?專題8 欲證直線過定點，結(jié)合特征方程驗
【題型綜述】
直線過定點的解題策略一般有以下幾種：
（1）如果題設條件沒有給出這個定點，那么，我們可以這樣思考：由于這個定點對符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我們根據(jù)特殊情況先找到這個定點，再證明這個點與變量無關.
（2）直接推理、計算，找出參數(shù)之間的關系，并在計算過程中消去部分參數(shù)，將直線方程化為點斜式方程，從而得到定點.
（3）若直線方程含多個參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過頂點坐標，并帶入直線方程進行檢驗.注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.
【典例指引】
類型一 橢圓中直線過未知頂點問題
例1 【2017課標1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.
（1）求C的方程；
（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.



類型二 橢圓中直線過已知定點問題
例2. 【2017課標II，理】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。
(1) 求點P的軌跡方程；
(2)設點Q在直線上，且，證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。
【解析】(1)設出點P的坐標，利用得到點P與點,M坐標之間的關系即可求得軌跡方程為。學科&網(wǎng)
（2）由題意知。設,則
，
。
由得，又由（1）知，故
。學科&網(wǎng)
所以，即。又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F。[來源:學_科_網(wǎng)]
類型三 點在定直線上問題
例3【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標系中，橢圓C：?的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點.
（I）求橢圓C的方程；
（II）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.
（i）求證：點M在定直線上;
（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時點P的坐標.


設，聯(lián)立方程
得，
由，得且，
因此,學科&網(wǎng)

（ii）由（i）知直線方程為，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，則，
當，即時，取得最大值，此時，滿足，學科&網(wǎng)
所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為.
類型四 拋物線中直線過定點問題
例4.【2013年高考理科陜西卷】已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8.
(Ⅰ) 求動圓圓心的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 已知點B(－1,0), 設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線l過定點.
【擴展鏈接】
1. 對任意圓錐曲線，過其上任意一點作兩條直線，若直線斜率之積為定值，兩直線交圓錐曲線于
兩點，則直線過定點.
2.已知為過拋物線=的焦點的弦，，則.
3.已知為過橢圓的焦點的弦，，則.[來源:學|科|網(wǎng)]
4.已知直線，當變動時，直線恒過定點.
【新題展示】
1．【2019福建備考關鍵問題指導系列適應性練習】設為坐標原點，動圓過定點， 且被軸截得的弦長是8．
（Ⅰ）求圓心的軌跡的方程；
（Ⅱ）設是軌跡上的動點，直線的傾斜角之和為，求證：直線過定點．
【思路引導】
（Ⅰ）設動圓圓心，由題設條件，利用圓中的特殊三角形，推導出點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設出直線AB的方程為，與聯(lián)立，消元得到，利用韋達定理，最后得到直線AB恒過定點．
【解析】
(Ⅰ)設動圓半徑為
由動圓被軸截得的弦長是8得
消去得
故圓心的軌跡的方程
(Ⅱ) 設直線， ，
聯(lián)立方程得，消去得，．
則，．
設直線的傾斜角分別是

∵，同理，

∴．
，故直線過定點．
2．【2019河南鄭州1月質(zhì)量預測】設點為圓上的動點，點在軸上的投影為，動點滿足，動點的軌跡為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設的左頂點為，若直線與曲線交于兩點，（，不是左右頂點），且滿足，求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．
【思路引導】
（Ⅰ）設P（x，y），M（x0，y0），由已知條件建立二者之間的關系，利用坐標轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；
（2）由向量條件結(jié)合矩形對角線相等可得DA，DB垂直，斜率之積為﹣1，再聯(lián)立直線與橢圓方程，得根與系數(shù)關系，逐步求解得證．
【解析】
（Ⅰ）設點，，由題意可知
∵，∴，
即，
又點在圓上 ∴
代入得
即軌跡的方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設，
聯(lián)立 得

