【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)甲卷（理科）
【母題題文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A. 12種B. 24種C. 36種D. 48種
【答案】B
【試題解析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B
【命題意圖】本題主要考查利用捆綁法和插空法求出排列總數(shù)，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解..
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度較大，是歷年高考的必考題型．
常見(jiàn)的命題角度有：
（1）捆綁法；（2）插空法；（3）排列求冪法；（4）標(biāo)號(hào)排位法.
【得分要點(diǎn)】
（1）有限制條件的可以采用特殊位置優(yōu)先安排的方法；
（2）要求幾個(gè)元素必須在一起的，可以采用捆綁法；
（3）要求元素不相離的，可以采用插空法
考向二 二項(xiàng)式定理
【母題來(lái)源】2021年高考北京卷
【母題題文】若，則（ ）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【試題解析】令，則，
令，則，故，故選：B.
【命題意圖】利用賦值法求二項(xiàng)式的參數(shù)值.
【命題方向】這類試題在通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，其試題難度屬中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見(jiàn)的命題角度有：
求二項(xiàng)式展開(kāi)式中的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)的系數(shù)；（2）二項(xiàng)式的性質(zhì)和各系數(shù)的和；（3）利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)求參數(shù).
【得分要點(diǎn)】
首先求二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)；
根據(jù)已知求出展開(kāi)式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)；
得出結(jié)論.
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）七輛汽車排成一縱隊(duì)，要求甲車、乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)尾且各不相鄰，則排法有（ ）
A．48種B．72種C．90種D．144種
2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（ ）
A．28B．24C．20D．16
3．（2022·江西·上高二中模擬預(yù)測(cè)（理））2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國(guó)作為一個(gè)大國(guó)的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，“一起向未來(lái)”更體現(xiàn)了中國(guó)推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.該屆冬奧會(huì)分北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)，甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分別去這三個(gè)賽區(qū)擔(dān)任志愿者，每個(gè)人只去一個(gè)賽區(qū)，每個(gè)賽區(qū)至少安排1人.學(xué)生甲不被安排到張家口賽區(qū)做志愿者且乙不被安排到延慶賽區(qū)做志愿者的方法數(shù)為（ ）
A．17B．29C．56D．13
4．（2022·江西·九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））2010年世界杯足球賽預(yù)計(jì)共有24個(gè)球隊(duì)參加比賽，第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要比賽），決出每個(gè)組的一、二名，然后又在剩下的12個(gè)隊(duì)中按積分取4個(gè)隊(duì)（不比賽），共計(jì)16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽來(lái)確定冠亞軍，則一共需比賽（ ）場(chǎng)次．
A．53B．52C．51D．50
5．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））教育部于2022年開(kāi)展全國(guó)高校書(shū)記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長(zhǎng)拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（ ）
A．60種B．64種C．72種D．80種
6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在北京冬奧會(huì)短道速滑混合團(tuán)體2000米接力決賽中，中國(guó)隊(duì)成功奪冠，為中國(guó)體育代表團(tuán)奪得本屆冬奧會(huì)首金.短道速滑男女接力賽要求每隊(duì)四名運(yùn)動(dòng)員，兩男兩女，假設(shè)男女隊(duì)員間隔接力，且每位隊(duì)員只上場(chǎng)一次，則不同的上場(chǎng)次序的種數(shù)為（ ）
A．8B．16C．18D．24
7．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，其中是無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（ ）
A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)
8．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（ ）
A．280B．35C．D．
9．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在二項(xiàng)式的展開(kāi)式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)中恰有兩項(xiàng)相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則關(guān)于的展開(kāi)式，以下命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．展開(kāi)式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有3項(xiàng) B．展開(kāi)式中系數(shù)為正數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)
C．含的項(xiàng)的系數(shù)是 D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為
二、填空題
11．（2022·浙江溫州·三模）勠力同心，共克時(shí)艱!近日，某地因出現(xiàn)新冠疫情被劃分為“封控區(qū)”“管控區(qū)”和“防范區(qū)”，現(xiàn)有6位專家到這三個(gè)“區(qū)”進(jìn)行一天的疫情指導(dǎo)工作，每個(gè)“區(qū)”半天安排一位專家，每位專家只安排半天的工作，其中專家甲只能安排在上午，專家乙不安排在“防范區(qū)”，則不同的安排方案一共有___________種.（用數(shù)字作答）
12．（2022·遼寧·育明高中一模）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A，B，C三個(gè)新節(jié)目，如果保持原來(lái)8個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有__________種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）
13．（2022·上海長(zhǎng)寧·二模）將編號(hào)為，，，的個(gè)小球放入個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子不空，若放在同一盒子里的個(gè)小球編號(hào)不相鄰，則共有__________種不同的放法．
14．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））隨著鄉(xiāng)村的發(fā)展，很多鄉(xiāng)村融合本地的特點(diǎn)發(fā)展旅游業(yè)，某縣運(yùn)用本地特點(diǎn)和風(fēng)俗習(xí)慣打造了多個(gè)特色鄉(xiāng)村，有4名游客打算去該縣的A，B，C三個(gè)特色鄉(xiāng)村旅游，每人只選擇一個(gè)鄉(xiāng)村旅游，則這4人恰好選擇了兩個(gè)鄉(xiāng)村旅游的概率為_(kāi)__．
15．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））已知的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的系數(shù)為8，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)__________.
