【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）
【母題題文】若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【試題解析】【詳解】∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,故答案為：
【命題意圖】本題主要考查設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，屬于基礎題.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點．
常見的命題角度有：
（1）已知切點求斜率；（2）已知斜率求切點；（3）切點、斜率均未知.
【得分要點】
設切點為(x0,y0)；（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，將x0代入導函數(shù)得切線的斜率k；（3）由斜率k和切點(x0,y0)求參數(shù)的值.
考向二 利用導數(shù)求函數(shù)的極值點與極值
【母題來源】2022年高考全國乙卷（理科）
【母題題文】已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．
【試題解析】【詳解】解：，
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當時，，當時，，
若時，當時，，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，
若時，則方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
∵,∴函數(shù)的圖象是單調遞減的指數(shù)函數(shù)，
又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：
設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，
又，所以，綜上所述，的范圍為.
【命題意圖】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導數(shù)的幾何意義，考查了轉化思想及分類討論思想，有一定的難度.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．
常見的命題角度有：
（1）求函數(shù)的極值點；（2）求函數(shù)的極值；（3）由函數(shù)的極值點極值解參數(shù)范圍.
【得分要點】
（1）求函數(shù)的定義域、求導；
（2）列表分析,確定函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）從表中找出單調性發(fā)生變化的交界點(即極值點)；
（4）最后求出所有極值點處的函數(shù)值,即得所求函數(shù)的極值.
考向三 利用導數(shù)求函數(shù)的最值
【母題來源】2022年高全國乙卷（文科）
【母題題文】函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A. B. C. D.
【試題解析】【詳解】，
所以在區(qū)間和上，即單調遞增；
在區(qū)間上，即單調遞減，
又，，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為. 故選：D
【命題意圖】利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，從而判斷出的最小值和最大值.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．
常見的命題角度有：
（1）求函數(shù)的最值；（2）利用最值求參數(shù)范圍.
【得分要點】
（1）求函數(shù)的定義域、求導；
（2）列表分析，確定函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）從表中找出單調性發(fā)生變化的交界點，進而求出最值.
一、單選題
1．（2022·河南洛陽·模擬預測（文））曲線在處的切線方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（文））已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）函數(shù)的圖象在處的切線對應的傾斜角為，則sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
4．（2022·湖北·黃岡中學模擬預測）已知a，b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A．8B．9C．10D．13
5．（2022·四川內江·模擬預測（理））函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川省內江市第六中學模擬預測（理））已知函數(shù)，設，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·哈師大附中模擬預測（文））已知是函數(shù)的一個極值點，則的值是（ ）
A．1B．C．D．
8．（2022·河南·模擬預測（理））已知函數(shù)至多有2個不同的零點，則實數(shù)a的最大值為（ ）．
A．0B．1C．2D．e
二、填空題
9．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知拋物線在處的切線過點，則該拋物線的焦點坐標為________．
10．（2022·北京市大興區(qū)興華中學三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________.
11．（2022·湖北·黃岡中學二模）函數(shù)的圖象如圖所示，記、、，則、、最大的是________.
12．（2022·全國·模擬預測）請寫出函數(shù)的一個極大值：__________．
三、解答題
13．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若在區(qū)間內是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
14．（2022·河南洛陽·模擬預測（文））已知函數(shù)在處取得極值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．
15．（2022·四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））已知函數(shù).
(1)若有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，證明：.
16．（2022·北京市第九中學模擬預測）已知．
(1)當時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；
(2)求證：.
17．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）已知函數(shù)的最小值為．
(1)求的值；
(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）
18．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知函數(shù)，其中．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù)．
專題17導數(shù)及其應用
考向一 切線方程
【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）
【母題題文】若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【試題解析】【詳解】∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,故答案為：
【命題意圖】本題主要考查設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，屬于基礎題.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點．
常見的命題角度有：
（1）已知切點求斜率；（2）已知斜率求切點；（3）切點、斜率均未知.
【得分要點】
設切點為(x0,y0)；（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，將x0代入導函數(shù)得切線的斜率k；（3）由斜率k和切點(x0,y0)求參數(shù)的值.
考向二 利用導數(shù)求函數(shù)的極值點與極值
【母題來源】2022年高考全國乙卷（理科）
【母題題文】已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．
【試題解析】【詳解】解：，
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當時，，當時，，
若時，當時，，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，
若時，則方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
∵,∴函數(shù)的圖象是單調遞減的指數(shù)函數(shù)，
又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：
設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，
又，所以，綜上所述，的范圍為.
【命題意圖】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導數(shù)的幾何意義，考查了轉化思想及分類討論思想，有一定的難度.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．
常見的命題角度有：
（1）求函數(shù)的極值點；（2）求函數(shù)的極值；（3）由函數(shù)的極值點極值解參數(shù)范圍.
【得分要點】
（1）求函數(shù)的定義域、求導；
（2）列表分析,確定函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）從表中找出單調性發(fā)生變化的交界點(即極值點)；
（4）最后求出所有極值點處的函數(shù)值,即得所求函數(shù)的極值.
