2025湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題學(xué)校：新洲一中命題人：黃宏斌張千秋陳雙雄審題學(xué)校：孝感高中
考試時間：2025 年 3 月 4 日 15：00-17：00 時長：120 分鐘試卷滿分：150 分
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答
題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試
卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答
題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合
題目要求的.）
1. 與直線關(guān)于 y 軸對稱的直線的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出已知直線和軸的交點，再求出要求直線的斜率，用斜截式求出要求直線的方程．
【詳解】解：直線，即，它與軸的交點為，
它關(guān)于軸對稱的直線的斜率為，故要求直線的方程為，即 .
故選：C．
2. 已知曲線上一點，記為函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】求導(dǎo)可得，進(jìn)而求解.
【詳解】，，所以，
所以 .
故選：D
3. 已知數(shù)列滿足，，，則（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由遞推關(guān)系窮舉后猜想，再計算可得.
【詳解】，，，
，
猜想：，經(jīng)檢驗符合題意，
故 .
則，
故選：B.
4. 如圖，在棱長為 1 的正四面體（四個面都是正三角形）中，分別為的中點，則直
線和夾角的正弦值為（）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)空間向量的線性運算可得和數(shù)量積的運算律和定義計算即可求解.
【詳解】，因為分別為的中點，
所以，，且，
則
，
所以，
即直線和夾角的余弦值為，所以正弦值為 .
故選：C
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5. 橢圓上的點到直線的最大距離為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)橢圓上的一動點，由點到直線距離公式結(jié)合三角函數(shù)知識可得
答案.
【詳解】由是橢圓上的動點.
可設(shè) ，，
由點到直線的距離公式可得，
，，
，最大距離 .
故選：C.
6. 已知函數(shù) ，記等差數(shù)列的前項和為，若，
，則（）
A. B. C. 2025 D. 4050
【答案】A
【解析】
【分析】令，即可得到在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，依題意可得、
，從而得到的值，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.
【詳解】令，則的定義域為，又，
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所以為奇函數(shù)，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以，即，
所以 .
故選：A
7. 已知三棱錐的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且，，則該三棱錐
的內(nèi)切球的半徑為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將三棱錐可以嵌入一個長方體內(nèi)用體積轉(zhuǎn)化的方法求解該三棱錐的內(nèi)切球的半徑.
【詳解】根據(jù)題意，三棱錐可以嵌入一個長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，
設(shè)長方體交于一個頂點的三條棱長為 a，b，，如圖所示，
則，，，解得，， .
所以該三棱錐的的體積為，
而，
所以可求得，故選：C
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8. 已知拋物線方程為，在軸上存在一定點，使得經(jīng)過點的任意一條弦，滿足
為定值，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知拋物線從特殊到一般的思想.結(jié)合極限位置計算求解；聯(lián)立得出韋達(dá)定理結(jié)合兩點間距離
計算求解.
【詳解】方法一：假設(shè)點 M 的坐標(biāo)為，，當(dāng) AB 垂直 x 軸時，；
當(dāng) AB 與 x 軸重合時，，所以，；
方法二：假設(shè)點 M 的坐標(biāo)為，當(dāng) AB 不與 x 軸重合時，
可設(shè)直線 AB 的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，
設(shè) ，，
，，，
則，
因為無論直線 AB 怎么變化，t 恒為定值，所以，即；
當(dāng) AB 與 x 軸重合時，可以驗證也成立.
所以綜上所述，，，
故選：B
二、多選題（本題共 3 小題，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.）
9. 已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，是數(shù)列的前項和，若，，則（）
A.
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B. 數(shù)列是公比為等比數(shù)列（為自然對數(shù)的底數(shù)）
C.
D. 數(shù)列是公差為的等差數(shù)列
【答案】AB
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而求出，，即可判斷 AC；結(jié)合等、差比數(shù)
列的定義即可判斷 BD.