即，
∴
又
∵ ∴ 即
即
∴
∴
解得，，且均滿足即
當時，的方程為，直線恒過，與已知矛盾；
當，的方程為，直線恒過
所以，直線過定點，定點坐標為．
3．【2019新疆烏魯木齊一模】橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，過的長軸，短軸端點的一條直線方程是．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若點關于軸的對稱點為，證明直線過定點．
【思路引導】
（1）對于，當時，，即，當，，即，再寫出橢圓的方程；
（2）設直線，（），設，兩點的坐標分別為，，則，代入橢圓方程，即根據(jù)韋達定理，直線方程，求出直線過定點，
【解析】
（1）對于，當時，，即，當，，即，
橢圓的方程為，
（2）證明：設直線，（），
設，兩點的坐標分別為，，則，
聯(lián)立直線與橢圓得，
得，
，解得
，，
，
直線 ，
令，得 ，
直線過定點
4．【2019福建漳州下學期第二次質(zhì)量監(jiān)測】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，該橢圓的左頂點A到直線的距離為．
求橢圓C的標準方程；
若線段MN平行于y軸，滿足，動點P在直線上，滿足，證明：過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F．
【思路引導】
（1）根據(jù)點到直線的距離公式即可求出a的值，可得橢圓方程，
（2）由題意M（m，n），N（m，），P（2，t），根據(jù)（2）?0，可得y1＝2n，由2，可得2m+2nt＝6，再根據(jù)向量的運算可得?0，即可證明．
【解析】
(1)由題意： ，
橢圓的標準方程為：
(2)設， ，則， ，即，解
， ，，
即：，得 即
直線的方程為： ， 設過點且垂直于直線為，
直線的方程： ，即直線過定點，即直線恒過橢圓的右焦點
5．【2019河北衡水十三中學質(zhì)檢】已知拋物線：，過其焦點作斜率為1的直線交拋物線于，兩點，且線段的中點的縱坐標為4．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若不過原點且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點，且．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
【思路引導】
（1）根據(jù)線段的中點的縱坐標為4，直線的斜率為1，利用拋物線的方程，求解，即可得到拋物線的方程；
（2）設直線：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，求得，，再由得，即可得到結(jié)論．
【解析】
（1）設，兩點的坐標分別為，，
則，，兩式相減得．
即，
又線段的中點的縱坐標為4，直線的斜率為1，∴，∴．
即拋物線的標準方程為．
（2）設直線：與拋物線：交于點，，
則，
，∴，
∴，，
由得，即，，[來源:Z.xx.k.Com]
直線為，∴過定點．
6．【2019黑龍江大慶二?！恳阎獧E圓的離心率為，短軸長為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于兩點（異于），當直線，的斜率之和為4時，直線恒過定點，求出定點的坐標．
【思路引導】
（1）首先根據(jù)題中所給的條件，得到所滿足的等量關系式，求解即可；
（2）分直線AB的斜率存在與不存在兩種情況進行討論，寫出直線的方程，，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)題中的條件，求得，從而求得直線所過的定點為，當直線AB斜率不存在時，驗證也過該點，得證．
【解析】
（1）由題意知：，，．
解得，，，所以橢圓方程為．
（2）當直線的斜率存在時，設直線方程為，，．
由，得，
聯(lián)立，消去得，由題意知二次方程有兩個不等實根，
∴，．
代入得，整理得．
∵，∴，∴，，所以直線恒過定點．
當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，，，其中，∴．由，得，∴．
∴當直線的斜率不存在時，直線也過定點．
綜上所述，直線恒過定點．
7．【2019福建漳州班第一次質(zhì)檢】已知動圓過點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若是曲線上的兩個點且直線過的外心，其中為坐標原點，求證：直線過定點．
【思路引導】
（1）根據(jù)拋物線定義，可知曲線方程為拋物線，進而利用定義求得拋物線的方程。
（2）設出A、B坐標，設出AB方程，聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達定理表示出與，利用垂直關系求得m的值，進而求出定點坐標。
【解析】
解法一：（1）由題意可知等于點到直線的距離，
所以曲線是以為焦點，以直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為．
解法二：
（1）設，由題意可知等于點到直線的距離，
所以，
整理得曲線的方程為．
（2）設直線，代入，得，
設，則，，，
，，
因為直線過的外心，所以，
=0
所以，所以或，
因為直線不過點，所以，所以，
所以直線，所以直線過定點．
8．【2019湖北十堰元月調(diào)研】設是圓上的任意一點，是過點且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足．當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）已知直線與曲線交于，兩點，點關于軸的對稱點為，證明：直線過定點．
【思路引導】
（1）點A在圓x2+y2＝16上運動，引起點Q的運動，可由4|BQ|＝3|BA|，得到點A和點Q坐標之間的關系式，由點A的坐標滿足圓的方程得到點Q坐標滿足的方程；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則M′（﹣x1，y1），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，求出直線M′N的方程，即可判斷出所過的定點．
【解析】
（1）設，，因為，在直線上，
所以，．①
因為點在圓上運動，所以．②
將①式代入②式即得曲線的方程為．
（2）設，，則，
聯(lián)立，得，
所以，．
因為直線的斜率，
所以為．
令，得 ，
所以直線過定點．
【同步訓練】
1．已知橢圓的離心率e=，左、右焦點分別為F1、F2，定點，P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M、F2N的傾斜角分別為α、β且α+β=π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．
【思路點撥】（1）由橢圓的離心率求得a=c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；
（2）將直線代入橢圓方程，利用直線的斜率公式求得=，=，由+=0，結(jié)合韋達定理，即可求得m=﹣2k．則直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．
且=，=
由已知α+β=π，得+=0，即+=0，化簡，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，
∴2k×﹣（m﹣k）（）﹣2m．整理得m=﹣2k．
∴直線MN的方程為y=k（x﹣2），
∴直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．學科&網(wǎng)
2.已知焦距為2的橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右頂點為A，直線y=與橢圓C交于P、Q兩點（P在Q的左邊），Q在x軸上的射影為B，且四邊形ABPQ是平行四邊形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個不同的點M，N．
（i）若直線l過原點且與坐標軸不重合，E是直線3x+3y﹣2=0上一點，且△EMN是以E為直角頂點的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是橢圓的左頂點，D是直線MN上一點，且DA⊥AM，點G是x軸上異于點M的點，且以DN為直徑的圓恒過直線AN和DG的交點，求證：點G是定點．
【思路點撥】（1）由題意可得c=，直線y=代入橢圓方程，求得P，Q的橫坐標，可得|AB|，由四邊形ABPQ是平行四邊形，
可得|AB|=|PQ|，解方程可得b，由a，b，c的關系可得a，進而得到橢圓方程；
（2）（i）由直線y=kx代入橢圓方程，求得M的坐標，由△EMN是以E為直角頂點的等腰直角三角形，可設E（m，﹣m），求出E到直線kx﹣y=0的距離d，由題意可得OE⊥MN，|OM|=d，解方程可得k的值；
（ii）由M（﹣2，0），可得直線MN的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，可得x的方程，運用韋達定理，可得N的坐標，設G（t，0），（t≠﹣2），由題意可得D（2，4k），A（2，0），以DN為直徑的圓恒過直線AN和DG的交點，可得AN⊥DG，運用兩直線垂直的條件，可得斜率之積為﹣1，解方程可得t=0，即可得到定點．