考向三 利用導數(shù)求函數(shù)的最值
【母題來源】2022年高全國乙卷（文科）
【母題題文】函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A. B. C. D.
【試題解析】【詳解】，
所以在區(qū)間和上，即單調遞增；
在區(qū)間上，即單調遞減，
又，，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為. 故選：D
【命題意圖】利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，從而判斷出的最小值和最大值.
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．
常見的命題角度有：
（1）求函數(shù)的最值；（2）利用最值求參數(shù)范圍.
【得分要點】
（1）求函數(shù)的定義域、求導；
（2）列表分析，確定函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）從表中找出單調性發(fā)生變化的交界點，進而求出最值.
一、單選題
1．（2022·河南洛陽·模擬預測（文））曲線在處的切線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用導數(shù)的幾何意義去求曲線在處的切線方程
【詳解】
，則，
當時，，，
所以切線方程為，即．
故選：D．
2．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（文））已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
求導，利用切線方程，得到方程組，求出，，求出答案.
【詳解】
由，則，所以
解得：，，所以
.故選：D.
3．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）函數(shù)的圖象在處的切線對應的傾斜角為，則sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【解析】
【分析】
先求導，通過導數(shù)的幾何意義得到函數(shù)在處的切線斜率，再利用同角三角函數(shù)的關系得到sin2的值．
【詳解】
因為
所以
當時，，此時，
∴．
故選：C.
4．（2022·湖北·黃岡中學模擬預測）已知a，b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【解析】
【分析】
設切點為,求函數(shù)的導數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切點的坐標，可得,再由乘1法結合基本不等式，即可得到所求最小值．
【詳解】
設切點為 ，
的導數(shù)為，
由切線的方程可得切線的斜率為1，令，則 ，故切點為，
代入，得，
、為正實數(shù)，則，
當且僅當，時，取得最小值9，故選：B
5．（2022·四川內江·模擬預測（理））函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求導，解不等式可得.
【詳解】
的定義域為
解不等式，可得，
故函數(shù)的遞減區(qū)間為.故選：B．
6．（2022·四川省內江市第六中學模擬預測（理））已知函數(shù)，設，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
確定函數(shù)的奇偶性，利用導數(shù)證明函數(shù)的單調性，將化為，比較的大小關系即可得答案.
【詳解】
函數(shù)的定義域為，
，故為偶函數(shù)，
當時，，則，
即單調遞增，故，
所以，則在時單調遞增，
由于
因為，
而，，
即 ，則，
故選：B
7．（2022·全國·哈師大附中模擬預測（文））已知是函數(shù)的一個極值點，則的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題知，可得，由二倍角公式可算得，進而有，所以.
【詳解】
，
∴，∴，∴
故選：D
8．（2022·河南·模擬預測（理））已知函數(shù)至多有2個不同的零點，則實數(shù)a的最大值為（ ）．
A．0B．1C．2D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
先將零點問題轉化為兩函數(shù)交點問題，構造函數(shù)，研究其單調性，極值，畫出函數(shù)圖象，從而得到或，再次構造關于的函數(shù)，研究其單調性，解出不等式，求出數(shù)a的最大值.
【詳解】
令，得到，
函數(shù)至多有2個不同的零點，等價于至多有兩個不同的根，
即函數(shù)與至多有2個不同的交點
令，則，
當時，，單調遞增，
當或時，，單調遞減，
所以與為函數(shù)的極值點，且，
且在R上恒成立，畫出的圖象如下：
有圖可知：或時，符合題意，
其中，解得：，設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
由可得：，所以，綜上：實數(shù)a的最大值為2故選：C
【點睛】
對于函數(shù)零點問題，直接求解無法求解時，可以轉化為兩函數(shù)的交點問題，數(shù)形結合進行解決.
二、填空題
9．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知拋物線在處的切線過點，則該拋物線的焦點坐標為________．
【答案】
【解析】
【分析】
本題根據(jù)直線與拋物線的位置關系，利用導數(shù)解決直線與拋物線相切問題．
【詳解】
解：由題意得：
由可得，求導可得，故切線斜率為故切線方程為
又因為該切線過點，所以，解得
拋物線方程為，焦點坐標為．故答案為：
10．（2022·北京市大興區(qū)興華中學三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
使用等價轉化的思想，轉化為在恒成立，然后利用分離參數(shù)的方法，結合輔助角公式，可得，簡單計算和判斷，可得結果.
【詳解】
由題可知：
函數(shù)在區(qū)間上單調遞減
等價于在恒成立
即在恒成立
則在恒成立，所以，
由，所以
故，則，所以，即
故答案為：
【點睛】
本題考查根據(jù)函數(shù)的單調性求參，難點在于得到在恒成立，通過等價轉化的思想，化繁為簡，同時結合分離參數(shù)方法的，轉化為最值問題，屬中檔題.