16．（2022·上海徐匯·三模）已知多項(xiàng)式，則___________.
專題07 計(jì)數(shù)原理
考向一 排列與組合
【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)甲卷（理科）
【母題題文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A. 12種B. 24種C. 36種D. 48種
【答案】B
【試題解析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B
【命題意圖】本題主要考查利用捆綁法和插空法求出排列總數(shù)，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解..
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度較大，是歷年高考的必考題型．
常見(jiàn)的命題角度有：
（1）捆綁法；（2）插空法；（3）排列求冪法；（4）標(biāo)號(hào)排位法.
【得分要點(diǎn)】
（1）有限制條件的可以采用特殊位置優(yōu)先安排的方法；
（2）要求幾個(gè)元素必須在一起的，可以采用捆綁法；
（3）要求元素不相離的，可以采用插空法
考向二 二項(xiàng)式定理
【母題來(lái)源】2021年高考北京卷
【母題題文】若，則（ ）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【試題解析】令，則，
令，則，故，故選：B.
【命題意圖】利用賦值法求二項(xiàng)式的參數(shù)值.
【命題方向】這類試題在通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，其試題難度屬中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見(jiàn)的命題角度有：
求二項(xiàng)式展開(kāi)式中的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)的系數(shù)；（2）二項(xiàng)式的性質(zhì)和各系數(shù)的和；（3）利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)求參數(shù).
【得分要點(diǎn)】
首先求二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)；
根據(jù)已知求出展開(kāi)式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)；
得出結(jié)論.
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）七輛汽車排成一縱隊(duì)，要求甲車、乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)尾且各不相鄰，則排法有（ ）
A．48種B．72種C．90種D．144種
【答案】D
【解析】
【分析】
依題可知甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，由分步計(jì)數(shù)原理即可解出．
【詳解】
由題意得，甲車，乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)尾，且各不相鄰，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有種排法，其他車輛任意排列，所以總排法有種．
故選：D．
2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（ ）
A．28B．24C．20D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
分類討論四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解
【詳解】
顯然a，b，c，d均為不超過(guò)5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論．
最大數(shù)為5的情況：
①，此時(shí)共有種情況；最大數(shù)為4的情況：
②，此時(shí)共有種情況；
③，此時(shí)共有種情況．
當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，，故沒(méi)有滿足題意的情況．
綜上，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．故選：A
3．（2022·江西·上高二中模擬預(yù)測(cè)（理））2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國(guó)作為一個(gè)大國(guó)的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，“一起向未來(lái)”更體現(xiàn)了中國(guó)推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.該屆冬奧會(huì)分北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)，甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分別去這三個(gè)賽區(qū)擔(dān)任志愿者，每個(gè)人只去一個(gè)賽區(qū)，每個(gè)賽區(qū)至少安排1人.學(xué)生甲不被安排到張家口賽區(qū)做志愿者且乙不被安排到延慶賽區(qū)做志愿者的方法數(shù)為（ ）
A．17B．29C．56D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出所有可能安排的方法數(shù)，再應(yīng)用間接法求甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù).
【詳解】
由題意，任意安排的方法數(shù)有種，
甲被安排到張家口有種，同理乙被安排到延慶有種，
甲被安排到張家口，同時(shí)乙被安排到延慶有種，
所以甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù)為種.