（ii）證明：由M（﹣2，0），可得直線MN的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，
可得﹣2+xN=﹣，[來源:學?？?。網(wǎng)]
解得xN=，
yN=k（xN+2）=，即N（，），
設G（t，0），（t≠﹣2），由題意可得D（2，4k），A（2，0），
以DN為直徑的圓恒過直線AN和DG的交點，學科&網(wǎng)
可得AN⊥DG，
即有kAN?kDG=﹣1，
即為?=﹣1，
解得t=0．學科&網(wǎng)
故點G是定點，即為原點（0，0）．
3.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，），且離心率e=
（1）求橢圓E的方程；
（2）設橢圓E的右頂點為A，若直線l：y=kx+m與橢圓E相交于M、N兩點（異于A點），且滿足MA⊥NA，試證明直線l經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標．
【思路點撥】（1）由題意的離心率公式e=，求得a=2c，b2=3c2，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由題意可知?=0，由向量數(shù)量積的坐標運算及韋達定理，即可求得m和k的關系，代入即可求得直線恒過定點．
∴++2×+4=0，
化簡得，7m2+4k2+16mk=0
解得m=﹣2k或m=﹣且均滿足3+4k2﹣m2＞0
當m=﹣2k時，L：y=k（x﹣2），直線過定點（2，0）與已知矛盾；
當m=﹣時，L；y=k（x﹣），直線過定點（，0），
綜上，直線l過定點，定點坐標為（，0）．
4.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為圓F1、F2，M是C上一點，|MF1|=2，且．
（1）求橢圓C的方程；[來源:學,科,網(wǎng)]
（2）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于不同兩點A，B時，線段AB上取點Q，且Q滿足，證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線．
【思路點撥】（1）由已知得a=2c，且，由余弦定理求出c=1．由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+（1﹣4k），代入橢圓方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，由此利用韋達定理、向量，結(jié)合已知條件能證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線．

5. 已知橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），離心率e=，點P（，1）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過C的右焦點F作兩條弦AB，CD，滿足?=0，且=2，=2，求證：直線MN過定點，并求出此定點．
【思路點撥】（1）由a=c，則b2=a2﹣c2=2c2，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程．
（2）然后分弦AB，CD的斜率均存在和弦AB或CD的斜率不存在兩種情況求解．當斜率均存在時，寫出直線AB的方程，代入橢圓方程后化簡，利用根與系數(shù)關系求得M坐標，同理求得N的坐標．進一步分k≠±1和k=±1求得直線MN的方程，從而說明直線MN過定點，當弦AB或CD的斜率不存在時，易知，直線MN為x軸，也過點（，0）．