【詳解】A：依題意，設(shè)公差為 d，則，
由，，
解得，，故 A 正確；
B：由，得，所以，
由，即數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故 B 正確；
C：，故 C 錯誤；
D：由，得，
所以，不恒為常數(shù)，
所以不是等差數(shù)列，故 D 錯誤.
故選：AB
10. 已知動點與兩個定點，的距離的比為，動點的軌跡為曲線，則（）
A. 曲線的軌跡方程為
B. 直線與曲線交于、兩點，則的長為
C. 曲線與曲線的公切線有 2 條
D. 已知點，點，點為曲線上任意一點，則最大值為
【答案】ACD
【解析】
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【分析】先設(shè) 再結(jié)合兩點間距離公式計算求解軌跡方程即可判斷 A，再應(yīng)用幾何法計算弦長判斷
B，判斷兩個圓的位置關(guān)系判斷公切線個數(shù)判斷 C，結(jié)合已知計算距離差最大即可判斷 D.
【詳解】A.設(shè) ，由可得，化簡得，
即 .故曲線的軌跡方程為，A 正確；
B.由 A 得：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以圓心到直線距離，所以，所
以 B 錯誤；
C.因為兩圓心間距離為大于半徑差小于半徑和，兩個圓是相交關(guān)系，所以公切線條數(shù)是 2
條，C 正確；
D.已知點，動點 N 與點，點的距離的比為，
所以，D 正確.
故選：ACD.
11. 如圖，已知正方體的棱長為 4，點為的中點，點為正方形上的動
點，則（）
A. 滿足平面的點的軌跡長度為
B. 滿足的點的軌跡長度為
C. 存在點，使得平面經(jīng)過點
D. 不存在點滿足
【答案】ABD
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【解析】
【分析】選項 A：證平面平面得到點的軌跡長度為，
選項 B:過點作，交于點，可得：，
然后證明平面，得到點的軌跡從而求出軌跡長度.
選項 C：連接，取中點，連接 AH，HM，
則可知平面截正方體所得的截面為，與正方形沒有交點，
從而判斷選項 C.
選項 D：延長到點，使得，得到的最小值為 .從而判斷出選項 D.
【詳解】如圖 1，取的中點，取的中點，連接，F(xiàn)M，，
因為為的中點，所以，，，
因為平面，平面，
所以平面，同理可得：平面，
因為，平面，所以平面平面，
圖 1
因為點為正方形上的動點，所以當(dāng) 在線段上時，平面，
故滿足平面的點的軌跡長度為的長，為，A 正確；
如圖 2，過點作，交于點，可得：，
因為正方體的棱長為 4，點為的中點，
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圖 2
所以，，故，
即，解得：，
過點作，交于點，交于點，則平面，
因為平面，所以，當(dāng)點位于線段上時，
滿足，
即滿足的點的軌跡長度為線段的長度，又因為，
所以 B 選項正確；
圖 3
如圖 3，連接，取中點，連接 AH，HM，
則可知平面截正方體所得的截面為，與正方形沒有交點，
所以不存在點，使得平面經(jīng)過點，故不正確；
如圖 4，延長到點，使得，
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圖 4
則點關(guān)于平面的對稱點為，連接交正方形于點，
則此時使得取得最小值，最小值為，
所以不存在點滿足，D 正確；
故選：ABD
三、填空題.（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12. 設(shè)函數(shù) 在處的導(dǎo)數(shù)存在，且，則 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算直接得出結(jié)果.
【詳解】 .
故答案為：
13. 已知雙曲線的方程為，點，點，點為雙曲線上的一個動點，則
的最小值為_____.
【答案】7
【解析】
【分析】結(jié)合圖形可知點為上支上的點時才可能取得最小值，根據(jù)雙曲線的定義可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 三點共線時取等號.
