高考數(shù)學(xué)母題題源解密(全國通用)專題13解三角形專題練習(xí)(原卷版+解析)

這是一份高考數(shù)學(xué)母題題源解密(全國通用)專題13解三角形專題練習(xí)(原卷版+解析)，共18頁。試卷主要包含了正余弦定理及三角形面積公式，正余弦定理的綜合應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【母題來源】2022年高考北京卷
【母題題文】 在中，．
（1）求； （2）若，且的面積為，求的周長．
【試題解析】【小問1詳解】
解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，
可得，因此，.
【小問2詳解】
解：由三角形的面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長為.
【命題意圖】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，重點(diǎn)考查正余弦定理、三角恒等變形及三角形面積公式等.
【得分要點(diǎn)】
一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系；
應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用；
注意邊或角的限制范圍.
考向二 正余弦定理的綜合應(yīng)用
【母題來源】2022年高考全國乙卷（文科）
【母題題文】 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
（1）若，求C； （2）證明：
【試題解析】【小問1詳解】
由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
【小問2詳解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
【命題意圖】本題考查三角形內(nèi)角和定理及兩角差的正弦公式.
【命題方向】這類試題在考查題型多以解答題形式出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）正弦定理及其變形；（2）余弦定理及其變形；（3）三角形面積公式；（4）正余弦定理的綜合應(yīng)用.
【得分要點(diǎn)】
（1）一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系；
（2）應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用；
（3）注意邊或角的限制范圍.
一、單選題
1．（北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則（ ）
A．B．C．3D．
3．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則（ ）
A．B．5C．8D．
4．（2022·甘肅白銀·三模（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2022·四川遂寧·模擬預(yù)測（文））在△ABC中，“”是“△ABC是銳角三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知三邊a，b，c及對角A，B，C，周長為5，且滿足，若，則的面積（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（ ）.
A．B．C．D．
8．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，書中提供的測量方法甚是巧妙，可以回避現(xiàn)代測量器械的應(yīng)用．現(xiàn)該興趣小組沿用古法測量一山體高度，如圖點(diǎn)E、H、G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，記為，EG為測量標(biāo)桿問的距離，記為，GC、EH分別記為，則該山體的高AB=（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）若一個(gè)三角形的三邊長分別為a，b，c，設(shè)，則該三角形的面積，這就是著名的“秦九韶-海倫公式”若的三邊長分別為5，6，7，則該三角形的面積為_____________．
10．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））若a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，，且，則________．
11．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則___________．
12．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且，則的外接圓半徑為__________.
三、解答題
13．（2022·上海·華師大二附中模擬預(yù)測）設(shè)，.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角中，A、B、C的對邊分別為a、b、c.若，，求面積的最大值.
14．（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求角的值； (2)若，求的面積.
15．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長.
16．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形的圓弧均與相切.
(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；
(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最?。?br>專題13 解三角形
考向一 正余弦定理及三角形面積公式
【母題來源】2022年高考北京卷
【母題題文】 在中，．
（1）求； （2）若，且的面積為，求的周長．
【試題解析】【小問1詳解】
解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，
可得，因此，.
【小問2詳解】
解：由三角形的面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長為.
【命題意圖】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，重點(diǎn)考查正余弦定理、三角恒等變形及三角形面積公式等.
【得分要點(diǎn)】
一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系；
應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用；
注意邊或角的限制范圍.
考向二 正余弦定理的綜合應(yīng)用
【母題來源】2022年高考全國乙卷（文科）
【母題題文】 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
（1）若，求C； （2）證明：
【試題解析】【小問1詳解】
由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
【小問2詳解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
【命題意圖】本題考查三角形內(nèi)角和定理及兩角差的正弦公式.
【命題方向】這類試題在考查題型多以解答題形式出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）正弦定理及其變形；（2）余弦定理及其變形；（3）三角形面積公式；（4）正余弦定理的綜合應(yīng)用.
【得分要點(diǎn)】
（1）一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系；
（2）應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用；
（3）注意邊或角的限制范圍.
一、單選題
1．（北京市西城區(qū)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）在中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理及已知條件可得，即可求的取值范圍.
【詳解】
由，故.
故選：A
2．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得B的余弦值，再根據(jù)余弦定理可求得b的值.
【詳解】
，∴，
∴.
故選：A.
3．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則（ ）
A．B．5C．8D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形的面積和 計(jì)算出 的值，再根據(jù)余弦定理求出 的值，即可得到答案
【詳解】
由題意可知， ，得
，
由余弦定理可得：
整理得： ，
故選：A
4．（2022·甘肅白銀·三模（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)余弦定理可求得，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以的面積為.
故選：C.