11．（2022·湖北·黃岡中學二模）函數(shù)的圖象如圖所示，記、、，則、、最大的是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合的圖象分析判斷即可
【詳解】
根據(jù)導數(shù)的幾何意義，、、分別為處的切線斜率，
又與處的切線單調遞增，處的切線單調遞減，且處的切線比處的切線更陡峭，
∴，故最大為.
故答案為：
12．（2022·全國·模擬預測）請寫出函數(shù)的一個極大值：__________．
【答案】形如即可（答案不唯一）
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間從求出函數(shù)的極大值點，再代入計算可得；
【詳解】
解：因為定義域為，且，
令即，解得，
令即，解得
所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，
所以在處取得極大值，
所以，，
故答案為：，（答案不唯一）
三、解答題
13．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若在區(qū)間內是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由得，，，所以在處的切線方程為：，即.
(2)記，則，顯然可得 在單調遞減.
當 時， ，從而 在上恒成立,故在上單調遞增，又因為，所以即在上恒成立，
所以在區(qū)間上單調遞減，符合題意；
當時，，，
所以，使得，又在上單調遞減，
所以在上恒成立，在上恒成立．
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
所以，又．
令，則，所以在上單調遞增，
所以，所以，所以．
所以存在，使得，所以在上，在上，
所以在上，在上．
所以在區(qū)間上既有減區(qū)間，也有增區(qū)間，不符合題意．
綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．
14．（2022·河南洛陽·模擬預測（文））已知函數(shù)在處取得極值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)， (2)
【解析】
【分析】
（1）利用題給條件列出關于a，b的方程組，解之并進行檢驗后即可求得a，b的值；
（2）利用題給條件列出關于實數(shù)的不等式，解之即得實數(shù)的取值范圍．
(1)，則．
因為函數(shù)在處取得極值4，
所以，解得
此時．
易知在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
則是函數(shù)的極大值點，符合題意．故，．
(2)若存在，使成立，則．
由（1）得，，
且在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
15．（2022·四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））已知函數(shù).
(1)若有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，證明：.
【答案】(1) (2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)有兩個極值點轉化為導函數(shù)等于0有兩不相等的根，分離參數(shù)后，轉化為分析大致圖象，根據(jù)數(shù)形結合求解即可;
（2）不等式可轉化為，構造函數(shù)，求導后得到函數(shù)極小值，轉化為求極小值大于0即可.
(1)的定義域為，，由題意在上有兩解，
即，即有兩解.
令，即的圖象與直線有兩個交點.
，得，當時，，遞增；
當時，，遞減，，，
時，；時，，
，，a的取值范圍是.
(2)當時，，即證，即證，
令，，令，則，
當時，，在遞增.，，
存在唯一的，使得，
當時，，遞減；
當時，，遞增，.
又，，，
，，.
16．（2022·北京市第九中學模擬預測）已知．
(1)當時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；
(2)求證：.
【答案】(1)1；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）把代入，求導得函數(shù)的單調性，再由作答.
（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)借助單調性證明作答.
(1)當時，，，當且僅當時取“=”，
所以在R上單調遞增，而，即0是的唯一零點，
所以函數(shù)零點的個數(shù)是1.
(2)，令，則，因，則，
因此，函數(shù)在上單調遞增，，，
所以當時，成立.
17．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）已知函數(shù)的最小值為．
(1)求的值；
(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）求導求單調性，再求最值即可；（2）根據(jù)題意得對恒成立，令，再求導求最值即可.
(1)由題可知．令，解得；
令，解得．
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，解得．
(2)由可得對恒成立．
令，則，令，
則
因為在上單調遞增，，，
且的圖象在上不間斷，所以存在，使得，
即，則．
所以當時，單調遞減；當時，單調遞增．
則的最小值為，，
由對勾函數(shù)性質得，，
所以，
所以，即在區(qū)間上單調遞增，
所以．
所以存在整數(shù)滿足題意，且整數(shù)的最大值為．
【點睛】
導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．
18．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知函數(shù)，其中．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù)．
【答案】(1)當時，函數(shù)的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為
(2)當，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有且僅有3個零點
【解析】
【分析】
（1）求導，再分，和分類討論即可；（2）根據(jù)單調性及零點存在性定理分析即可.
(1)函數(shù)的定義域為，，
在一元二次方程中，，
①當時，，此時函數(shù)單調遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；
②當時，，此時函數(shù)單調遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；
③當時，一元二次方程有兩個不相等的根，
分別記為，有，，可得，
有，
可得此時函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為，
綜上可知，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為，
減區(qū)間為；
(2)由（1）可知：
①當時，函數(shù)單調遞增，又由，可得此時函數(shù)只有一個零點為；
②當時，由，可得，
又由，由函數(shù)的單調性可知，
當且時，可得，有，
可得，
當時，
可知此時函數(shù)有且僅有3個零點，
由上知，當時，函數(shù)有且僅有一個零點；
當時，函數(shù)有且僅有3個零點．
【點睛】
導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．

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