湖北省云學部分重點高中聯(lián)盟2025屆高三上學期10月聯(lián)考數學試題（Word版附解析）-試卷下載-教習網

命題學校：孝感高中命題人：柴全中王燕霞張翔李麗珠審題人：褚衛(wèi)斌
考試時間：2024年10月8日15∶00-17∶00 時長：120分鐘滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據題意求集合，進而求交集.
【詳解】由題意可知：，
，
所以.
故選：C.
2. 若則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角余弦公式，及齊次式弦化切，從而得到結果.
【詳解】
，
故選：D.
3. 數列是公差不為零的等差數列，它的前項和為，若且成等比數列，則（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據等差數列性質可得，再根據等比中項運算可得，即可得結果.
【詳解】設等差數列的公差，
因為，即，
又因為成等比數列，則，
即，整理可得，
所以.
故選：B.
4. 已知函數，對任意的，都有成立，則的可能取值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據題意分析可知函數的最小正周期，在利用最小正周期公式運算求解.
【詳解】因為，即，可得，
可知函數的最小正周期，
且，即，解得.
故選：D.
5. 對于平面凸四邊形，若，則四邊形的面積為（）
A. B. C. D. 大小不確定
【答案】A
【解析】
【分析】根據向量夾角公式可得直線的夾角的余弦值，再結合面積公式運算求解.
【詳解】因為，則，
可得，
設直線的夾角為，
則，可得，
所以四邊形的面積為.
故選：A.
6. 已知函數在區(qū)間單調遞增，則實數的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得，分析可知對任意恒成立，參變分離結合正弦函數有界性分析求解.
【詳解】因，則，
由題意可得對任意恒成立，
即對任意恒成立，
又因為，則，可得，
所以實數的取值范圍是.
故選：A.
7. 在平面直角坐標系中，雙曲線的左?右焦點分別為為雙曲線右支上一點，連接交軸于點，若，且，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設，可得，，根據直角三角形三角比可得，再利用勾股定理列式求解.
【詳解】設，則，，
因為，則，
即，整理可得，則，
又因為，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
8. 已知函數有兩個極值點，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求導，分析可知有兩個不相等的正根，根據二次方程根的分布解得，可得，構建，利用導數求值域即可.
【詳解】由題意可知：的定義域為，且，
由題意可知：有兩個不相等的正根，
顯然，即有兩個不相等的正根，
則，解得，
可得，
令，則，
可知在內單調遞減，則，
且當趨近于0時，趨近于，
即值域為，所以的取值范圍是.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：利用韋達定理可得，進而構建函數求值域.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）
A. 若與互斥，則
B. 若與相互獨立，則
C. 若，則與相互獨立
D. 若發(fā)生時一定發(fā)生，則
【答案】BC
【解析】
【分析】選項A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；選項B，利用，求得，即可求解；選項C，利用相互獨立的判斷方法，即可求解；選項D，由題知，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為與互斥，則，所以選項A錯誤，
對于選項B，與相互獨立，則，所以選項B正確，
對于選項C，因為，所以，由相互獨立的定義知與相互獨立，所以選項C正確，
對于選項D，因為發(fā)生時一定發(fā)生，所以，則，所以選項D錯誤，
故選：BC.
10. 已知，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A：結合題意利用反證法分析判斷；對于C：根據題意結合不等式性質分析判斷；對于B：根據，，結合不等式性質分析判斷；對于D：根據題意分析可知，，即可得結果.
【詳解】對于A：因為，且，
若，則，則，不合題意，所以；
若，則，則，不合題意，所以；
綜上所述：，故A正確；
對于C：因為，則，可得，
即，可得，故C錯誤；
對于B：由選項AC可知：，且，得，
即，且，所以，故B正確；
對于D：因為，可得，
又因為，可得，
所以，故D正確；
故選：ABD.
11. 設是銳角三角形的兩個內角，且，則下列不等式中正確的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意可得：，且，，利用誘導公式結合三角恒等變換以及正弦函數的有界性逐項分析判斷.
【詳解】因為是銳角三角形的兩個內角，且，
可得：，且，，
對于選項A：因為，且，則，
可得，
因為，則，可得，
所以，故A正確；
對于選項B：因為，
且，即，
則，即，故B錯誤；
對于選項C：因為，則，
則，
由選項A可知：，
所以，故C正確；
對于選項D：因為，
又因為，則，
可得，即，
所以，故D正確；
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：根據銳角三角形分析滿足的條件和范圍，這是解題的關鍵和基礎.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若復數滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用復數運算法則求出，進而求出模長.
