【母題來源】2022年高考全國(guó)I卷
【母題題文】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【試題解析】解：依題意可得，因?yàn)?，所以?br>要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：
則，解得，即．
故選：C．
【命題意圖】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象的變換，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯分析那能力，是一道中檔題．
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇形式出現(xiàn)．多為低檔題，本類題型主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及三角函數(shù)的平移變換問題.
常見題型：
平移變換、輔助角公式、誘導(dǎo)公式.
【得分要點(diǎn)】
利用降冪公式、輔助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；
利用三角函數(shù)的一些性質(zhì)解題.
考向二 三角函數(shù)的性質(zhì)
【母題來源】2022年高考北京卷
【母題題文】 已知函數(shù)，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞減B. 在上單調(diào)遞增
C. 在上單調(diào)遞減D. 在上單調(diào)遞增
【答案】C
【試題解析】因?yàn)?
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).
故選：C.
【命題意圖】本題考查倍角公式及三角函數(shù)的單調(diào)性.
【命題方向】這類試題在考查題型選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）三角函數(shù)的圖像；（2）三角函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等；
【得分要點(diǎn)】
利用倍角公式、降冪公式及輔助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；
利用三角函數(shù)的一些性質(zhì)解題.
一、單選題
1．（2022·天津市求真高級(jí)中學(xué)高二期末）函數(shù)的最小正周期為，則的值為（ ）
A．4B．2C．1D．
2．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測(cè)）已知，則表達(dá)式（ ）
A．既有最大值，也有最小值B．有最大值，無(wú)最小值
C．無(wú)最大值，有最小值D．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值
3．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)（a，b，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．1B．C．D．2
4．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（文））若，則＝（ ）
A．－B．C．－D．
5．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·上海閔行·二模）“角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱”是“"的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條許D．既不充分也不必要各件
7．（2022·甘肅·武威第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，直線為圖象的一條對(duì)稱軸，則下列說法正確的是（ ）
A．B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上的最大值為2D．為偶函數(shù)，則
8．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的是函數(shù)的圖像，則函數(shù)可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·北京·北大附中三模）如圖矩形，沿對(duì)折使得點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)度可以用含的式子表示，那么長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．4B．8C．D．
二、填空題
11．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則_________．
12．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)（文））將最小正周期為的函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，則函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為___________
13．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且方程在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
14．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①f(x)的值域是；
②f(x)在上單調(diào)遞減：
③f(x)是周期為的周期函數(shù)
④將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得一個(gè)奇函數(shù)的圖象
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．
三、解答題
15．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（其中）部分圖象如圖所示，是該圖象的最高點(diǎn)，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)．
(1)求的最小正周期及的值； (2)若，求A的值．
16．（2022·上海奉賢·二模）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)A、及的中點(diǎn) 處．km，km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）且與A、等距的一點(diǎn)處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，，．記鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為ykm．
(1)設(shè)（弧度），將表示成的函數(shù)并求函數(shù)的定義域；
(2)假設(shè)鋪設(shè)的污水管道總長(zhǎng)度是km，請(qǐng)確定污水處理廠的位置．
專題12 三角函數(shù)
考向一 三角函數(shù)的圖像
【母題來源】2022年高考全國(guó)I卷
【母題題文】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【試題解析】解：依題意可得，因?yàn)椋裕?br>要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：
則，解得，即．
故選：C．
【命題意圖】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象的變換，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯分析那能力，是一道中檔題．
【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇形式出現(xiàn)．多為低檔題，本類題型主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及三角函數(shù)的平移變換問題.
常見題型：
平移變換、輔助角公式、誘導(dǎo)公式.
【得分要點(diǎn)】
利用降冪公式、輔助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；
利用三角函數(shù)的一些性質(zhì)解題.
考向二 三角函數(shù)的性質(zhì)
【母題來源】2022年高考北京卷
【母題題文】 已知函數(shù)，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞減B. 在上單調(diào)遞增
C. 在上單調(diào)遞減D. 在上單調(diào)遞增
【答案】C
【試題解析】因?yàn)?
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).
故選：C.
【命題意圖】本題考查倍角公式及三角函數(shù)的單調(diào)性.
【命題方向】這類試題在考查題型選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)．
常見的命題角度有：
（1）三角函數(shù)的圖像；（2）三角函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等；
【得分要點(diǎn)】
利用倍角公式、降冪公式及輔助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；
利用三角函數(shù)的一些性質(zhì)解題.
一、單選題
1．（2022·天津市求真高級(jí)中學(xué)高二期末）函數(shù)的最小正周期為，則的值為（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦型函數(shù)的周期計(jì)算公式即可求解.
【詳解】
由，∴.故選：A.
2．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測(cè)）已知，則表達(dá)式（ ）
A．既有最大值，也有最小值B．有最大值，無(wú)最小值
C．無(wú)最大值，有最小值D．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值
【答案】D
【解析】
【分析】
結(jié)合余弦函數(shù)，可分別得到，，的范圍，再確定端點(diǎn)值是否可以同時(shí)取等，即可判斷.
【詳解】
由，，易知.
同時(shí)，由于是無(wú)理數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故兩端均不能取得等號(hào).
補(bǔ)充證明：二元表達(dá)式（）可以取到任意接近和的值，從而該式無(wú)最值.
①取，（），則.
對(duì)任意，由抽屜原理，存在，使得.
再考慮，使得（由的無(wú)理性，兩頭都不取等）.
則時(shí)，，從而，，即證.
②取，（），則.
對(duì)任意，由抽屜原理，存在，使得.
再考慮，使得（不取等的理由同上）.
則時(shí)，，從而，，即證.