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【詳解】由題意得雙曲線的焦點在軸上，且，所以點為雙曲線的上焦點，
設(shè)下焦點為，結(jié)合圖形可知點為上支上的點時才可能取得最小值，
由雙曲線的定義可得，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 三點共線時取等號.故
的最小值為 7.
故答案為：
14. 記，表示個元素的有限集，表示非空數(shù)集中所有元素的和，
若集合，則 _____，若，則的最小值為_____.
【答案】 ①. ②. 14
【解析】
【分析】根據(jù)定義確定，從而可歸納出中的元素，求和后解不等式可得．
【詳解】當(dāng) ，時，，表示 2 個元素的有限集，
由可知，或或，故；
由題意知，
故由可得，即，
結(jié)合，可以估算得的最小值為 14
故答案為：；14.
四、解答題（本題共 6 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
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15. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，， .
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若是數(shù)列的前項積，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量計算求通項公式；
（2）方法一：根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞減結(jié)合通項公式計算即可得出的最大值；方法二：應(yīng)用指數(shù)運算
計算結(jié)合二次函數(shù)得出最值即可.
【小問 1 詳解】
因為數(shù)列為等比數(shù)列，，，
所以，，
所以，，
所以
【小問 2 詳解】
方法一：因為，且，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
當(dāng) 時，最大，
即，解得：，
此時，的最大值為 .
方法二：因為，
所以
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由二次函數(shù)的知識以及，在或者時，同時取得最大值，
此時，的最大值為 .
16. （1）證明：，；
（2）已知函數(shù) （，，e 為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（I）當(dāng) 時，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù) 在上單調(diào)遞增，求實數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（I）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（II）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù) 的單調(diào)性可得，即可證明；
（2）（I）令，求出，根據(jù) 即可求解；（II）將問題轉(zhuǎn)化為對任意
恒成立，即對任意恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求
解.
【詳解】（1）構(gòu)造函數(shù) ，，
令，得，列表如下：
1
- 0 +
遞減極小值遞增
所以，即有成立.
（2）（I）當(dāng) 時，，
所以 .
令，因為，所以，解得或 .
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列表如下：
-4 -2
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由表可知，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為 .
（II）因為函數(shù) 在上單調(diào)遞增，所以 .
即對任意恒成立，
因，且，
所以對任意恒成立.
設(shè) ，，
因為的開口向上，所以只需要考慮兩個端點的情況就行了，
則，即，解得 .
即實數(shù) 的取值范圍為 .
17. 已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足， .
（1）證明：數(shù)列不是等比數(shù)列；并且求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）令，記數(shù)列的前項和為，求證： .
【答案】（1）證明見解析，
（2）
（3）證明見解析
【解析】
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【分析】（1）根據(jù) 即可證明不是等比數(shù)列；根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式計算
即可求解；
（2）方法一：根據(jù) 和等差數(shù)列的定義和通項公式計算即可求解；方法二：根據(jù)累乘法計算即
可求解；
（3）由題意得，結(jié)合裂項相消法求和可得，
即可證明.
【小問 1 詳解】
由題意，，因為，
數(shù)列的第一項為 0，數(shù)列不是等比數(shù)列；
但是，
且，
∴數(shù)列是以 2 為首項以 2 為公比的等比數(shù)列.
【小問 2 詳解】
方法一：因為，且
數(shù)列是以 1 為首項，以 0 為公差的等差數(shù)列.
，；
方法二：，用累乘可得，當(dāng) 時，
，……，，，
所以，即，
又，；
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【小問 3 詳解】
因為，
所以
，
因為， .
18. 已知雙曲線，滿足離心率為 2，且焦點到漸近線的距離為 .