5．（2022·四川遂寧·模擬預(yù)測（文））在△ABC中，“”是“△ABC是銳角三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
由不能得到是銳角三角形，但是銳角三角形,則，根據(jù)必要不充分條件的定義，即可求解.
【詳解】
由正弦定理可知，，
不能得到是銳角三角形,但是銳角三角形,則.
故“”是“是銳角三角形”的必要不充分條件，
故選:B．
6．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知三邊a，b，c及對角A，B，C，周長為5，且滿足，若，則的面積（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理化邊為角，得出，結(jié)合已知求出，然后求出等腰三角形底邊上的高，由面積公式計(jì)算面積．
【詳解】
因?yàn)?，由正弦定理得，所以（舍去）?br>三角形周長為5，，則，，
由等腰三角形性質(zhì)知邊上的高為，
所以三角形面積為．
故選：A．
7．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.
【詳解】
因?yàn)闉殇J角三角形，，設(shè)邊上的高為，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，，因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以高的取值范圍為.
故選：C.
8．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，書中提供的測量方法甚是巧妙，可以回避現(xiàn)代測量器械的應(yīng)用．現(xiàn)該興趣小組沿用古法測量一山體高度，如圖點(diǎn)E、H、G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，記為，EG為測量標(biāo)桿問的距離，記為，GC、EH分別記為，則該山體的高AB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)所給數(shù)據(jù)，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.
【詳解】
連接FD，并延長交AB于M點(diǎn)，如圖，
因?yàn)樵谥校?br>所以；又因?yàn)樵谥校?br>所以，所以，
所以，即，
故選：A．
二、填空題
9．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）若一個(gè)三角形的三邊長分別為a，b，c，設(shè)，則該三角形的面積，這就是著名的“秦九韶-海倫公式”若的三邊長分別為5，6，7，則該三角形的面積為_____________．
【答案】．
【解析】
【分析】
將三邊長分別代入公式即可求解.
【詳解】
解：由題意得
故答案為：
10．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））若a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，，且，則________．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出或，即得解.
【詳解】
解：由正弦定理及，可得，因?yàn)椋?br>所以，又，
所以，所以或，
所以或．
故答案為：或
11．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理角化邊，即可得到，從而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
【詳解】
解：因?yàn)?，即，由正弦定理可得?br>又，即，即，
由余弦定理，即，
所以，
所以；
故答案為：
12．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且，則的外接圓半徑為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得，進(jìn)而可得，即得.
【詳解】
，則，
由正弦定理，得，故，
展開化簡得：，，，
故，，即，
∴外接圓直徑，故外接圓半徑為.故答案為：.
三、解答題
13．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測）設(shè)，.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角中，A、B、C的對邊分別為a、b、c.若，，求面積的最大值.
【答案】(1)和
(2)
【解析】
【分析】
（1）化簡，結(jié)合與正弦函數(shù)的單調(diào)性令或，求解即可；
（2）結(jié)合銳角三角形及可得，利用余弦定理可得，再根據(jù)基本不等式求得的范圍，進(jìn)而由三角形面積公式求解.
(1)由題意，，
因?yàn)椋裕?br>由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)或，
即或時(shí)，函數(shù)遞增，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和.
(2)由題意，，所以，
因?yàn)殇J角，則，故，
由余弦定理，，故，
由基本不等式，，故，當(dāng)b=c時(shí)等號成立
因此，，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.
14．（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求角的值； (2)若，求的面積.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由三角形的內(nèi)角和結(jié)合二倍角公式可得出答案.
（2）由正弦定理可得，再由余弦定理代入可求出的值，最后由三角形的面積公式可求出答案.
(1)由得: ，
解得：或.
又因?yàn)椋?，則.
(2)由正弦定理及已知條件可得，，即，
由余弦定理：，
得：，
所以，所以，
所以.
15．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長.
【答案】(1) (2)6或
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合，代換整理得，再結(jié)合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結(jié)合題意可得或，分情況討論處理．
(1)∵，則
∵
∴，即
∵，則
∴
(2)∵△ABC的面積為，則，∴
根據(jù)題意得，則或
若，則△ABC為等邊三角形，的周長為6；
若，則，即，的周長為
∴的周長為6或
16．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形的圓弧均與相切.
(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；
(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最??？
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理可得的大小，再根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而求得扇形的半徑，從而得到種植花卉區(qū)域的面積
（2）設(shè)，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系可得關(guān)于的表達(dá)式，從而得到平行四邊形的面積表達(dá)式，從而根據(jù)三角函數(shù)的最值求解即可
(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積
(2)設(shè)，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因?yàn)?，故要面積最小，則當(dāng)，即，時(shí)面積取得最小值，即多大時(shí)，平行四邊形綠地占地面積最小