故選：D
【點(diǎn)睛】
易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：，，均有最值，但三者加和后，需確定能否同時(shí)取得最值.
3．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)（a，b，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
整理，且，由圖中最值可得，利用相鄰對(duì)稱軸的距離求得，根據(jù)對(duì)稱軸求得，進(jìn)而可得，即，即可求解.
【詳解】
由題，，，
由圖可知，，，所以，，
又，所以，則，
因?yàn)閷?duì)稱軸為，所以，，則，
所以，即，
所以，
故選：B
4．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（文））若，則＝（ ）
A．－B．C．－D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.
【詳解】
依題意，，所以.
故選：C
5．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期.
【詳解】
，
所以，函數(shù)的最小正周期為.
故選：A.
6．（2022·上海閔行·二模）“角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱”是“"的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條許D．既不充分也不必要各件
【答案】B
【解析】
【分析】
先證明充分性，再舉出反例說明必要性不成立，得到答案.
【詳解】
由角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，可知，即成立，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱或，
所以“角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱”是“”的充分不必要條件，
故選：B.
7．（2022·甘肅·武威第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，直線為圖象的一條對(duì)稱軸，則下列說法正確的是（ ）
A．B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上的最大值為2D．為偶函數(shù)，則
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得，由可求得，可判斷A選項(xiàng)，由此有；對(duì)于B，由得，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對(duì)于C，由得，由此得在區(qū)間上的最大值為；對(duì)于D，，由，解得.
【詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)，直線為圖象的一條對(duì)稱軸，
所以，所以，
又，所以，故A不正確；
所以，
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，故B不正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的最大值為，故C不正確；
對(duì)于D，若為偶函數(shù)，且，
所以，解得，故D正確，
故選：D.
8．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)解析式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解決即可.
【詳解】
函數(shù)，
由函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，且，
得，，解，.
又因?yàn)棣?0，，所以k＝0，
所以實(shí)數(shù)ω的取值范圍是.
故選：B
9．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的是函數(shù)的圖像，則函數(shù)可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由圖象確定函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否符合要求即可.
【詳解】
由圖可知：是非奇非偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先正后負(fù)．
若，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
與條件矛盾，A錯(cuò)，
若，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，與條件矛盾，B錯(cuò)，
若，則，
當(dāng)時(shí)，，與所給函數(shù)圖象不一致，D錯(cuò)，
若，則，
當(dāng)時(shí)，，
又， ，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與所給函數(shù)圖象基本一致，
故選：C．
10．（2022·北京·北大附中三模）如圖矩形，沿對(duì)折使得點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)度可以用含的式子表示，那么長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，由三角比的定義可得，，繼而求得，令和，求導(dǎo)可得的最大值為：，繼而求得長(zhǎng)度的最小值.
【詳解】
設(shè)，，，，則，則有和，
代入，解得：，
令和，
導(dǎo)函數(shù)，即可得的最大值在時(shí)取得，
此時(shí)，求得此時(shí)，
故選：D.
二、填空題
11．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，把待求式化為關(guān)于的式子，然后代入已知計(jì)算．
【詳解】
．
故答案為：．
12．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)（文））將最小正周期為的函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，則函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為___________
【答案】，不唯一
【解析】
【分析】
根據(jù)最小正周期求出 ，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則即可求出 的解析式.
【詳解】
由題意， ， ，即 ，
向左平移 得 ，
，
令 ，∴ 的一個(gè)對(duì)稱中心為 ；
故答案為： .
13．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且方程在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，a的取值范圍即為函數(shù)的值域.
【詳解】
，
方程在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，
，，得，即a的取值范圍是，
故答案為：
14．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①f(x)的值域是；
②f(x)在上單調(diào)遞減：
③f(x)是周期為的周期函數(shù)
④將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得一個(gè)奇函數(shù)的圖象
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
先將化簡(jiǎn)，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可
【詳解】




所以的值域?yàn)?，故①錯(cuò)誤；
令 ，
當(dāng)時(shí)，的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，故②正確；
的周期 ,故③正確
的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的解析式為 ，是偶函數(shù)，故④錯(cuò)誤
故答案為：②③
三、解答題
15．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（其中）部分圖象如圖所示，是該圖象的最高點(diǎn)，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)．
(1)求的最小正周期及的值； (2)若，求A的值．
【答案】(1)2；；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用的解析式求出周期，再由給定的最高點(diǎn)P求出作答.
（2）由（1）求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，結(jié)合圖形求出和的正切，再利用和角公式計(jì)算作答.
(1)函數(shù)的最小正周期，
因是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，則，而，有，，
所以函數(shù)的最小正周期為2，.
(2)由（1）知，，由得，即點(diǎn)，由得，即點(diǎn)，
于是得，，而，
則，又，解得，
所以.
16．（2022·上海奉賢·二模）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)A、及的中點(diǎn) 處．km，km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）且與A、等距的一點(diǎn)處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，，．記鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為ykm．
(1)設(shè)（弧度），將表示成的函數(shù)并求函數(shù)的定義域；
(2)假設(shè)鋪設(shè)的污水管道總長(zhǎng)度是km，請(qǐng)確定污水處理廠的位置．
【答案】(1)
(2)位置是在線段的中垂線上且離的距離是 km
【解析】
【分析】
（1）依據(jù)題給條件，先分別求得的表達(dá)式，進(jìn)而得到管道總長(zhǎng)度y的表達(dá)式，再去求其定義域即可解決；
（2）先解方程，求得，再去確定污水處理廠的位置.
(1)
矩形中，km，km，
，，
則，
則
(2)令
則
又，即，則，則
此時(shí)
所以確定污水處理廠的位置是在線段的中垂線上且離的距離是 km

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