則x1+x2=，x1x2=，
∴x0==，y0=k（x0﹣1）=﹣，
于是M（，﹣）．
∵CD⊥AB，∴將點M坐標中的k換為﹣，
即得點N（，）．
①當k≠±1時，直線MN的方程為y﹣=﹣（x﹣）．
令y=0，得x=，則直線MN過定點（，0）；
②當k=±1時，易得直線MN的方程x=，也過點（，0）．
當弦AB或CD的斜率不存在時，易知，直線MN為x軸，也過點（，0）．
綜上，直線MN必過定點（，0）．學科&網(wǎng)
6.已知橢圓C：x2+4y2=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）橢圓C的長軸的兩個端點分別為A，B，點P在直線x=1上運動，直線PA，PB分別與橢圓C相交于M，N兩個不同的點，求證：直線MN與x軸的交點為定點．
【思路點撥】（1）求得橢圓的標準方程，則a=2，b=1，則c=，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；
（2）設P（1，t），由已知條件分別求出M，N的坐標，設定點為Q，再由kMQ=kNQ，能證明直線MN經(jīng)過一定點Q（4，0）．



7.在直角坐標系xOy 中，F(xiàn)，A，B 分別為橢圓 的右焦點、右頂點和上頂點，若
（1）求a的值；
（2）過點P（0，2）作直線l 交橢圓于M，N 兩點，過M 作平行于x 軸的直線交橢圓于另外一點Q，連接NQ，求證：直線NQ 經(jīng)過一個定點．
【思路點撥】（1）由題意得：，解得a；
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），直線l 的方程為y=kx+2，將y=kx+2 代入橢圓方程得（3+4k2）x2+16kx+4=0，，直線NQ 的方程，由對稱性可知，若過定點，則必在y 軸上，令x=0，即可．

8.已知橢圓的一個焦點為，其左頂點在圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線交橢圓于兩點，設點關于軸的對稱點為 （點與點不重合），證明：直線過x軸上的一定點，并求出定點坐標．
【思路點撥】（1）利用點在橢圓上和幾何要素間的關系求其標準方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓的標準方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到直線的點斜式方程，再利用賦值法進行求解.
【詳細解析】（1）∵橢圓的左頂點在圓上，∴
又∵橢圓的一個焦點為，∴ ∴
∴橢圓的方程為

9.已知動圓M恒過點（0，1），且與直線y=﹣1相切．
（1）求圓心M的軌跡方程；
（2）動直線l過點P（0，﹣2），且與點M的軌跡交于A、B兩點，點C與點B關于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點．
【思路點撥】（1）由題意可知圓心M的軌跡為以（0，1）為焦點，直線y=﹣1為準線的拋物線，根據(jù)拋物線的方程即可求得圓心M的軌跡方程；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．代入拋物線方，由韋達定理及直線直線AC的方程為：y﹣y2=﹣（x+x2），把根與系數(shù)的關系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直線恒過定點．
【詳細解析】（1）∵動點M到直線y=﹣1的距離等于到定點C（0，1）的距離，
∴動點M的軌跡為拋物線，且=1，解得：p=2，
∴動點M的軌跡方程為x2=4y；
（2）證明：由題意可知直線l的斜率存在，
設直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．
聯(lián)立，化為x2﹣4kx+8=0，

10.已知F是拋物線C：x2=4y的焦點，A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線C上不同的兩點，l1，l2分別是拋物線C在點A、點B處的切線，P（x0，y0）是l1，l2的交點．
（1）當直線AB經(jīng)過焦點F時，求證：點P在定直線上；
（2）若|PF|=2，求|AF|?|BF|的值．
【思路點撥】（1）當直線AB經(jīng)過焦點F時，求出切線PA，PB的方程，可得P的坐標，即可證明：點P在定直線上；
（2）設直線AB的方程為y=kx+m，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0，求出P的坐標，利用韋達定理，即可求|AF|?|BF|的值．
【詳細解析】（1）證明：拋物線，則，
∴切線PA的方程為，即，
同理切線PB的方程為，
聯(lián)立得點P，
設直線AB的方程為y=kx+1，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0．所以x1x2=﹣4
所以點P在直線y=﹣1上；
（2）證明：設直線AB的方程為y=kx+m，
代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，所以P（2k，﹣m），，
=﹣4mk2+4k2（m+1）+4﹣4k2=4．
11.已知動點C到點F（1，0）的距離比到直線x=﹣2的距離小1，動點C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km＜0）與曲線E相交于A，B兩個不同點，且，證明：直線l經(jīng)過一個定點．
【思路點撥】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；
（2）設直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，求得m=﹣5k，即可求得直線l的方程，則直線l必經(jīng)過定點（5，0）．
12.．已知動點滿足： .
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點的直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為（點與點不重合），證明：直線恒過定點，并求該定點的坐標.
【思路點撥】（1）動點到點， 的距離之和為，且，所以動點的軌跡為橢圓，從而可求動點的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由　得，，根據(jù)韋達定理可得
，直線的方程為，即可證明其過定點.

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