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線過點，且與雙曲線的左支有且只有一個公共點，求直線的斜率的取值范圍；
（3）記雙曲線的左頂點為，右焦點為，為第一象限內(nèi)雙曲線上的任意一點，是否存在實數(shù) ，
使得恒成立?若存在，請求出此時的實數(shù) ；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在實數(shù)
【解析】
【分析】（1）由離心率結(jié)合雙曲線的定義求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）結(jié)合雙曲線的漸進(jìn)線分析直線與雙曲線的交點個數(shù)，從而得到斜率的取值范圍即可；
（3）根據(jù)點 M 的坐標(biāo)設(shè)出和的正切值，結(jié)合二倍角的正切函數(shù)求解即可.
【小問 1 詳解】
由已知雙曲線離心率為 2，則，得，
所以雙曲線方程為，又焦點到漸近線的距離為，可得，
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，所以雙曲線方程為
【小問 2 詳解】
由題意知直線斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線，得，
當(dāng) 時，，解得：，且，
當(dāng) 時，與雙曲線的漸近線方程的斜率一致，雙曲線的漸近線方程為，即漸近線斜率為
，
又因為直線過定點
所以當(dāng) 時，時，直線與雙曲線的左支只有一個公共點，成立；
當(dāng) 時，時，直線與雙曲線的右支只有一個公共點，不成立；
當(dāng) 時，直線與雙曲線左支有兩個交點，不成立；
當(dāng) 時，直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，成立，
當(dāng) 時，直線與雙曲線右支有兩個公共點，不成立；
當(dāng) 時，時，直線與雙曲線的左支只有一個交點即與左支相切，成立；
當(dāng) 時，時，直線與雙曲線的右支只有一個交點即與右支相切，不成立；
綜上所述，或時，直線與雙曲線的左支有且只有一個公共點；
【小問 3 詳解】
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存在，理由如下，
①當(dāng)點時，，，可求得 .
②當(dāng)點的橫坐標(biāo)不為 2 時，可設(shè) ，，，
，，
，
和都在內(nèi)，所以
綜上可知，存在實數(shù) 符合題意
19. 已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，
，E 為的中點， .
（1）證明：平面平面；
（2）若，與平面所成的角為，
（I）求三棱錐的體積；
（II）試問在側(cè)面內(nèi)是否存在一點，使得平面 ?若存在，求出點到直線的距離；
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若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）（I）8；（II）存在，
【解析】
【分析】（1）通過證明平面可完成證明；
（2）（I）在平面內(nèi)作于，連接，由面面垂性質(zhì)可得平面，
據(jù)此可得，，即可得體積；
（II）方法 1，以 OB，OC，OP 所在的直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點，設(shè) ，由平面，可得點 N
坐標(biāo)，然后由向量知識可得答案；
方法 2，由題可得點 B 在三角形內(nèi)的射影 N 為等腰銳角三角形的外心，由（I）
可得，然后由圖及勾股定理可得答案.
【小問 1 詳解】
由四邊形是直角梯形，，，
可得，，從而是等邊三角形，
，BD 平分 .∵E 為的中點，，，
又，，平面，平面
平面，平面，所以平面平面 .
【小問 2 詳解】
（I）在平面內(nèi)作于，連接，由（1）有平面，
又平面，∴平面平面 .
因為平面平面，平面，平面
為與平面所成的角，則，
由題意得，，，為的中點，
.又，
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所以三棱錐 P-BDC 的體積為；
（II）方法一：（向量法）以 OB，OC，OP 所在的直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)
系，
則，，，，
假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點，使得平面成立，
設(shè) ，
由題意得，
，，
，由，得，
解得，，
滿足題意，，點 N 存在.
，，，
所以，，，
所以點到直線 PC 的距離
方法二：（傳統(tǒng)方法）由條件可知，，
且三角形為，的等腰銳角三角形，
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所以點 B 在三角形內(nèi)的射影 N 為等腰銳角三角形的外心，
所以點 N 必在側(cè)面 PCD 的內(nèi)部.
由（I）知三棱錐的體積為，，
由體積轉(zhuǎn)化可得，，
在直角中，由勾股定理可得，
E 為 PC 的中點，
所以點到直線 PC 的距離
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