若，求證：                       習(xí)題答案：1、答案：B解析：由前面幾組可得，組中項(xiàng)個(gè)數(shù)的循環(huán)周期為3，因?yàn)?/span>，所以第50組數(shù)含有兩個(gè)元素。可知在一個(gè)周期中將占有中的6項(xiàng)，所以16個(gè)周期共占有96項(xiàng)，從而第49個(gè)括號(hào)里為 ，第50個(gè)括號(hào)里含有的項(xiàng)為 ，因?yàn)?/span>，所以，則2、答案：D解析：時(shí)，時(shí)，    可得：3、答案：D解析：的周期，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可知：，且，因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，所以則為正，，同理可得：也均為正數(shù)，以此類推，可知均為正數(shù)，共個(gè)4、答案：B解析：令，為的公差同理代入可得：，解得或設(shè)，同理可知，代入可得：5、答案：解析：設(shè)，即為等差數(shù)列      6、答案： 解析：，即，所以為公差是的等差數(shù)列，所以，即7、答案： 解析：，可得：，進(jìn)行累加可得：，所以，即，故 8、解析：（1）設(shè)的公差和公比分別為，所以解得：或（舍）（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，              9、解析：（1）令，則 ，解得： （2）即 時(shí)，是公比為的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，由可驗(yàn)證得： 綜上可得：是公比為的等比數(shù)列（3）由（2）以及可得： 為公差是4的等差數(shù)列 10、解析：（1）依題意可知： 成等差數(shù)列即 或（舍） 當(dāng)時(shí)， ，即 當(dāng)時(shí)， ，即 綜上所述： （2）由（1）可得： 設(shè)的前項(xiàng)和為 兩式相減可得： 11、解析：（1）因?yàn)?/span>是遞增數(shù)列 ，其中 由可得：，成等差數(shù)列    代入可得： 解得：或（舍）（2）因?yàn)?/span>為遞增數(shù)列   ①因?yàn)?/span> ②由①②可得： ③同理：因?yàn)?/span>為遞增數(shù)列   因?yàn)?/span> ④綜合③④可得：                 12、解析：（1）由可知：，即 為整數(shù)    結(jié)合不等式可解得： （2）    13、解析：（1）由可得，而，則（2）由及可得.14、解析：（1）由，，成等差數(shù)列，，，也成等差數(shù)列可得：是公比為的等比數(shù)列（2）由（1）可知，整理可得：是公比為的等比數(shù)列若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，則為偶數(shù)15、解析：當(dāng)時(shí)，，均為等比數(shù)列由可得為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)，（2）由可得：   為公比是2的等比數(shù)列                            

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