【詳解】由已知條件可知，
可得到，化簡整理可得，
，所以，
所以.
故答案為：
13. 若是偶函數，則實數的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函數偶函數，則，代入計算并驗證即可求出.
【詳解】函數是偶函數，則,
,
化簡可得.
當時，則
所以，則，
所以函數是偶函數，則.
故答案為：
14. 在如圖所示的直角梯形中，為梯形內一動點，且，若，則的最大值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】建系，設，根據向量的坐標運算用表示，利用輔助角公式結合正弦函數最值求最值.
【詳解】如圖，以為坐標原點，建立平面直角坐標系，
則，
且，可知點在標準單位圓上，可設，
可得，
若，
可得，解得，
則，
其中，
當且僅當，即，時，
，此時為第四象限角，符合題意，取到最大值
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：對于向量中的動點問題，常常建系，利用向量的坐標運算運算求解，可以簡化復雜的線性運算推導.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數列的前項和為且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，數列的前項和為.求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據題意先求得，，利用構造法求得，即可得結果；
（2）由（1）可得，即可得，利用裂項相消法求和即可.
【小問1詳解】
因為，可得
令，可得，即，
由可得，且，
可知數列是以首項為2，公比為2的等比數列，
則，可得，即，
則，
且符合上式，所以.
【小問2詳解】
由（1）可得：，
則，
可知bn是以首項，公差為1的等差數列，可得，
當時，則，
所以.
16. 在中，三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.設向量，，且.
（1）求角B大??；
（2）設D是邊上的一點，使得的面積是面積的2倍，且，求線段的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 根據向量共線的坐標表示可得，結合正弦定理邊角互化以及三角恒等變換運算求解；
(2) 根據面積相等關系可得，再結合題中關系，兩式聯(lián)立即可得結果.
【小問1詳解】
∵，
∴.
由正弦定理，得.
在三角形中，，所以，
∴，所以.
【小問2詳解】
∵
∴.
∵，
∴.
兩邊同時除以，又，
∴.
又，
∴.
17. 已知為實數，函數（其中是自然對數的底數）.
（1）討論函數的單調性；
（2）若對任意的恒成立，求的最小值.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）對求導，得到，再分和兩種情況，利用導數與函數單調性間的關系，即可求解；
（2）根據條件，利用（1）中結果得到，構造函數，利用導數與函數單調性間的關系，求出的單調區(qū)間，進而求出的最小值，即可求解.
【小問1詳解】
易知，因為，所以，
當時，恒成立，此時在上單調遞增，
當時，由，得到，
當時，，當時，，即區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
綜上，時，在上單調遞增，
時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
【小問2詳解】
因為當時，時，，
由（1）知，要使對任意的恒成立，則，且恒成立，
即恒成立，得到，
所以，
令，則，由，得到，
當時，，時，，
所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
所以，故的最小值為.
18. 如圖，在四棱錐中，底面，，平面與平面的交線為.
（1）求證：平面；
（2）設為內一動點，且，求線段長度的最小值；
（3）在（2）的條件下，當線段的長最小時，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據線面平行的性質定理得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，即可求解；
（2）取的中點，連接，由平面向量的數量積運算得得，當三點共線時，等號成立，此時取得最小值，即可求解；
（3）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和的方向向量，利用線面角的向量法，即可求解.
【小問1詳解】
因為，所以，
而平面，平面，得平面，
由平面，平面平面，得，
因為平面，平面，
所以，而，平面，
得平面，由，得平面．
【小問2詳解】
如圖所示：
取的中點，連接，則
，
而，
得，得，
而，由，得，
由，當三點共線時，等號成立，此時取得最小值，
則線段長度的最小值為：．
【小問3詳解】
當線段的長最小時，，
以A為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
，
，
，，
設平面的一個法向量為，
由，得到，
取，得到，即，
設與平面所成角為，
則．
19. 在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵.若把信息熵定義為概率分布的對數的相反數，設隨機變量的所有取值為，定義信息熵：
（1）若，且，求隨機變量的信息熵；
（2）若，求隨機變量的信息熵；
（3）設和是兩個獨立的隨機變量，求證：.
【答案】（1）1 （2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）直接代入公式求解.
（2）利用錯位相減求和即可求解.
（3）分別求出和，由，，，利用公式進行證明即可.
【小問1詳解】
若，則隨機變量的取值為1或2，
又，故，
，
所以隨機變量的信息熵為1.
【小問2詳解】
由題意，當時，，
，
而，
，
令，則，兩式相減得
，
所以，
則.
【小問3詳解】
由題意，，
，
而且，，
所以
.

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