一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，
1. 命題“存在一個五邊形，它是軸對稱圖形”的否定是（ ）
A. 存在無數(shù)個五邊形，它是軸對稱圖形
B. 存在一個五邊形，它不是軸對稱圖形
C. 任意一個五邊形，它是軸對稱圖形
D. 任意一個五邊形，它不是軸對稱圖形
【答案】D
【解析】命題“存在一個五邊形，它是軸對稱圖形”的否定是“任意一個五邊形，它不是軸對稱圖形”.
故選：D.
2. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得，故A正確；
元素與集合間只有屬于與不屬于，故B錯誤；
集合與集合間不能是屬于關(guān)系，故C錯誤；
，故D錯誤.
故選：A.
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】，．
故選：D.
4. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以又在R上為增函數(shù)，所以，故.
故選：C.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
6. 國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收入和支出數(shù)據(jù)如圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入逐年增加
B. 2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會產(chǎn)老保險(xiǎn)基金支出逐年增加
C. 2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為4852.9億元
D. 2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為4107.0億元
【答案】D
【解析】根據(jù)柱狀圖中給定數(shù)據(jù)可知，
2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入逐年增加，故A不符合題意；
2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會產(chǎn)老保險(xiǎn)基金支出逐年增加，故B不符合題意；
，故2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為4852.9億元，故C不符合題意；
，
2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入數(shù)據(jù)的分位數(shù)為
億元，故D符合題意.
故選：D.
7. 已知，則的最大值為（ ）
A. 2B. 4C. 8D.
【答案】B
【解析】，則有，
可得，即4，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最大值為4.
故選：B.
8. 把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得.若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則至少要經(jīng)過（?。海? ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】的物塊經(jīng)過后的溫度，
的物塊經(jīng)過后的溫度.
要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則，
即，解得.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知且，，則函數(shù).與的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】因且，，則中必有一個大于1，一個小于1且大于零.
當(dāng)時，有，則B項(xiàng)符合，當(dāng)時，有，則D項(xiàng)符合.
故選：BD.
10. 已知，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】因?yàn)?，所以?br>則有，AD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤；
與的大小不確定，C選項(xiàng)不恒成立.
故選：AD.
11. 已知點(diǎn)，若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A選項(xiàng)，設(shè)，將點(diǎn)代入可得，解得，則，
因?yàn)楹秃瘮?shù)在上都單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，，A正確；
B選項(xiàng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故與的大小不確定，B錯誤；
C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，
所以，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，
則，D錯誤.
故選：AC.
12. 已知函數(shù)且，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 的圖象與直線一定沒有交點(diǎn)
C. 若的圖象與直線有2個交點(diǎn)，則的取值范圍是
D. 若的圖象與直線交于兩點(diǎn)，則線段長度的取值范圍是
【答案】ABC
【解析】，所以是偶函數(shù)，正確.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，此時的圖象與直線沒有交點(diǎn).
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，此時的圖象與直線沒有交點(diǎn)，
故的圖象與直線一定沒有交點(diǎn)，B正確；
令，則，即，
若的圖象與直線有2個交點(diǎn)，
則1，解得.又因?yàn)榍遥缘娜≈捣秶?,1，C正確；
由，解得，所以，錯誤.
故選：ABC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 函數(shù)的定義域?yàn)開_________.
【答案】
【解析】，解得，故定義域?yàn)?
14. 某社區(qū)有60歲以上的居民800名，20歲至60歲的居民1800名，20歲以下的居民400名，該社區(qū)衛(wèi)生室為了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，準(zhǔn)備對該社區(qū)所有居民按年齡采用分層隨機(jī)抽樣的辦法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取了一個容量為150的樣本，則樣本中年齡在20歲以下的居民的人數(shù)為__________.
【答案】20
【解析】由分層抽樣的定義可知，
樣本中年齡在20歲以下的居民的人數(shù)為.
15. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】當(dāng)時，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增且大于0恒成立，
有解得.
綜上，的取值范圍是.
16. 某單位舉辦演講比賽，最終來自四個部門共12人進(jìn)入決賽，把四個部門進(jìn)入決賽的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本方差為2.5，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為__________.
【答案】5
【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)為， ，且.
樣本平均數(shù)為3，樣本方差為，
則，所以，解得.
當(dāng)時，，
因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)互不相同，所以不存在使得等式成立.
當(dāng)時，，存，使得等式成立.
當(dāng)時，因樣本數(shù)據(jù)互不相同，所以不存在使得等式成立.
所以樣本數(shù)據(jù)中的最大值為5.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合.
（1）求；
（2）求.
解：（1）因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)椋?
18. 已知函數(shù).
（1）求的最小值；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.
解：（1）因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為2.
（2）函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，證明如下：
令，則.
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以在1,+∞上單調(diào)遞增.
19. 某果園為了更好地銷售沃柑，需對其質(zhì)量進(jìn)行分析，以便做出合理的促銷方案.現(xiàn)從果園內(nèi)隨機(jī)采摘200個沃柑進(jìn)行稱重，其質(zhì)量（單位：克）分別在中，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求的值；
（2）該果園準(zhǔn)備將質(zhì)量較大的沃柑選為特級果，單獨(dú)包裝售賣，求被選為特級果的沃柑的質(zhì)量至少為多少克.
解：（1）根據(jù)題意得，
解得.
（2）設(shè)選為特級果的沃柑的質(zhì)量至少為克.
最后一組的面積為，
最后兩組的面積之和為.
因?yàn)?，所以位于倒?shù)第2組，
則，解得，
所以被選為特級果的沃柑的質(zhì)量至少為140克.
20 已知函數(shù).
（1）證明：若，則.
（2）求的值.
解：（1）證明：
.
若，則.
故.
（2）由（1）可知.
又因?yàn)椋?br>所以.
21. 某果園占地約200公頃，擬種植某種果樹，在相同種植條件下，該種果樹每公頃最多可種植600棵，種植成本y（單位：萬元）與果樹數(shù)量x（單位：百棵）之間的關(guān)系如下表所示.
為了描述種植成本y（單位：萬元）與果樹數(shù)量x（單位：百棵）之間的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：①；②；③.
（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式.
（2）已知該果園的年利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系式為，則果樹數(shù)量x（單位：百棵）為多少時年利潤最大？并求出年利潤的最大值.
解：（1）因?yàn)槟Ｐ廷墼谔師o意義，所以不符合題意.
若選擇①作為y與x的函數(shù)模型，將，代入，得，
解得，則，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
與表格中的實(shí)際值相差較大，所以①不適合作為y與x的函數(shù)模型.
若選擇②作為y與x的函數(shù)模型，將，代入，得，
解得，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
與表格中的實(shí)際值相同，所以②更適合作為y與x的函數(shù)模型，
且相應(yīng)的函數(shù)解析式為.
（2）由題可知，該果園最多可種120000棵該種果樹，所以且.
，
令，則，
當(dāng)，即時，z取得最大值，
最大值為79萬元.
22. 已知函數(shù)且.
（1）若，函數(shù)，求的定義域；
（2）若，求的取值范圍.
解：（1），代入可得：
，
有意義可得，所以，
的定義域?yàn)?
（2）.
因?yàn)榍?，所以恒成?
若，則函數(shù)是增函數(shù).
因?yàn)?，所以，?
設(shè)，要使時，恒成立，
只需或解得.
故符合題意.
若，則函數(shù)是減函數(shù).
因?yàn)?，所以，?
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，不等式不可能恒成立.
故不符合題意.
綜上，的取值范圍為.x
0
4
9
16
36
y
3
7
9
11
15

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