故選：A
4．（2022·江西·九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））2010年世界杯足球賽預(yù)計(jì)共有24個(gè)球隊(duì)參加比賽，第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要比賽），決出每個(gè)組的一、二名，然后又在剩下的12個(gè)隊(duì)中按積分取4個(gè)隊(duì)（不比賽），共計(jì)16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽來(lái)確定冠亞軍，則一共需比賽（ ）場(chǎng)次．
A．53B．52C．51D．50
【答案】C
【解析】
【分析】
分單循環(huán)賽和淘汰賽：?jiǎn)窝h(huán)賽共需要場(chǎng)比賽，淘汰賽依次分別計(jì)算，在求總和即可．
【詳解】
第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽共需要場(chǎng)比賽，淘汰賽有如下情況：16進(jìn)8需要8場(chǎng)比賽，8進(jìn)4需要4場(chǎng)比賽，4進(jìn)2需要2場(chǎng)比賽，確定冠亞軍需要1場(chǎng)比賽，共需要場(chǎng)比賽
故選：C．
5．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））教育部于2022年開(kāi)展全國(guó)高校書(shū)記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長(zhǎng)拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（ ）
A．60種B．64種C．72種D．80種
【答案】A
【解析】
【分析】
按照間接法，先計(jì)算3名校長(zhǎng)在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況，然后減去3名校長(zhǎng)選的3家企業(yè)完全相同的安排方法數(shù)，即可求得所需安排情況種數(shù).
【詳解】
解：3名校長(zhǎng)在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況為：種
又每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，故3名校長(zhǎng)選的3家企業(yè)，不全相同，
因?yàn)?名校長(zhǎng)選的3家企業(yè)完全相同有種，
則不同的安排方法共有：種.故選：A.
6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在北京冬奧會(huì)短道速滑混合團(tuán)體2000米接力決賽中，中國(guó)隊(duì)成功奪冠，為中國(guó)體育代表團(tuán)奪得本屆冬奧會(huì)首金.短道速滑男女接力賽要求每隊(duì)四名運(yùn)動(dòng)員，兩男兩女，假設(shè)男女隊(duì)員間隔接力，且每位隊(duì)員只上場(chǎng)一次，則不同的上場(chǎng)次序的種數(shù)為（ ）
A．8B．16C．18D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意把問(wèn)題分類為：（1）以男運(yùn)動(dòng)員排第一位的的上場(chǎng)次序；（2）以女運(yùn)動(dòng)員排第一位的上場(chǎng)次序；然后求和，即可求解.
【詳解】
把問(wèn)題分類：（1）以男運(yùn)動(dòng)員排第一位，上場(chǎng)次序的種數(shù)為：；（2）以女運(yùn)動(dòng)員排第一位，上場(chǎng)次序的種數(shù)為：；總的上場(chǎng)次序種數(shù)合計(jì)為：
故選：A
7．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，其中是無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（ ）
A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，可考慮求有理項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由的指數(shù)值為整數(shù)，即可解出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而得到無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)即可
【詳解】
二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，
，時(shí)為有理項(xiàng)共6項(xiàng)，故無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有
故選：D.
8．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（ ）
A．280B．35C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
將化為
，利用展開(kāi)式的通項(xiàng)求解即可.
【詳解】
，
令，則，
展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，
令，可得，所以.故選：A.
9．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在二項(xiàng)式的展開(kāi)式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)中恰有兩項(xiàng)相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)已知求出求出二項(xiàng)式展開(kāi)式有3項(xiàng)是有理項(xiàng)，再利用古典概型求出恰有兩項(xiàng)有理項(xiàng)相鄰的概率.
【詳解】
展開(kāi)式通項(xiàng)為，
由題意．
所以當(dāng)時(shí)為整數(shù)，相應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，
因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式中共有9項(xiàng)，其中有3項(xiàng)是有理項(xiàng)，6項(xiàng)是無(wú)理項(xiàng)，
所求恰有兩項(xiàng)有理項(xiàng)相鄰的概率為．故選：B．
10．（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則關(guān)于的展開(kāi)式，以下命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．展開(kāi)式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有3項(xiàng) B．展開(kāi)式中系數(shù)為正數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)
C．含的項(xiàng)的系數(shù)是 D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為
【答案】C
【解析】
【分析】
寫(xiě)出展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)判斷其正負(fù)即判斷選項(xiàng)ABC的真假；求出各項(xiàng)的系數(shù)之和即可判斷選項(xiàng)D的真假.
【詳解】
解：原式=，所以的系數(shù)為1，是正數(shù)；的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有3項(xiàng)，展開(kāi)式中系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)，所以選項(xiàng)AB正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
設(shè)，所以.所以各項(xiàng)的系數(shù)之和為，所以選項(xiàng)D正確.
故選：C
二、填空題
11．（2022·浙江溫州·三模）勠力同心，共克時(shí)艱!近日，某地因出現(xiàn)新冠疫情被劃分為“封控區(qū)”“管控區(qū)”和“防范區(qū)”，現(xiàn)有6位專家到這三個(gè)“區(qū)”進(jìn)行一天的疫情指導(dǎo)工作，每個(gè)“區(qū)”半天安排一位專家，每位專家只安排半天的工作，其中專家甲只能安排在上午，專家乙不安排在“防范區(qū)”，則不同的安排方案一共有___________種.（用數(shù)字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】
根據(jù)題意分兩類：甲安排在“防范區(qū)”上午和甲不安排在“防范區(qū)”上午，分別求出其方法數(shù)，再根據(jù)分類加法原理求解即可
【詳解】
甲安排在“防范區(qū)”上午時(shí)，則專家乙有4種可能，其余4位專家有種可能，，
甲不安排在“防范區(qū)”上午時(shí)，甲有2種可能，乙有3種可能，其余4位專家有種可能，，
所以共有種安排方案.
故答案為：240
12．（2022·遼寧·育明高中一模）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A，B，C三個(gè)新節(jié)目，如果保持原來(lái)8個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有__________種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）
【答案】330
【解析】
【分析】
法1：先選后排，進(jìn)行求解；法2：用消序法進(jìn)行求解.
【詳解】
法1：
第一步，從11個(gè)位置中選3個(gè)位置，共有種方法；
第二步，三個(gè)位置中節(jié)目B位置確定，節(jié)目A，C的順序?yàn)椋?br>由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種方法.
法2：先插入節(jié)目A，再插入節(jié)目B，最后插入節(jié)目C，共有：種，
其中節(jié)目B與兩個(gè)新節(jié)目的位置關(guān)系有3種，由消序法可得總數(shù)為.故答案為：330
13．（2022·上海長(zhǎng)寧·二模）將編號(hào)為，，，的個(gè)小球放入個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子不空，若放在同一盒子里的個(gè)小球編號(hào)不相鄰，則共有__________種不同的放法．
【答案】18
【解析】
【分析】
先把4個(gè)小球分為一組，其中2個(gè)不連號(hào)小球的種類有，，為一組，再全排列即可，
【詳解】
解：先把4個(gè)小球分為一組，其中2個(gè)不連號(hào)小球的種類有，，為一組，
分組后分配到三個(gè)不同的盒子里，故共有種不同的放法；
故答案為：18．
14．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））隨著鄉(xiāng)村的發(fā)展，很多鄉(xiāng)村融合本地的特點(diǎn)發(fā)展旅游業(yè)，某縣運(yùn)用本地特點(diǎn)和風(fēng)俗習(xí)慣打造了多個(gè)特色鄉(xiāng)村，有4名游客打算去該縣的A，B，C三個(gè)特色鄉(xiāng)村旅游，每人只選擇一個(gè)鄉(xiāng)村旅游，則這4人恰好選擇了兩個(gè)鄉(xiāng)村旅游的概率為_(kāi)__．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出基本事件總數(shù)，再按照分組分配方法求出滿足條件的事件數(shù)，最后按照古典概型的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：這4名游客去A，B，C三個(gè)鄉(xiāng)村旅游，共有種結(jié)果．
這4人恰好選擇了兩個(gè)鄉(xiāng)村，有兩種分組方法：1，3和2，2，有種結(jié)果，
再將這兩組分配給兩個(gè)鄉(xiāng)村，則有種結(jié)果，
故所求概率．故答案為：
15．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））已知的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的系數(shù)為8，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)__________.
【答案】30
【解析】
【分析】
根據(jù)的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的系數(shù)為8，求出，再令，即可得出答案.
【詳解】
解：的展開(kāi)式中第二項(xiàng)為，
則，所以，
令，則，
即展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為30.故答案為：30.
16．（2022·上海徐匯·三模）已知多項(xiàng)式，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)后即可求得的值.
【詳解】
因?yàn)榈恼归_(kāi)式通項(xiàng)為，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
由，可得，所以，.故答案為：.

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